моды в проводнике

[peregoudov]

dorota в сообщении #150251 писал(а):

U(x,y)=0 при x,y, лежащих внутри теугольника;
=бесконечности при x,y, лежащих вне теугольника.

Ну, вот с этого и надо было начинать! Как решается аналогичная задача, если треугольник заменить на прямоугольник, знаете? С треугльником идеологически точно так же. Аналитического решения вроде нет. Если нужно решить численно (например, найти энергию основного состояния), могу подсказать, как выбрать волновую функцию для варьирования.

[dorota]

не знаю, как для прямоугольного решать. Где про это лучше почитать?а найти нужно волновые функции.

[MOPO3OB]

Цитата:

А под модами вообще что понимается? Типа моды в волноводе? Какое вообще явление исследуем? Какими уравнениями описываем? Какие параметры даны?

Идеологически --- так же, как для квадратного сечения. А технически может быть довольно сложно.

Круглый проводник, за одно и диэлектрический стержень решен Зоммрфельдом черт-те когда. Это можно посмотреть, чтоб набраться ума.

Прямоугольный стержень решается без спецфункций, если это кого-то радует... треугольную задачу придумал какой-то садюга. Тут в общем виде нет ортогональной системы координат у которой поверхности проводника совпадают с координатными плоскостями.

Мунин здесь прав, задача решается для прямоугольного треугольника.

[Утундрий]

Если прямоугольный, то по симметрии восстановите до прямоугольника... делов-то... Другое дело, ежели НЕ. Тут можно прямой вариационный посоветовать с штраф-функциями... хотя проще послать означенную "светлую голову" вдаль )

[peregoudov]

dorota в сообщении #151436 писал(а):

не знаю, как для прямоугольного решать. Где про это лучше почитать?

В любом учебнике по квантовой механике. Искать "прямоугольную яму".

[Munin]

peregoudov в сообщении #151908 писал(а):

В любом учебнике по квантовой механике. Искать "прямоугольную яму".

Тю. Прямоугольная яма - это одномерная яма с прямоугольным профилем. А двумерная прямоугольная область как-то иначе называется. И думаю, искать надо в учебниках по матфизике, по конкретным граничным задачам и методу Фурье.

[peregoudov]

Munin в сообщении #151925 писал(а):

Тю.

Ну, тогда точнее: Ландау, Лифшиц "Квантовая механика" (третий том известного курса), параграф 22 "Потенциальная яма".

Munin в сообщении #148718 писал(а):

Для удачных треугольников, например, равнобедренных или прямоугольных, они могут оказаться даже конечными суммами.

MOPO3OB в сообщении #151732 писал(а):

Мунин здесь прав, задача решается для прямоугольного треугольника.

Утундрий в сообщении #151796 писал(а):

Если прямоугольный, то по симметрии восстановите до прямоугольника... делов-то...

Фокус не пройдет. Это задача на собственные значения, а не для уравнения Лапласа.

А вот когда треугольник прямоугольный да еще равнобедренный, можно построить часть собственных функций достраиванием до квадрата: те функции, которые принадлежат одномерным представлениям группы $D_4$, с $U_2=-1$ (меняют знак при замене $x\leftrightarrow y$) автоматически удовлетворяют граничному условию $\psi=0$ на диагонали квадрата (гипотенузе треугольника). Например, функции типа $\sin nx\sin my-\sin mx\sin ny$.

[Munin]

peregoudov в сообщении #152056 писал(а):

Фокус не пройдет. Это задача на собственные значения, а не для уравнения Лапласа.

А вы уверены, что речь шла о задаче для уравнения Лапласа? Речь шла именно о тех собственных функциях, которые удовлетворяют граничному условию на гипотенузе (или на боковых сторонах).

[peregoudov]

Я так понял, речь шла о принципе отражений? Вообще-то он формулируется для задач типа уравнения Лапласа, теплопроводности (волнового, хе-хе ;)), а не для задач на собственные значения.

Munin в сообщении #152189 писал(а):

Речь шла именно о тех собственных функциях, которые удовлетворяют граничному условию на гипотенузе (или на боковых сторонах).

ИМХО, собственная функция должна удовлетворять граничным условиям и там и там. Граничным условиям на сторонах прямоугольника легко удовлетворить, а вот на диагонали --- для этого нужна симметрия квадрата.

Можно еще подумать о равностороннем треугольнике, там тоже симметрия богатая.

[Munin]

peregoudov в сообщении #152227 писал(а):

Я так понял, речь шла о принципе отражений?

Не о нём, но всё равно спасибо.

peregoudov в сообщении #152227 писал(а):

Вообще-то он формулируется для задач типа уравнения Лапласа, теплопроводности (волнового, хе-хе ;)), а не для задач на собственные значения.

И для задач на собственные значения тоже. Вспомните, что задача на собственные значения получается из волнового уравнения условием стационарности.

peregoudov в сообщении #152227 писал(а):

Граничным условиям на сторонах прямоугольника легко удовлетворить, а вот на диагонали --- для этого нужна симметрия квадрата.

А по-моему, достаточно симметрии прямоугольника. Впрочем, я могу ошибаться. У вас есть под рукой картинки разных мод в волноводе прямоугольного сечения?

[peregoudov]

Munin в сообщении #152288 писал(а):

Впрочем, я могу ошибаться.

А Вы попробуйте написать функции явно, как это сделал я.

[Munin]

Лень. Я помню, что на каких-то тригонометрических вылезает ровная диагональ, причём в прямоугольнике, а не в квадрате, но писать лень.

[AlexNew]

Цитата:

ИМХО, собственная функция должна удовлетворять граничным условиям и там и там. Граничным условиям на сторонах прямоугольника легко удовлетворить, а вот на диагонали --- для этого нужна симметрия квадрата.

для одномерных случаев (или сферических, цилиндрических случаев - тоже одномерное ДУ) решается просто.

А как быть с квадратиками, кубиками, треугольниками?? тут уже уравнение в частных проихводных, при этом ответ должен быть таким чтобы потом можно было найти из него собственное значение.

Если прямоугольник узкий то вроде можно решать независимо для 2х потенциальных ям, а ответ в виде суперпозиции решений получается.
Вариационный метод вроде подходит только для численного решения.

1)Нельзя ли кратко обозначить аналитическое решение (неважно какого ДУ второго порядка в частных производных для граничных условий с какими либо симметриями , квадрат, правельный треугольник,... да так чтобы потом можно было решить задачу на собстбенные значения) ( 1), 2), ...) ?

еще есть какойто фокус с заменой систем координат для элипсов?

2)или если лень то можно отослать к какому нибудь конкретному учебнику, который понравился именно вам (посылающему), а не к целому классу учебников?

еще я слушал байку о том что кажется Фок решил задачу о дифракцию эм волн на кубике а потом решение потерялось и никто не может его повторить с тех пор незнаю правда или бред

[AlexNew]

для прямоугольника и равнобедренного треугольниука все оказалось просто, что то я глупость спросил... остальные вопросы пока глупостью не кажутся

[Munin]

Приведите для равнобедренного треугольника, пожалуйста.