2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Противоречива ли математика?
Сообщение19.01.2023, 15:10 


19/01/23
15
Здравствуйте! Я учусь в 10 классе и, до недавнего времени, продуктивно занимался математикой. Но вдруг, когда я доказывал ничем не примечательную теорему, у меня что-то щелкнуло: а почему мы не можем одновременно совершенно законно доказать и опровергнуть одно и то же утверждение? Что защищает нас от парадоксов?
Покопавшись в интернетах я понял, что современные математические теории - это набор аксиом и правил вывода. Через правила вывода из аксиом выводят теоремы, из них другие и т.д.
Переформулируя тот же вопрос: почему мы уверены, что не сможем вывести противоречие? Как доказать непротиворечивость нашей формальной системы?
Может, есть книжки по (или затрагивающие) этому вопросу?
Мне вообще не хотелось погружаться в основания математики, но этот вопрос просто покоя не даёт! :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Противоречива ли математика?
Сообщение19.01.2023, 15:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8340
Цюрих
Потому что ни у кого противоречия вывести не получилось. Хотя многие пытались.
Когда в начале 20 века многие математики пытались построить формальные основания, в разных системах всплывали противоречия, но это как правило происходило довольно быстро - за несколько лет. Система Цермело-Френкеля существует раз в 10 дольше, и в ней противоречий не нашлось, что дает некоторую надежду что их и нет (потому что стоило бы ожидать, что если в системе могут найти противоречие через 80 лет, то должно быть довольно много систем, в которых нашли противоречие через 40 лет, а их нет). Ну а все остальные популярные системы равнонепротиворечивы с ZF, и это уже доказано строго.
Это, естественно, всё неформальные соображения.

Доказательство непротиворечивости в любом случае было бы не очень полезно: если наша система таки противоречива, то она легко докажет собственную непротиворечивость.

Есть, например, Верещагин, Шень "Языки и исчисления". Или Клини "Введение в метаматематику".
Но для 10 класса они могут быть сложноваты, я бы советовал пока закончить школу и хотя бы 1й семестр вуза, чтобы немного привыкнуть к более конкретным разделам математики - алгебре и анализу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Противоречива ли математика?
Сообщение19.01.2023, 16:12 


19/01/23
15
Вот оно как! Математика была проверена временем! 80 лет это весьма обнадеживающая цифра и, надеюсь, она будет продолжать расти :D По литературе у меня как раз есть книжка Шеня, буду её читать. Спасибо Вам, камень с плеч! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Противоречива ли математика?
Сообщение19.01.2023, 16:29 


03/06/12
2742
Qwerty091 в сообщении #1577924 писал(а):
По литературе у меня как раз есть книжка Шеня

Это какая?

 Профиль  
                  
 
 Re: Противоречива ли математика?
Сообщение19.01.2023, 16:37 


19/01/23
15
"Языки и исчисления". Я знаком с автором по его знаменитому "Введению в теорию множеств".

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение19.01.2023, 16:40 
Админ форума


02/02/19
1991
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: темы, в которых нужно что-то объяснить или подсказать, создаются в этом разделе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Противоречива ли математика?
Сообщение19.01.2023, 16:58 


03/06/12
2742
Qwerty091 в сообщении #1577929 писал(а):
"Языки и исчисления".

Боюсь, для вас рановато. Помнится, я тоже пробовал ее читать самостоятельно. Нет, не пошло. И, вообще, какую бы книгу я по этим темам - по логике, по теории множеств - я ни пробовал прочитать, самостоятельно у меня это не получалось, хоть я и прикладывал какие только мне доступны усилия. Дело в том, что в этих книгах столько опечаток и недоговоренностей, неразвернутости вот именно деталей, что прочитать с полным пониманием самостоятельно их просто невозможно. Авторам кажутся эти детали мелочными, незаслуживающими внимания, а на самом деле, если ты их не знаешь, то тебе и взять их просто неоткуда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Противоречива ли математика?
Сообщение19.01.2023, 17:20 


