Противоречива ли математика?

[Qwerty091]

Ну тут я виноват, так как вы меня не поймёте без "технической" части. (да я и сам себя не понимаю)

[Mikhail_K]

mihaild в сообщении #1577960 писал(а):

Тогда не очень понял вопроса. Да, непротиворечивость всякой теории, непротиворечивость которой сводится к непротиворечивости теории множеств, сводится к непротиворечивости теории множеств.

Наверное, имеется в виду вопрос: верно ли, что непротиворечивость любой математической теории, в непротиворечивости которой в современной математике есть уверенность (сравнимая с уверенностью в непротиворечивости ZFC), сводится к непротиворечивости ZFC?

[Qwerty091]

Вот, я нашёл то, что имел ввиду:

slavav в сообщении #1547949 писал(а):

Если система аксиом теории вероятностей противоречива, то из неё можно вывести противоречие. Это противоречие можно переписать на языке примера, в данном случае на языке теории множеств. Получим противоречие в рамках теории множеств. Общепринято что теория множеств не противоречива. Тем более, что нам нужен только очень маленький её кусочек касающийся конечных множеств. Следовательно и система аксиом теории вероятностей непротиворечива.

[Anton_Peplov]

Назовем мейнстримной математику, которая в своих определениях и теоремах не затрагивает вопросы оснований. Например, алгебра, анализ, теория чисел - мейнстримная математика. Теория множеств и логика - нет. Теория категорий тоже нет, пока и поскольку в ней вводятся большие категории ради рассмотрения категории всех множеств.

Верно ли, что всякую теорему мейнстримной математики вместе с ее доказательством можно записать на языке ZFC? Ответ: "мы скорее верим, что это так, нежели знаем, что это так". Какие-то теоремы формализовали. До подавляющего большинства руки не дошли, ибо теорем много, а любителей столь экзотического труда мало. Насколько я знаю, еще никто не ткнул пальцем в теорему мейнстримной математики, которую формализовать в ZFC нельзя.

Посоветую топикстартеру книжку Кранца "Изменчивая природа математического доказательства" (здесь я рассказывал о ней подробнее). Не то чтобы она ответила на все поднятые вопросы, но многое прояснит. И без свойственного Клайну алармизма про "ужас-ужас, в математике кризис-кризис".

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1577939 писал(а):

Можете привести какой-нибудь из самых ярких примеров?

Вы знаете, я обсуждал на гиттере в личной переписке книгу Успенский В. А., Верещагин Н. К., Плиско В. Е. Вводный курс математической логики. с одним ЗУ этого форума (большое, просто огромное спасибо ему за это! Для меня это было просто бесценной помощью! Сам бы я просто никогда до этого не додумался, это я говорю совершенно объективно), сделал с той переписки скрины, их целая папка, выискивать там сейчас не получится, но косяков там предостаточно, сам ЗУ на протяжении всей переписки не раз это признавал. Вот все хочу начать публикацию этой переписки на Дзене, Хабре еще в каких-то местах, да все никак с силами не соберусь. Дело в том, что тот ЗУ не хотел бы, чтобы его имя как-нибудь явно было озвучено, и потому все те скрины мне нужно перенабирать вручную в ТеХе. А на это сейчас просто нет сил и времени, как бы смешно это ни звучало: все уходит на Кострикина. Публикация тех материалов было бы очень полезной вещью, это я знаю, но... Сейчас вот посмотрел, на быструю руку ничего не увидел, нужно сидеть, вникать.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Смутно помню какой-то фильм про шибко вумную девочку, доказавшую противоречивость математики и впавшую от этого в депрессию. К счастью рядом оказался не шибко умный самэц, который доказал ей теорему, что иногда более выгодно быть дурой. Так что фильм завершился на мажорной ноте. Не подскажете название?

[Qwerty091]

Спасибо всем, кто поделился со мной настоящим состоянием математики на сегодня. Вроде как стало спокойней за многовековой труд человеческой мысли

Anton_Peplov писал(а):

Посоветую топикстартеру книжку Кранца "Изменчивая природа математического доказательства"

Спасибо, возьму на заметку!

[vpb]

Qwerty091 в сообщении #1577917 писал(а):

Я учусь в 10 классе и, до недавнего времени, продуктивно занимался математикой.

Ох ты какая нынче мОлодежь пошла ! Многим не один десяток лет бывает нужен, чтоб таки дойти до состояния "продуктивного занятия математикой". А тут прям в десятом классе.

