Пентадекатлон мечты

[Yadryara]

Сегодня здесь шутить не буду. Нет настроения.

Dmitriy40 в сообщении #1551523 писал(а):

Yadryara в сообщении #1551478 писал(а):

Во-первых, это другая вероятность. Прошу придумать для неё другое обозначение.

Я так и не понял почему же другая то.

Ну вот Вы не поняли, а она другая. Поэтому и численные значения разные.

Dmitriy40 в сообщении #1551545 писал(а):

А почему она должна отличаться от вероятности обнаружить одиночное простое на проверяемом месте?

Потому что места отличаются:

Dmitriy40 в сообщении #1551347 писал(а):

делимость проверяемых чисел на простые до 4096 (и непроверяемых на простые по 37) проверит моя программа

Dmitriy40 в сообщении #1551545 писал(а):

$p_1, p_2$ уже не зависят от места,

Это у меня не зависят. Потому что я постулировал это.

Yadryara в сообщении #1551456 писал(а):

Вычисляется усреднённая вероятность для любого места из 15.

Пример без обозначений. Надеюсь, Вы узнаете числа.

$\dfrac{0.184\cdot11+0.07\cdot4}{15}\approx0.154$

Dmitriy40 в сообщении #1551552 писал(а):

Где-то в начале темы поднимался вопрос чаще ли пары простых дают ровно 12 делителей чем одиночное большое,

Нет, не об этом шла речь. Я недавно цитировал.

Dmitriy40 в сообщении #1551552 писал(а):

если я правильно понимаю, то это прямо сравнение $p_2=0.23$ и $p_1=0.1847$ соответственно.

О сравнении речь шла, да:

Yadryara в сообщении #1551456 писал(а):

Для программы VAL значения $p_1$ и $p_2$ конечно другие. $p_1= 0.05-6$ и $p_2=0.24$.

Вот ещё раз цитаты:

VAL в сообщении #1548563 писал(а):

достаточно, чтобы частное было произведением двух простых. Эмпирическая вероятность этого события (для 40-значных чисел) примерно 0.24.

VAL в сообщении #1549337 писал(а):

вероятность, что число из интересующего нас диапазона окажется произведением двух простых в 4 с лишним раза выше.

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1551564 писал(а):

Ну вот Вы не поняли, а она другая. Поэтому и численные значения разные.

Вероятность 14-ки с ALL $p_{14}=4p_1^{11}p_2^3(1-p_2)$, подставив $p_1=0.154, p_2=0.359$ получим за 27.3млрд попыток $27.3\cdot10^9\times4(0.154)^{11}(0.359)^3(1-0.359)=3.74$, а их найдено $11$ штук. Мои $8.73$ намного ближе к $11$ чем Ваши $3.74$ (Hint: а до 4e37 у меня совпадение ещё лучше, к ночи выложу). Это первое.
Второе, выше получены формулы отношений $p_i/p_{i-1}$, из которых прямо выражается $p_2$ — попробуйте на насчитанной статистике получить $p_2=0.359$. Собственно этим вопрос о $p_2$ закрывается. Но я оценил $p_2$ ещё двумя разными методами и получил весьма близкие значения, что повышает надёжность оценки. Фактически оценка $p_2$ уже тремя разными методами даёт близкие результаты ($p_2\approx0.23$), причём отличия в величине как раз правильно объясняются через вероятность простых, т.е. даже несовпадение оценок является подтверждением правильности величины.
Третье, выше из первых принципов получена формула для $p_{all}$, т.е. цепочек valids=11..14 с ALL, она очень простая и зависит только от $p_1^{11}$ (вероятность 15-ки можно добавить к сумме и она исчезнет из результата) и прямо подтверждает что $p_1^{11}$ является вероятностью цепочки с ALL (с valids=11..15). Это не эмпирика, это теоретический (математический) вывод. Не $((11p_1+4A)/15)^{11}; A \ne p_1$, а просто ровно $p_1^{11}$. Модельный пример показывает тоже именно это. И по нему прекрасно видно что $p_1$ именно просто вероятность обнаружения одиночного простого, независимо от места, т.е. ровно Ваше понимание. Этим собственно закрывается вопрос о смысле $p_1$.
Четвёртое, формула вероятности 15-ки $p_{15}=p_1^{11}p_2^4$ совершенно очевидно разбивается на два компонента, на вероятность цепочки с ALL (с valids=11..15) $p_1^{11}$ и вероятность обнаружения одновременно 4-х пар простых $p_2^4$, Вы много раз повторяли что эта формула правильная и что тут и $p_1$ и $p_2$ использованы именно в Вашем смысле. Я с Вами согласился. А теперь Вы снова твердите что у меня вероятности какие-то другие.
Ну и пятое. Я теоретически получил готовые формулы для всех цепочек и их отношения. И проверил по реальной статистике. И всё неплохо совпало. Совпадает ли у Вас с вашими цифрами вероятностей лучше чем у меня? Если хуже, то и говорить не о чем.
В итоге, повторю, для себя вопрос о вероятностях считаю закрытым. Что Вы там считали через numdiv и почему получаете другие вероятности я не разбирался и не вполне понимаю, сознаюсь, мне достаточно своего вывода формул из первых принципов и оценки вероятностей по реальной статистике (которая выложена публично и доступна для вычисления $p_1,p_2$ любому желающему).

