2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5
 
 Re: Рецензии на хорошие/нормальные книги
Сообщение05.02.2022, 23:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
7066
statistonline в сообщении #1548106 писал(а):
Если возможно, разъясните, откуда такие сведения?
Вы правы, это только версия, хотя и правдоподобная. И автор оговаривает, что это только версия. Исправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рецензии на хорошие/нормальные книги
Сообщение13.02.2022, 16:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
7066
Автор: Стивен Кранц
Название: Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить
Жанр: научно-популярная литература
Область: математика, история математики, методология математики

Что такое математическое доказательство и зачем оно нужно? Как требования к доказательству менялись со временем? Что меняет компьютер в теории и практике математических доказательств? Что будут называть доказательством через сто лет? И как вообще выглядит работа современного математика? Этим вопросам посвящена книга Стивена Кранца, математика-исследователя с числом Эрдёша, равным 1, если вы понимаете, о чём я. Статья в англовики Steven G. Krantz убедительно показывает, что автор знает толк в математических доказательствах.

Сначала Кранц вводит читателя в предмет. Что такое доказательство, зачем нужно доказывать теоремы, какова роль интуиции и гипотез, что такое закон исключённого третьего и другие правила логики. Основные тезисы стары как мир. Доказательство – это рассуждение, убеждающее нас настолько, что мы готовы с его помощью убеждать других. Готовое математическое доказательство – это цепочка (ну или дерево) посылок и следствий, построенная по железным законам логики. Но когда математик придумывал это доказательство, его интуиция могла бродить самыми причудливыми путями, от которых в готовом продукте не осталось и следа и рассказывать о которых не принято, а было бы полезно. Ради краткости математики часто опускают детали доказательства, предоставляя их читателю. В результате они часто ошибаются, и иногда ошибки в опубликованных важных теоремах находятся спустя лет этак десять. Но если уж доказательство корректно, то оно на века: доказанное навсегда останется доказанным, если только требования к доказательствам не станут более строгими.

Несколько глав посвящены истории математики. Кранц даёт чрезвычайно беглый обзор от вавилонских табличек до современности. Конечно, он посвящён в основном становлению математических доказательств и развитию строгости математического языка. Кратко рассмотрена бурная эпоха начала XX в.: парадоксы теории множеств, интуиционизм, конструктивизм, теоремы Гёделя. При этом баек (честно обозначенных как байки) рассказано не меньше, чем фактов, но именно благодаря этому книга читается как роман, а не как справочник.

Целая глава посвящена теореме о четырёх красках как ярчайшему примеру computer-assisted proof. Это когда доказательство включает в себя компьютерную проверку офигиллиарда частных случаев, которую невозможно повторить вручную. Разумеется, такая практика порождает вопросы, в основном "зачем нам доказательство, которое мы не можем понять" и "как мы можем убедиться, что нигде не было бага".

Затем Кранц переходит к компьютерной проверке найденных человеком доказательств, а также автоматическому поиску новых доказательств. Автор приводит примеры нетривиальных теорем, доказательства которых были проверены автоматическими пруверами (теорема Гёделя о неполноте, теорема о жордановой кривой, теорема Пуссена и Адамара о распределении простых чисел). Есть и примеры интересных утверждений, доказательство которых было впервые найдено именно компьютером (гипотеза Робинсона об аксиоматике булевой алгебры).

Автор подробно останавливается на том, чем ещё компьютер может быть полезен математику (системы компьютерной алгебры, численные методы, визуализация данных и т.д.). Эти инструменты не дают готовых доказательств, но могут помочь учёному поискать закономерности в фактах или контрпримеры к гипотезе, проверить преобразования выражений, быстро решить громоздкие системы уравнений. В геометрических (в самом широком смысле) исследованиях важно, что компьютер позволяет буквально увидеть то, на что человеку не хватило бы пространственного воображения. Есть пример, когда компьютерная визуализация нетривиальных поверхностей натолкнула математиков на важную теорему (Хоффман, Хоффман и Миикс). Ну и, разумеется, рассказано о важности численных методов для прикладных расчётов.

Кранц настойчиво растолковывает читателю тезис "доказательством становится то, что сообщество математиков признаёт доказательством". Он приводит целый перечень доказательств, которые просто не были приняты сообществом, несмотря на то, что уважаемые математики опубликовали их в авторитетных журналах, и никто публично не ткнул пальцем в ошибку.

