VALНачну набивать тут доказательство для проверки.
Оно опирается на исключение "экзотических паттернов" в
, и ниже рассматривается только "каноничный".
1. После сокращения на одну двойку он записывается так (с учетом, что в
стоит удвоенный полный квадрат):
, где
После того, как провернём известный фокус с сокращение степени двойки получим четыре варианта уравнений, связывающих
и
(Оффтоп)
подробно не пишу. Но вывод этих вариантов нужно обязательно проверить. Если нужно - напишу более подробно.
2а.
Этот вариант запрещается по модулю 4: вверху стоит число делящееся на 4, а внизу - нечетная степень двойки, следовательно
- тут получается дробным, а не простым.
2б.
Запишем его так:
Тогда
Случаи
,
запрещаются теоремой Михайлэску.
Случай
,
, согласно теореме Михайлэску, требует
. И тогда
И он действительно подходит -
- это, действительно удвоенный полный квадрат". Но дальнейшую проверку он не подходит.
Случай
рассматривать не будем, так как считаем
различными.
2в.
Проверяем по модулю три:
, значит
.
Значит
, тогда
, что очевидно не может выполняться для принятых ограничений на
.
2г. Остается только вариант
.
Подставим его в паттерн и рассмотрим подробнее....
-- 21.05.2022, 19:12 --3.
Перепишем его так:
Справа в скобках стоят последовательные четные числа, и справа в скобках стоят последовательные четные числа.
А значит большее число слева должно быть равно большему слева (и меньшие тоже).
Запишем это в таком варианте:
Отметим, что слева все степени чётные, а значит это полный квадрат (минус единица из него).
Это основной результат. Далее будут выводы из него.
-- 21.05.2022, 19:34 --4.
а)
не может быть никакой целой степенью более единицы никакого целого положительного числа.
Это запрещается теоремой Михайлэску.
Отсюда сразу
б)
- запрещается.
в) в случае
:
Требуется, чтобы:
г) Случай
проверяется конечным перебором
и
(с учетом перестановки
слева).
д) После исключения случая
,
или
должны быть равны
(для определенности считаем, что
.
Тогда:
,
где
Слева стоит произведение чисел, у которых общий делитель равен единице. Это может быть только в случаях:
Так как справа стоит ограниченное число (при фиксированных
), то этот варианты перебираются конечным перебором.