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1551581 писал(а):

Совпадает ли у Вас с вашими цифрами вероятностей лучше чем у меня? Если хуже, то и говорить не о чем.

Почему же не о чем. Разные(по смыслу) вероятности надо обозначать по-разному. Вот о чём я говорил и повторяю сейчас. Раз они другие и по смыслу и по величине, то естественно, какие-то из них будут лучше соответствовать экспериментальным данным, а какие-то хуже.

Dmitriy40 в сообщении #1551581 писал(а):

Что Вы там считали через numdiv и почему получаете другие вероятности я не разбирался и не вполне понимаю, сознаюсь,

А почему не разбирались, если я специально для этого выложил свой вариант Вашей проги на PARI ? Разве не Вы говорили как важна перекрёстная проверка?

Dmitriy40 в сообщении #1551503 писал(а):

Yadryara в сообщении #1551478 писал(а):

Во-первых, это другая вероятность. Прошу придумать для неё другое обозначение.

Хорошо, давайте переименуем в допустим $p_{2D}$ и $p_{1D}$.

Длинные обозначения неудобны. Давайте просто $D_1$ и $D_2$.

Я подумал, что Ваша $D_1$ это вероятность, что ровно одно число на любом из 11-ти проверяемых мест окажется одиночным простым после ровно одной проверки.

Как это проверить? Переделал Вашу прогу ещё раз. Именно по своему, чтобы попытаться проверить другим способом.

Большой иф переделал так:

if(
numdiv(n+0)<>12*(z[1]) &&
numdiv(n+1)<>12*(z[2]) &&
...
numdiv(n+14)<>12*(z[15])
,
next;

После чего подсчитал количество попаданий на next.

Результат работы программы: $ 3189 $ раз из $28 528$ не нашлось ни одного одиночного простого после 11-ти проверок подряд 11-ти проверяемых чисел.

$\dfrac{3189}{28528} \approx 0.111785$

Отсюда

$0.111785^{\frac1{11}} \approx 0.819388$

Это вероятность, что ровно одно число на проверяемом месте не будет одиночным простым после ровно одной проверки.

$1 - 0.819388 \approx 0.181$

Узнаёте число ?

Это вероятность, что ровно одно число на любом из 11-ти проверяемых мест окажется одиночным простым после ровно одной проверки.

А моя $p_1=0.154$ это вероятность, что ровно одно число на любом из 15-ти мест окажется одиночным простым после ровно одной проверки.

Это разные вероятности. Отличие выделил болдом.

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1551586 писал(а):

Это разные вероятности.

