Противоречива ли математика?

[Qwerty091]

Здравствуйте! Я учусь в 10 классе и, до недавнего времени, продуктивно занимался математикой. Но вдруг, когда я доказывал ничем не примечательную теорему, у меня что-то щелкнуло: а почему мы не можем одновременно совершенно законно доказать и опровергнуть одно и то же утверждение? Что защищает нас от парадоксов?
Покопавшись в интернетах я понял, что современные математические теории - это набор аксиом и правил вывода. Через правила вывода из аксиом выводят теоремы, из них другие и т.д.
Переформулируя тот же вопрос: почему мы уверены, что не сможем вывести противоречие? Как доказать непротиворечивость нашей формальной системы?
Может, есть книжки по (или затрагивающие) этому вопросу?
Мне вообще не хотелось погружаться в основания математики, но этот вопрос просто покоя не даёт!

[mihaild]

Потому что ни у кого противоречия вывести не получилось. Хотя многие пытались.
Когда в начале 20 века многие математики пытались построить формальные основания, в разных системах всплывали противоречия, но это как правило происходило довольно быстро - за несколько лет. Система Цермело-Френкеля существует раз в 10 дольше, и в ней противоречий не нашлось, что дает некоторую надежду что их и нет (потому что стоило бы ожидать, что если в системе могут найти противоречие через 80 лет, то должно быть довольно много систем, в которых нашли противоречие через 40 лет, а их нет). Ну а все остальные популярные системы равнонепротиворечивы с ZF, и это уже доказано строго.
Это, естественно, всё неформальные соображения.

Доказательство непротиворечивости в любом случае было бы не очень полезно: если наша система таки противоречива, то она легко докажет собственную непротиворечивость.

Есть, например, Верещагин, Шень "Языки и исчисления". Или Клини "Введение в метаматематику".
Но для 10 класса они могут быть сложноваты, я бы советовал пока закончить школу и хотя бы 1й семестр вуза, чтобы немного привыкнуть к более конкретным разделам математики - алгебре и анализу.

[Qwerty091]

Вот оно как! Математика была проверена временем! 80 лет это весьма обнадеживающая цифра и, надеюсь, она будет продолжать расти По литературе у меня как раз есть книжка Шеня, буду её читать. Спасибо Вам, камень с плеч!

[Sinoid]

Qwerty091 в сообщении #1577924 писал(а):

По литературе у меня как раз есть книжка Шеня

Это какая?

[Qwerty091]

"Языки и исчисления". Я знаком с автором по его знаменитому "Введению в теорию множеств".

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать, создаются в этом разделе.

[Sinoid]

Qwerty091 в сообщении #1577929 писал(а):

"Языки и исчисления".

Боюсь, для вас рановато. Помнится, я тоже пробовал ее читать самостоятельно. Нет, не пошло. И, вообще, какую бы книгу я по этим темам - по логике, по теории множеств - я ни пробовал прочитать, самостоятельно у меня это не получалось, хоть я и прикладывал какие только мне доступны усилия. Дело в том, что в этих книгах столько опечаток и недоговоренностей, неразвернутости вот именно деталей, что прочитать с полным пониманием самостоятельно их просто невозможно. Авторам кажутся эти детали мелочными, незаслуживающими внимания, а на самом деле, если ты их не знаешь, то тебе и взять их просто неоткуда.

[Qwerty091]

Согласен, есть такое дело. Кое как осил первую половину множеств Шеня и то только благодаря этому форуму. Далее про изоморфизмы и ординалы бегло прочитал у Колмогорова из функционального анализа (благо хоть там все понятно ). А по поводу логики Шеня, похоже, дело обстоит ещё хуже, т.к. здесь темы из его книжки не поднимаются. Хорошо, что есть видео-лекции по логике и прочему, где материал преподаётся более удачно. Спасибо, что насторожили, пока будем без Шеней

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1577932 писал(а):

Дело в том, что в этих книгах столько опечаток и недоговоренностей, неразвернутости вот именно деталей, что прочитать с полным пониманием самостоятельно их просто невозможно.

Можете привести какой-нибудь из самых ярких примеров?

Вообще и "Языки и исчисления", и "Основы теории множеств" предполагают некоторое базовое знакомство с другими областями математики. Они не ссылаются на них непосредственно в определениях, но такие довольно абстрактные разделы сложно понимать без конкретных примеров - которые предполагаются уже известными.

(Оффтоп)

У трехтомника два автора. Мне обидно за моего бывшего научного руководителя.

[Qwerty091]

Кстати, правильно ли я понимаю, что непротиворечивость всякой теории сводиться к непротиворечивости теории множеств? Я не помню технической части (где-то видел на форуме), но концептуально вроде так.

[mihaild]

Вопрос в том, какие инструменты сведения у нас есть. Так-то не очень понятно, можно ли из непротиворечивости ZF получить непротиворечивость ZF+RH (RH - гипотеза Римана).

[StepV]

Qwerty091 в сообщении #1577924 писал(а):

Вот оно как! Математика была проверена временем! 80 лет это весьма обнадеживающая цифра и, надеюсь, она будет продолжать расти

Есть отличная популярная книжка про проблемы и непротиворечивость основ в математике
Морис Клайн. Математика. Утрата определенности.
Популярным языком (для 10 класса в самый раз ) дается описание текущего состояния, описаны общие идеи и история развития. Можно взять за основу эту книгу, а потом по конкретной тематике уже брать специальную математическую литературу. Легко ищется в интернете.

[Qwerty091]

К mihaild: Ой, извините, ошибся! Имел ввиду не всякой, а той, что именно "сводиться" к непротиворечивости теории множеств.
К StepV: Обязательно почитаю. Кстати, автора где-то уже видел..

[krum]

StepV в сообщении #1577951 писал(а):

Морис Клайн. Математика. Утрата определенности.

а кто, вообще, такой Клайн, что его мнение о глобальном положении дел в математике должно быть интересным? Ну я понимаю, когда Тао или Арнольд философствуют в таких масштабах. Они своими результатами доказали, что к ним следует прислушиваться.

[mihaild]

Книжка Клайна хорошая, но про современное состояние во многом его личная позиция (которая хоть и является распространенной, но до консенсусной ей далеко) описывается как объективное положение дел.

Ну и никакого полезного описания идей там нет, обзором областей математики и тем более результатов она не является.

Qwerty091 в сообщении #1577958 писал(а):

Имел ввиду не всякой, а той, что именно "сводиться" к непротиворечивости теории множеств

Тогда не очень понял вопроса. Да, непротиворечивость всякой теории, непротиворечивость которой сводится к непротиворечивости теории множеств, сводится к непротиворечивости теории множеств.

krum в сообщении #1577959 писал(а):

Вот мне интересно, а кто, вообще, такой Клайн, что его мнение о глобальном положении дел в математике должно быть интересным?

Клайн тоже математик, хотя, пожалуй, с существенно меньшим числом результатов чем Арнольд. Но его позиция, кстати, очень близка к позиции Новикова (см. "Математика на пороге 21 века").
В книге ИМХО самые интересные первые главы, про историю.