19/01/23
15
Согласен, есть такое дело. Кое как осил первую половину множеств Шеня и то только благодаря этому форуму. Далее про изоморфизмы и ординалы бегло прочитал у Колмогорова из функционального анализа (благо хоть там все понятно :D). А по поводу логики Шеня, похоже, дело обстоит ещё хуже, т.к. здесь темы из его книжки не поднимаются. Хорошо, что есть видео-лекции по логике и прочему, где материал преподаётся более удачно. Спасибо, что насторожили, пока будем без Шеней :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Противоречива ли математика?
Сообщение19.01.2023, 17:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8340
Цюрих
Sinoid в сообщении #1577932 писал(а):
Дело в том, что в этих книгах столько опечаток и недоговоренностей, неразвернутости вот именно деталей, что прочитать с полным пониманием самостоятельно их просто невозможно.
Можете привести какой-нибудь из самых ярких примеров?

Вообще и "Языки и исчисления", и "Основы теории множеств" предполагают некоторое базовое знакомство с другими областями математики. Они не ссылаются на них непосредственно в определениях, но такие довольно абстрактные разделы сложно понимать без конкретных примеров - которые предполагаются уже известными.

(Оффтоп)

У трехтомника два автора. Мне обидно за моего бывшего научного руководителя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Противоречива ли математика?
Сообщение19.01.2023, 18:49 


19/01/23
15
Кстати, правильно ли я понимаю, что непротиворечивость всякой теории сводиться к непротиворечивости теории множеств? Я не помню технической части (где-то видел на форуме), но концептуально вроде так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Противоречива ли математика?
Сообщение19.01.2023, 19:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8340
Цюрих
Вопрос в том, какие инструменты сведения у нас есть. Так-то не очень понятно, можно ли из непротиворечивости ZF получить непротиворечивость ZF+RH (RH - гипотеза Римана).

 Профиль  
                  
 
 Re: Противоречива ли математика?
Сообщение19.01.2023, 19:19 
Аватара пользователя


23/05/20
336
Беларусь
Qwerty091 в сообщении #1577924 писал(а):
Вот оно как! Математика была проверена временем! 80 лет это весьма обнадеживающая цифра и, надеюсь, она будет продолжать расти


Есть отличная популярная книжка про проблемы и непротиворечивость основ в математике
Морис Клайн. Математика. Утрата определенности.
Популярным языком (для 10 класса в самый раз :-) ) дается описание текущего состояния, описаны общие идеи и история развития. Можно взять за основу эту книгу, а потом по конкретной тематике уже брать специальную математическую литературу. Легко ищется в интернете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Противоречива ли математика?
Сообщение19.01.2023, 19:36 


19/01/23
15
К mihaild: Ой, извините, ошибся! Имел ввиду не всякой, а той, что именно "сводиться" к непротиворечивости теории множеств.
К StepV: Обязательно почитаю. Кстати, автора где-то уже видел.. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Противоречива ли математика?
Сообщение19.01.2023, 19:36 
Аватара пользователя


11/11/22
304
StepV в сообщении #1577951 писал(а):
Морис Клайн. Математика. Утрата определенности.

а кто, вообще, такой Клайн, что его мнение о глобальном положении дел в математике должно быть интересным? Ну я понимаю, когда Тао или Арнольд философствуют в таких масштабах. Они своими результатами доказали, что к ним следует прислушиваться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Противоречива ли математика?
Сообщение19.01.2023, 19:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8340
Цюрих
Книжка Клайна хорошая, но про современное состояние во многом его личная позиция (которая хоть и является распространенной, но до консенсусной ей далеко) описывается как объективное положение дел.

Ну и никакого полезного описания идей там нет, обзором областей математики и тем более результатов она не является.
Qwerty091 в сообщении #1577958 писал(а):
Имел ввиду не всякой, а той, что именно "сводиться" к непротиворечивости теории множеств
Тогда не очень понял вопроса. Да, непротиворечивость всякой теории, непротиворечивость которой сводится к непротиворечивости теории множеств, сводится к непротиворечивости теории множеств.
krum в сообщении #1577959 писал(а):
Вот мне интересно, а кто, вообще, такой Клайн, что его мнение о глобальном положении дел в математике должно быть интересным?
Клайн тоже математик, хотя, пожалуй, с существенно меньшим числом результатов чем Арнольд. Но его позиция, кстати, очень близка к позиции Новикова (см. "Математика на пороге 21 века").
В книге ИМХО самые интересные первые главы, про историю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group