Хорошо, пусть разные, но какая входит в $p_{15}=X^{11}p_2^4$ под обозначением $X$? И в $p_{all}=X^{11}$ для любых цепочек с ALL? У нас ведь цель не эти $p_1;p_2$ вероятности найти, а вероятности 15-ки и более коротких цепочек.
По моим вычислениям (совершенно банальным: $X=\sqrt[11]{233/27.3\cdot10^9}=0.1847$) выходит что $X=0.1847$, то есть моя.
С $p_2$ аналогично, $p_2=0.359$ намного хуже стыкуется с известной статистикой, чем $p_2=0.23$. Как её не называй.
Или Вы и с выведенными формулами не согласны? Две (одна уж точно) из которых ровно Ваши же.
Давайте формулы обсудим, потому что из них сразу же следует смысл обеих вероятностей, независимо по каким местам они должны считаться.

-- 01.04.2022, 15:04 --

И по обозначениям.
Давайте назовём $p_1$ и $p_2$ ровно те вероятности, которые надо подставлять в формулу $p_{15}=p_1^{11}p_2^4$ для получения вероятности 15-ки. Формула правильная по Вашим же словам, значит и вероятности использованы в Вашем смысле. И я их использую ровно в этом же смысле, как предназначенные для подстановки в выведенные формулы, включая и эту. Про места вообще забываем.
На этом разногласия по обозначениям и смыслу вероятностей исчезают (и не начинайте снова что это разные вероятности, меня они интересуют ровно в указанном смысле, для подстановки в формулы) и остаётся лишь вопрос как их поточнее подсчитать.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1551591 писал(а):

Хорошо, пусть разные, но какая входит в $p_{15}=X^{11}p_2^4$ под обозначением $X$?

Входить могут разные, но более точный результат я жду от $Y_1=0.181$ . Сейчас проверяю $Y_2$.

Dmitriy40 в сообщении #1551591 писал(а):

Давайте назовём $p_1$ и $p_2$ ровно те вероятности, которые надо подставлять в формулу $p_{15}=p_1^{11}p_2^4$ для получения вероятности 15-ки.

Нет, мне не хочется менять обозначения без необходимости.

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1551595 писал(а):

Нет, мне не хочется менять обозначения без необходимости.

Тогда поясните какие именно $p_1,p_2$ входят в формулы:

Yadryara в сообщении #1551516 писал(а):

$MO(14) = y(11(p_1^{10}p_2^5 + p_1^{10}p_2^4(1-p_1-p_2)) +4(p_1^{11}p_2^3(1-p_1-p_2)) + 4(p_1^{12}p_2^3))$

Yadryara в сообщении #1551509 писал(а):

Так Вы согласны, что вероятность найти пятнашку(КМК37-11) за одну попытку

$$p_1^{11}p_2^{4}$$

?

Yadryara в сообщении #1551507 писал(а):

Какова вероятность 15-шки?

$$p_1^{11}p_2^{4}$$

Yadryara в сообщении #1551502 писал(а):

Н-да. Если матожидание количества 15-шек вычисляется довольно просто
$MO(15) = yp_1^{11}p_2^4$

Более ранние искать уж не стал, но там всё то же.
Так какие?

Если я предлагаю обозначить те $p_1,p_2$, что входят во все эти Ваши формулы, именно как $p_1,p_2$ (т.е. предлагаю считать что $p_1=p_1,p_2=p_2$, уж простите за тавтологию), а Вы на это возражаете?! Тогда это Вам надо менять обозначения вероятностей в Ваших же формулах.

-- 01.04.2022, 16:03 --

Ещё раз: начиная с вот этого вчерашнего сообщения

Dmitriy40 в сообщении #1551517 писал(а):

Что же, если это всё правильно, а на то очень похоже, то все мои слова выше про фильтрацию и (условные) вероятности ошибочны. А Ваши формулы правильные.

я под $p_1,p_2$ подразумеваю ровно такие вероятности, которые надо подставлять в формулы типа такой $MO(15)=y p_1^{11} p_2^4$, независимо от способа их подсчёта.
Как они могут не совпадать с Вашим смыслом тех же вероятностей я в принципе не понимаю!
Вот считать их можно по разному, это да, это другой вопрос.