Вообще, зачин темы немало смахивает на троллинг. Тем не менее выскажусь. Собственно, всякое беспокойство по поводу "а не случится ли однажды противоречие ?" быстро снимается, если встать на ту, единственно правильную точку зрения, что математика так или иначе изучает природу, объективную реальность, а не является грамматической игрой. А где вы в природе (или в содержательной математике) видели что-нибудь вроде множества, которое содержит в качестве элемента само себя ? Правильно, нигде. В природе нет противоречий.

[Sender]

vpb в сообщении #1578019 писал(а):

А тут прям в десятом классе.

Ну, положим, в этом нет ничего необычного, скажем, мне в таком возрасте нравилось выводить всякие формулы, чем это не продуктивное занятие математикой?

Ильф и Петров писал(а):

Кто скажет, что это девочка, пусть первый бросит в меня камень!

[Sdy]

Qwerty091, мне кажется, на это можно смотреть ещё так: если Вы будете заниматься математическим анализом, линейной алгеброй или, например, теорией вероятностей, то в рамках полного построения аппарата этих наук и их использования в приложениях к реальному миру, Вы не сможете прийти к противоречию. А именно эти науки для Вас будут первоочередные в рамках ознакомления с математикой.
Допустим, Вы отклонитесь сильно в сторону, и выведете какое-то противоречие -- как Вы думаете, что произойдет? Так вот, Вам просто скажут, что так делать не нужно. Если Ваша процедура "прихода" к противоречию будет достаточно корректной с точки зрения математики, то скорее всего, ещё предложат добавить аксиому в аксиоматику, чтобы по Вашему пути уже принципиально нельзя было пройти в рамках нашей теории.

Ровно так и получилось с парадоксом Расселла-Цермело. Мы сказали "Является ли множество всех множеств, не являющихся своими собственными элементами, своим собственным элементом?", пришли к противоречию и далее сказали: "Примем аксиоматику Цермело-Френкеля, которая запретит нам называть множеством всё что нам вздумается" и которая поможет уйти от этого парадокса. Так от наивной теории множеств (её ещё Канторовской называют), мы пришли к аксиоматике Цермело-Френкеля теории множеств.


Или, например, мы хотим находить площадь любого множества в $R^2$. Казалось бы, абсолютно оправданное желание, площади и объемы возникают вокруг нас повсеместно. Скурпулезно строим для этого меру Лебега и заявляем "Теперь мы можем найти меру (площадь) всякого подмножества $R^2$". И тут к нам приходит человек по фамилии Витали и предъявляет пример множества, для которого меру Лебега найти нельзя. Но мы не расстраиваемся. Мы просто говорим, что хорошо, тогда мы будем считать только меру "достаточно хороших, разумных" множеств, живущих в борелевской сигма-алгебре на плоскости. Всё, конфликт исчерпан, можем спокойно продолжать пользоваться выстроенной нами конструкцией.
Насколько я понимаю, там можно и более широкий класс измеримых множеств взять, но тут уже мои полномочия кончаются, в рамках теории вероятностей вполне довольствуются борелевской сигма-алгеброй.

Похожих примеров по ходу изучения математики Вы будете встречать огромное количество, и будете видеть, что противоречия это не то чтобы проблема, о которой все умалчивают в силу боязни с ней столкнуться, нет, это просто нечто, позволяющее по другому посмотреть на нашу теорию и дополнить ее каким-то образом.

[mihaild]

vpb в сообщении #1578019 писал(а):

Ох ты какая нынче мОлодежь пошла ! Многим не один десяток лет бывает нужен, чтоб таки дойти до состояния "продуктивного занятия математикой". А тут прям в десятом классе.

Я тут "занятия математикой" прочитал как "изучение математики".

Sdy в сообщении #1578023 писал(а):

Если Ваша процедура "прихода" к противоречию будет достаточно корректной с точки зрения математики, то скорее всего, ещё предложат добавить аксиому в аксиоматику, чтобы по Вашему пути уже принципиально нельзя было пройти в рамках нашей теории.

Добавление аксиомы не может убрать противоречие.

Sdy в сообщении #1578023 писал(а):

Примем аксиоматику Цермело-Френкеля, которая запретит нам называть множеством всё что нам вздумается

Вот это на самом деле было не "примем что-то", а "откажемся от чего-то" (неограниченной аксиомы выделения).