Отдельная тема – доказательства, слишком длинные, слишком сложные или слишком неаккуратно записанные. Подробно разбирается эпопея с классификацией простых конечных групп. Доказательство этого результата рассеянно по многочисленным работам сотен математиков, накопленным за полтора века. Оно никогда не было изложено в одном месте с начала до конца и без пропусков.
С. Кранц писал(а):
Майкл Ашбахер, ведущий авторитет в этой области, дал оценку, что полное доказательство должно занимать более 10000 страниц плотного математического текста, оставляющего значительную часть работы читателю.
Рассказывается также о доказательстве Хэйлса гипотезы Кеплера об упаковке сфер и эпопее по его проверке.
С. Кранц писал(а):
Двадцать венгерских математиков в течение трёх семестров вели семинар, посвящённый этой статье. В общей сложности они проработали над ней четыре года. А в конце сказали, что на 99% уверены, что она верна.
Приводятся и другие подобные примеры.

Отдельная глава посвящена "проклятым вопросам" – гипотезам Римана, Гольдбаха, P/NP. Много места отводится доказательству Перельманом гипотезы Пуанкаре и Уайлсом – Великой теоремы Ферма.

Также Кранц рассказывает, как выглядит жизнь учёного-математика: математические институты, механизмы публикации открытий и т.д. и т.п.

Любопытен взгляд автора на будущее математики. Он считает, что классическое доказательство не исчезнет, но станет лишь одним из нескольких принятых способов удостовериться в результате. Другими подходами будут computer-assisted proof, методы типа доказательства с нулевым разглашением из криптографии (приводящие к альтернативам "либо гипотеза верна, либо произошло событие, вероятность которого равна экспоненте в минус лохматой степени") и чуть ли не физические эксперименты. Дело в том, что Кранц полагает: математика будет всё больше сближаться с другими науками. Он исходит из того, что даже чистые математики всё чаще помогают кому-то с прикладными расчётами (по крайней мере, так обстоит дело в США; сам Кранц, к примеру, разрабатывает математические модели для лицевой хирургии). А с другой стороны, другим наукам требуется всё больше математики. Так что, по мысли Кранца, будет происходить перекрёстное опыление подходами между математикой и её приложениями. Кранцу, конечно, виднее, но я в филиале агентства ОБС слыхал в основном противоположное. Что чистая математика окончательно улетела в космос и оторвалась от потребностей практики. Что даже математическая физика сейчас не решает уравнения, а доказывает коммутативность диаграмм, и физики-экспериментаторы не знают, что им с этими диаграммами делать. Что разные ветви математики настолько разрослись каждая в свою сторону, что перестали соприкасаться друг с другом, что уж говорить о взаимодействии с другими науками.

Попытаюсь ответить на вопрос, для кого предназначена книга Кранца, кому она будет понятна и интересна. Сам автор старался сделать книгу доступной для максимально широкой аудитории. Отсюда многостраничные разжёвывания элементарных логических правил типа modus ponens, переупрощения вроде "аксиома принимается без доказательства в силу своей очевидности" и многократные повторения банальных истин. Вместе с тем Кранц, рассказывая об истории математики и приводя примеры тех или иных приключений с доказательствами, был вынужден упомянуть целую гору математических понятий, от элементарных до весьма эзотерических. Самые простые и важные из них (группа, простые числа и т.д.) он точно определяет и подробно разбирает, большую часть описывает рукомахательно, а многие просто упоминает без пояснений. В результате для читателя, в последний раз видевшего математику в средней школе, многие фрагменты текста должны выглядеть как "имярек внёс важный вклад в теорию глокой куздры и трансцендентного бармаглота: он показал, что сепулька дудонится". Мне трудно судить, насколько это помешает усвоить основные идеи книги. Но знакомство хотя бы с азами анализа и алгебры (понятие об обычных и частных производных, дифурах, рядах, матрицах, группах, кольцах и т.д.) существенно облегчит восприятие книги.

Безусловно, читателю, впервые заинтересовавшемуся методологией математики, стоит начать именно с книги Кранца (а не, например, разрекламированных сочинений Мориса Клайна). А вот заядлый любитель текстов о природе математики не найдёт в этой книге ничего принципиально нового. Эти же идеи и значительная часть упомянутых примеров многократно разбирались в других местах. Вот хотя бы в лекциях Вавилова (конспект) и Матиясевича (attention, час видео).

Однако даже для искушенного читателя книга представляет интерес в том смысле, что все аспекты вопроса «что такое доказательство и что нам с ним делать» сведены под одной обложкой, подробно разжёваны и богато проиллюстрированы примерами. При этом часть примеров очень свежи: книга была издана в 2011 г., и в ней упоминаются яркие работы, сделанные в XXI веке. Так что её полезно иметь под рукой как достаточно полный и качественный обзор обширного и непростого поля дебатов, скрытого за простеньким с виду вопросом: «Что математик имеет в виду, когда говорит, что доказал теорему?».

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 62 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group