[Yadryara]

Вот самый первый ввод этих обозначений:

Yadryara в сообщении #1551407 писал(а):

Вероятность обнаружения огромного(одиночного) простого обозначим $p_1$.
Вероятность обнаружения пары простых обозначим $p_2$.

Тогда вероятность обнаружить 11 огромных простых и 4 пары простых $p_1^{11}p_2^4$

На тот момент никаких других значений не было, так что можно было для хоть какой-то весьма приблизительной оценки использовать $p_1=0.154$ и $p_2=0.360$.

Но поскольку они усреднённые, то, видимо, лучше использовать $Y_1=0.181$ и $Y_2=0.240$ или $D_1=0.1847$ и $D_2=0.23$

На всякий случай обозначил первыми буквами наших ников. Хотя подозреваю, что и $Y_1$ и $D_1$, а также $Y_2$ и $D_2$ это одно и то же.

То есть считать и $Y_1^{11}Y_2^4$ и $D_1^{11}D_2^4$.

[Dmitriy40]

Yadryara
Я ведь не спрашивал о численных значениях величин, я спрашивал о смысле обозначений в формуле

Yadryara в сообщении #1551407 писал(а):

Тогда вероятность обнаружить 11 огромных простых и 4 пары простых $p_1^{11}p_2^4$

Точнее не совсем в этой, а в $MO(15)=yp_1^{11}p_2^4$ и аналогичных для других valids, но они очевидно одни и те же (и формулы, и обозначения вероятностей).
Собственно даже не спрашивал, а предлагал $p_1$ из этой формулы назвать $p_1$ (да, тавтология, но если Вам по другому непонятно ...), а $p_2$ из этой формулы назвать $p_2$. Не уточняя как их надо считать или чему они равны! Просто считать $p_1,p_2$ имеющими смысл для подстановки в такие формулы. Всё. Если вдруг смысл $p_1,p_2$ при этом совпадёт с Вашим - прекрасно.
Если же $p_1,p_2$ имеют другой смысл и не предназначены для подстановки в такие формулы, и конкретно в $p_{15}=p_1^{11}p_2^4$, которые формулы Вы неоднократно называли правильными, то почему используете одинаковые обозначения для разных по смыслу объектов?

-- 01.04.2022, 17:20 --

Yadryara
А по конкретным значениям $p_1,p_2$: вообще говоря очевидно что уменьшив $p_1$ в формуле $p_1^{11}p_2^4$ можно для компенсации увеличить $p_2$ (легко даже получить точную формулу зависимости), но дело в том что например в $p_{14}/p_{13}$ входит только одна $p_2$, без $p_1$, и потому произвольно $p_2$ менять уже нельзя (если хотите сохранять связь с реальностью). Не верите моему выводу и не можете/хотите его проверить - выводите сами, вангую получится ровно то же самое. Так что эти вот заявления мол подходят и другие комбинации $p_1,p_2$ - плохо обоснованы, мягко говоря. Потому что и $p_1$ и $p_2$ несложно определить из насчитанной статистики (в том числе и по отдельности каждую!), тут уже нет никакого произвола, есть лишь допуск/погрешность, не более.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1551606 писал(а):

Если же $p_1,p_2$ имеют другой смысл и не предназначены для подстановки в такие формулы, и конкретно в $p_{15}=p_1^{11}p_2^4$, которые формулы Вы неоднократно называли правильными, то почему используете одинаковые обозначения для разных по смыслу объектов?

Во-первых, что значит не предназначены?

Человеческий глаз предназначен для того, чтобы смотреть на небо? Вроде как да.
А мы сможем лучше рассмотреть небесные объекты в бинокль ? Конечно.
А мы сможем лучше рассмотреть небесные объекты в телескоп и даже увидеть новые ? Конечно.
Просто глаз в этом смысле намного хуже, чем глаз с телескопом, но глаз всё-таки тоже предназначен для наблюдения.