Sdy в сообщении #1578023 писал(а):

Мы просто говорим, что хорошо, тогда мы будем считать только меру "достаточно хороших, разумных" множеств, живущих в борелевской сигма-алгебре на плоскости.

А потом приходит, если не ошибаюсь, Соловей, и показывает, что может быть все множества измеримы. А может быть нет. И это вопрос личного выбора каждого (pun intended).

[Sdy]

mihaild в сообщении #1578044 писал(а):

Вот это на самом деле было не "примем что-то", а "откажемся от чего-то" (неограниченной аксиомы выделения).

Да, у Вас это звучит логичнее. У меня в голове это выглядит как "примем аксиому, запрещающую использовать неограниченную аксиому выделения", но в данном случае зачем принимать что-то дополнительное, если можно просто отказаться от проблемной аксиомы.

mihaild в сообщении #1578044 писал(а):

А потом приходит, если не ошибаюсь, Соловей, и показывает, что может быть все множества измеримы. А может быть нет. И это вопрос личного выбора каждого (pun intended).

Тут уже мои полномочия тоже заканчиваются, хотя беглое гугление показывает, что Вы в этом вопросе правы, надо будет когда-нибудь почитать об этом. Сначала я подумал, что Вы о том что надо просто заменить меру Лебега на что-то более общее, но как я понял, у него речь то как раз о мере Лебега.

[mihaild]

Sdy в сообщении #1578048 писал(а):

но как я понял, у него речь то как раз о мере Лебега

Именно так. Все знают, что в ZFC выводится "существует неизмеримое по Лебегу множество", и что ZFC равнонепротиворечива с ZF. Соловей показал, что ZF + "все множества измеримы по Лебегу" тоже равнонепротиворечива с ZF.

[Sdy]

(К mihaild о книге)

mihaild в сообщении #1577939 писал(а):

Можете привести какой-нибудь из самых ярких примеров?

Вопрос обращен не ко мне, но так как основания математики я тоже изучаю сам, то могу вот такой пример привести.
В первом томе всюду используется понятие "свойства", которое в нём не определяется. Используется, например, так:

Н. К. Верещагин, А. Шень Начала теории множеств, страница 52 писал(а):

Пусть $A(n)$ — некоторое свойство натурального числа $n$. Пусть нам удалось доказать $A(n)$ в предположении, что $A(m)$ верно для всех $m$, меньших $n$. Тогда свойство $A(n)$ верно для всех натуральных чисел $n$.

Я подумал что ладно, наверное, определяется во втором томе.
Но при первом же употреблении слова "свойство", оно тоже никак не определяется:

Н. К. Верещагин, А. Шень Языки и исчисления, страница 10 писал(а):

Можно ещё сказать так: формулы образуют минимальное множество, обладающее указанными свойствами

И далее это слово используется ещё огромное множество раз.

В своё время, мне ответили так:

Someone в сообщении #1394360 писал(а):

В формальной теории первого порядка свойство — это высказывательная функция, то есть, формула с одной свободной переменой.

Почему этого нет в книге?
В тоже время мне нравится тон повествования книг, мне нравится что они заставляют на каждом моменте задуматься, но я не понимаю, почему в них возникают такие вот недосказанности. Наверное, когда эту книгу читает человек, прослушавший курс логики в хорошем университете, для него это хорошее подспорье, чтобы лучше понять какие-то моменты. Но когда я пытался (или пытаюсь, изредка снова начиная ее читать) её читать, именно осваивая предмет с нуля, я натыкаюсь на вот эти все недосказанности и дальше пробиться не получается. Нужно искать другие источники, другие книги, смотреть ответы на форуме. При этом касается это не каких-то "rocket-science" доказательств утверждений, а вроде как базовых моментов.

[krum]

mihaild в сообщении #1577960 писал(а):

Клайн тоже математик, хотя, пожалуй, с существенно меньшим числом результатов чем Арнольд. Но его позиция, кстати, очень близка к позиции Новикова

А вот Вы можете объяснить такой фенеомен. Почему в философических текстах по математике (за исключением Тао) обсуждаются какие угодно разделы, но только не УРЧП? А ведь это мэйнстрим. Еще какой мэйнстрим. Я думаю, что на УРЧП четверть статей приходится, как минимум. А три четверти на все остальное.