Второе. Использование одинаковых обозначений для разных по смыслу объектов это безобразие. Я вроде бы так не делал, а если делал, то надо это исправить. Скажите, где.

Dmitriy40 в сообщении #1551606 писал(а):

Точнее не совсем в этой, а в $MO(15)=yp_1^{11}p_2^4$ и аналогичных для других valids, но они очевидно одни и те же (и формулы, и обозначения вероятностей).

Для пятнашки и $Y_1$ и $Y_2$ будет та же самая формула.

Возможно, подойдут и $D_1$ и $D_2$. Дайте, пожалуйста, им определения.

Про другую формулу(для 14-ки) пока могу сказать, что $p_1$ и $p_2$ для приближённых вычислений пока подойдут, а вот другие вероятности в некоторых случаях надо бы пересчитать.

[Yadryara]

Пусть определения здесь будут, чтоб не было путаницы.

$p_1$ — вероятность, что ровно одно число на любом из 15-ти мест окажется одиночным простым после ровно одной проверки.

$p_2$ — вероятность, что ровно одно число на любом из 15-ти мест окажется произведением ровно двух различных простых после ровно одной проверки.

$Y_1$ — вероятность, что ровно одно число на любом из 11-ти проверяемых мест окажется одиночным простым после ровно одной проверки.

$Y_2$ — вероятность, что ровно одно число на любом из 4-х непроверяемых мест окажется произведением ровно двух различных простых после ровно одной проверки.

Для нахождения $Y_2$ переделал Вашу прогу ещё раз. Возможно, есть команда позволяющая инвертировать вектор флагов, но я её не знаю, потому большой иф переделал так:

if(
numdiv(n+0)<>-12*(z[1]-1) &&
numdiv(n+1)<>-12*(z[2]-1) &&
...
numdiv(n+14)<>-12*(z[15]-1)
,
next;

После чего подсчитал количество попаданий на next.

Результат работы программы: $ 3335 $ раз из $10 000$ не нашлось ни одного произведения ровно двух различных простых после ровно 4-х проверок подряд 4-х непроверяемых чисел.

$0.3335^{0.25} \approx 0,759931$

Это вероятность, что ровно одно число на непроверяемом месте не окажется произведением ровно двух различных простых после ровно одной проверки.

А это уже $Y_2$ :

$1 - 0,759931 \approx 0.240$

[Dmitriy40]

Досчиталось до 4e37, выложил в облако, ссылка прежняя, файл Result.3e37.txt, из интересного:
N9-52-265134: 31069105194925122705779529912011217945: 48, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 24, valids=13, maxlen=13
S9-26-145326: 31446441875301846235800800594659766041: 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 24, 24, valids=13, maxlen=13
S9-21-536124: 32089818211944579651464738174096788441: 12, 48, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, valids=14, maxlen=13
S2-41-326154: 32181299254957948791124033216309036441: 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 48, 12, 12, 12, 12, valids=14, maxlen=10, ALL
S9-52-465231: 32388595416701596900873646655233634841: 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 24, valids=14, maxlen=14
S2-21-345261: 33975340518628429465400700758391762841: 24, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 48, valids=13, maxlen=13
S9-23-125346: 34435531051817529203167073780483298841: 48, 96, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, valids=13, maxlen=13
N9-56-145326: 34644178759480104031317490898611075545: 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 24, 24, valids=13, maxlen=13
N2-31-645312: 34725120536662200110552817899884545945: 96, 24, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, valids=13, maxlen=13
N2-54-645132: 35179247920131373784929138714395840345: 48, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 24, valids=13, maxlen=13
S9-54-354162: 35201177001391519191346233670792430041: 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 48, 24, valids=13, maxlen=13
N9-24-645123: 36125048066068478105478855337634160345: 24, 24, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, valids=13, maxlen=13
S9-54-531246: 37367938290786308991662516255059391641: 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 48, 12, 12, valids=14, maxlen=12, ALL
N9-56-415362: 38730956012572877418419092036397371545: 48, 24, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, valids=13, maxlen=13
S2-23-632415: 39012310935784216472651669664221994841: 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 24, 12, valids=14, maxlen=13
S2-31-213465: 39240854314111354737520989317865460441: 12, 12, 24, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, valids=14, maxlen=12
Обнаружено 74 полнокомплектных цепочки.

Минутка статистики.
Оценка значения $p_1$ и $p_2$ из формул $p_{all}=p_1^{11}$ и $p_{11}=p_1^{11}(1-p_2)^4$ соответственно, по каждому диапазону 1e37 отдельно и по всем диапазонам от нуля (только по ALL цепочкам!):
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline Интервал & 0-1e37 & 1-2e37 & 0-2e37 & 2-3e37 & 0-3e37 & 3-4e37 & 0-4e37 \\ \hline \text{Цепочек} & $88$ & $77$ & $165$ & $68$ & $233$ & $74$ & $307$ \\ $valids=11$ & $31$ & $28$ & $59$ & $22$ & $81$ & $30$ & $111$ \\ $valids=12$ & $27$ & $26$ & $53$ & $30$ & $83$ & $28$ & $111$ \\ $valids=13$ & $24$ & $19$ & $43$ & $15$ & $58$ & $14$ & $72$ \\ $valids=14$ & $6$ & $4$ & $10$ & $1$ & $11$ & $2$ & $13$ \\ $p_1$ & $0.1868$ & $0.1846$ & $0.1857$ & $0.1825$ & $0.1847$ & $0.1839$ & $0.1845$ \\ $p_2$ & $0.2296$ & $0.2235$ & $0.2267$ & $0.2458$ & $0.2321$ & $0.2021$ & $0.2246$ \\ \hline \end{tabular}

Для полного интервала 0-4e37 оценим $p_2$ из отношений вероятностей: $N_{14}/N_{13}=0.181, N_{13}/N_{12}=0.649, N_{12}/N_{11}=1.000$, выразим из них постоянную величину $\frac{p_2}{1-p_2}$: $0.271, 0.432, 0.250$. Получается совсем не постоянная. Методом МНК оценим лучшее значение $p_2$ под эти значения, получим $p_2=0.24108$.
Налицо небольшая нестыковка. Но разница всего 7%.

Я выше анонсировал лучшее совпадение оценки со статистикой, имел в виду $N_{14}=36.4\cdot10^9\times4p_1^{11}p_2^3(1-p_2)$, при подстановке $p_1=0.1845, p_2=0.241$ даёт значение $N_{14}=13.04$ (для $p_1=0.1847, p_2=0.23$ даёт $N_{14}=11.64$) при реально найденных 13-ти. К сожалению оценка по другим $N_i$ заметно ошибается.

-- 01.04.2022, 23:13 --

Yadryara в сообщении #1551611 писал(а):

Возможно, подойдут и $D_1$ и $D_2$. Дайте, пожалуйста, им определения.

Пожалуйста:
$D_1=\sqrt[11]{p_{all}}$, где $p_{all}$ это вероятность цепочки ALL (все 11 чисел на проверяемых местах дали ровно 12 делителей) по любому из паттернов КМК37-11.
$D_2=\sqrt[4]{p_{15}/p_{all}}$, где $p_{15}$ это вероятность искомой 15-шки.

Учитывая что вероятность пятнашки по определению $p_{15}=D_1^{11} D_2^4$, Вы же для ровно этой же вероятности всегда использовали формулу $p_1^{11}p_2^4$ (даже без уточнения смысла $p_1,p_2$, чисто в символьных обозначениях), делаю вывод что $D_1=p_1, D_2=p_2$. И вводить новые обозначения $D_1,D_2$ нет никакой необходимости. Точка.

(Уже лишнее, но удалять не буду.)

Yadryara в сообщении #1551616 писал(а):

Пусть определения здесь будут, чтоб не было путаницы.
$p_1$ — вероятность, что ровно одно число на любом из 15-ти мест окажется одиночным простым после ровно одной проверки.
...
$Y_1$ — вероятность, что ровно одно число на любом из 11-ти проверяемых мест окажется одиночным простым после ровно одной проверки.

Тогда вопрос к Вам: какая из этих двух вероятностей используется в формуле вероятности искомой 15-шки $A^{11}p_2^4$ на месте $A$? И не надо снова про конкретные числа, что чему равно или не равно и что можно или что нужно куда подставлять, вопрос чисто по обозначениям. Очень простой вопрос, или $A=p_1$, или $A=Y_1$, раз уж они имеют разный смысл. Вы же как-то получили эту формулу $A^{11}p_2^4$, вопрос что тут за $A$ — $p_1$ или $Y_1$?
Или на месте $A$ вообще что-то другое, не $p_1$ и не $Y_1$? Или Вы не знаете что поставили в свою формулу? Повторю, вопрос не о численных значениях, а об обозначениях в Ваших формулах.

Чтобы два раза не вставать, аналогичный вопрос будет и про $B$: в формуле вероятности пятнашки $p_1^{11}B^4$ — в $B$ надо подставлять $p_2$ или $Y_2$ или неизвестно что? Независимо от численных значений.

Ну или совсем уж просто: какая из формул $p_1^{11}p_2^4; p_1^{11}Y_2^4; Y_1^{11}Y_2^4; Y_1^{11}p_2^4$ даёт вероятность искомой пятнашки какие бы числа в неё не подставляли? Или ни одна из этих?

-- 01.04.2022, 23:35 --

Упс, пропустил:

Yadryara в сообщении #1551611 писал(а):

Для пятнашки и $Y_1$ и $Y_2$ будет та же самая формула.

Это получается что $p_{15}=p_1^{11}p_2^4=Y_1^{11}Y_2^4$ что ли?!

Тогда вопрос другой: в вероятности цепочки ALL $p_{all}=A^{11}$ какая из Ваших вероятностей стоит? Тут двойного толкования быть не может. Ответьте пожалуйста в символьных обозначениях, $p_1 \ne Y_1$, у них и смысл разный, и потому обе подходить не могут.

[Dmitriy40]

Когда в среднем ждать 15-ку можно легко оценить зная всего два числа: количество цепочек ALL любой длины $N_{all}$ и количество их же длины 11 $N_{11}$. Тогда из отношения $p_{11}=D_1^{11}(1-D_2)^4$ к $p_{all}=D_1^{11}$ равного $p_{11}/p_{all}=(1-D_2)^4=N_{11}/N_{all}$ получаем $D_2$ и подставляя его в $N_{11}/N_{15}=p_{11}/p_{15}=(1-D_2)^4/D_2^4$ получаем сразу на сколько цепочек valids=11 с ALL должна приходиться одна пятнашка. Для последних $N_{11}=111, N_{all}=307$ получаем одну пятнашку на 142 цепочки valids=11 с ALL. Типа уже близко ...

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1551626 писал(а):

$D_1=\sqrt[11]{p_{all}}$, где $p_{all}$ это вероятность цепочки ALL (все 11 чисел на проверяемых местах дали ровно 12 делителей) по любому из паттернов КМК37-11.
$D_2=\sqrt[4]{p_{15}/p_{all}}$, где $p_{15}$ это вероятность искомой 15-шки.

Представляется странным, что Вы определяете $D_2$ через вероятность искомой 15-шки, которую, наоборот, нужно найти уже зная $D_2$

Но если пока не обращать на это внимание, тогда, видимо, действительно

Yadryara в сообщении #1551604 писал(а):

подозреваю, что и $Y_1$ и $D_1$, а также $Y_2$ и $D_2$ это одно и то же.

Просто вычисленные с разной точностью. Полагаю, что $Y_1$ это более точное приближение чем $D_1$. Потому что расчёт $Y_1$ основан на числе 3189, которое в 13 с лишним раз больше чем 233, которое лежит в основе расчёта $D_1$. И, соответственно, $Y_2$ это более точное приближение чем $D_2$.

Dmitriy40 в сообщении #1551626 писал(а):

Упс, пропустил:

Вы ещё выше, видимо, тоже пропустили.

Dmitriy40 в сообщении #1551626 писал(а):

Это получается что $p _{15}=p_1^{11}p_2^4=Y_1^{11}Y_2^4$ что ли?

Ну нет, конечно, знак равенства здесь и выше ставить нельзя. Это моя невнимательность, спасибо за дотошность.

$P(15)\approx p_1^{11}p_2^4 \approx D_1^{11}D_2^4\approx Y_1^{11}Y_2^4$

Что при подстановке вышеназванных чисел даёт одну пятнашку на

52 миллиарда; 42 миллиарда; 44 миллиарда

попыток соответственно.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1551626 писал(а):

Учитывая что вероятность пятнашки по определению $p_{15}=D_1^{11} D_2^4$, Вы же для ровно этой же вероятности всегда использовали формулу $p_1^{11}p_2^4$ (даже без уточнения смысла $p_1,p_2$, чисто в символьных обозначениях), делаю вывод что $D_1=p_1, D_2=p_2$. И вводить новые обозначения $D_1,D_2$ нет никакой необходимости.

Есть необходимость. Выше Вы уже согласились, что это разные вероятности. У них определения разные.

Зачем нам снова путаница-то?

Ещё можно ввести обозначения $P_1$ и $P_2$. И назвать их истинными вероятностями. А наши вероятности $p_1$, $p_2$; $D_1$, $D_2$ и $Y_1$, $Y_2$ будут лишь более или менее удачными приближениями истинных.

Dmitriy40 в сообщении #1551626 писал(а):

Ну или совсем уж просто: какая из формул $p_1^{11}p_2^4; p_1^{11}Y_2^4; Y_1^{11}Y_2^4; Y_1^{11}p_2^4$ даёт вероятность искомой пятнашки какие бы числа в неё не подставляли? Или ни одна из этих?

Приближённую вероятность дают все перечисленные. Истинную — ни одна из них.

Dmitriy40 в сообщении #1551626 писал(а):

Тогда вопрос другой: в вероятности цепочки ALL $p_{all}=A^{11}$ какая из Ваших вероятностей стоит?

То же самое, подстановка любой из двух моих вероятностей $p_1$ или $Y_1$ даст приближённую вероятность. Истинную — ни одна из них.

[Yadryara]

Ещё уточнение определений. К четырём определениям чуть выше я забыл добавить слово "эмпирическая".

Для примера исправлю одно и добавлю ещё два.

$Y_1$ — эмпирическая вероятность, что ровно одно число на любом из 11-ти проверяемых мест окажется одиночным простым после ровно одной проверки.

$P_1$ — истинная вероятность, что ровно одно число на любом из 11-ти проверяемых мест окажется одиночным простым после ровно одной проверки.

$P_2$ — истинная вероятность, что ровно одно число на любом из 4-х непроверяемых мест окажется произведением ровно двух различных простых после ровно одной проверки.

Теперь, почему удобней пересчитывать вероятность именно в попытки.

Dmitriy40 в сообщении #1551051 писал(а):

Выложил всё насчитанное по другим паттернам (VAL4, Yadryara4b, Yadryara4a, VAL1) в облако, ссылка прежняя
, файлы M12-N2-41-561342.upto25e39.txt, M12-N2-41-256431.upto30e40.txt, M12-N2-53-245136.upto50e40.txt, M12-S9-36-125364.upto75e40.txt соответственно.

Потому что можно прикинуть количество попыток и по одиночным паттернам:

$2500\cdot 197644\approx0.49$ млрд

$30000\cdot 197644\approx5.93$ млрд

$50000\cdot 197644\approx9.88$ млрд

$75000\cdot 197644\approx14.82$ млрд

$36.43 + 0.49 + 5.93 + 9.88 + 14.82\approx 67.55$ миллиардов попыток.

А на самом деле, видимо, в старых прогах делалось ещё больше попыток из-за худшей фильтрации.

Итог. Сделано уже больше 67 ярдов попыток, но 15-шка не найдена, хотя должна встречаться в среднем 1 раз на примерно 43 ярда попыток.