Не более пяти решений

[nnosipov]

Dmitriy40

(Оффтоп)

Спасибо за программу в любом случае. Опыта в программировании на PARI/GP у меня мало, а студента, который бы занимался программированием моих алгоритмов, увы, нет (во всяком случае, квалифицированного студента). Так что вынужден сам развлекаться с этим.

[Dmitriy40]

nnosipov
Переписал извлечение квадратного корня на аппаратную команду FSQRT (должна обеспечивать достаточную точность хотя бы до $|H|<10^{12}$), плюс пропуск извлечения по младшим 6-ти битам аргумента (когда точно не извлечётся), скорость работы выросла на порядок (более полмиллиарда квадратных уравнений в секунду в 4-х потоках или порядка 25 тактов на квадратное уравнение в среднем).
Досчитал диапазон $|H|<10^{12}$ (UPD. 16.10.2020), после 175млн ничего интересного так и не нашлось, только "пятёрки".
Полный список решений в приложенном файле, здесь приведу лишь исключения из 6-ти известных однопараметрических серий:

H=-209, m=4, n=5: (-5,-16) (-2,15) (0,-1) (1,-15) (1,14)
H=-389, m=5, n=5: (-7,-22) (-15,29) (13,-27) (0,-1) (3,20)
H=-4229, m=9, n=5: (25,74) (-47,93) (45,-91) (0,-1) (3,65)
H=-9353, m=10, n=5: (-11,98) (-6,-97) (0,-1) (2,-97) (4,-97)
H=-64083, m=16, n=5: (53,264) (-178,-357) (180,359) (0,-1) (15,254)
H=-11282249, m=58, n=5: (-84,-3361) (-14,3359) (-6,3359) (0,-1) (20,3359)
H=-175481375, m=116, n=6: (-9368,18735) (9366,-18733) (-23,13247) (-9,13247) (0,-1) (32,13247)
H=-218535503, m=122, n=5: (5587,-16762) (-21,14783) (-11,14783) (0,-1) (32,14783)
H=-344583203, m=137, n=5: (1243,-18646) (-21,18563) (-13,18563) (0,-1) (34,18563)
H=-17171193263, m=362, n=5: (3747,-131146) (-112,131039) (-5,131039) (0,-1) (117,131039)
H=-58961053259, m=493, n=5: (-20377,244523) (-71,242819) (-19,242819) (0,-1) (90,242819)
H=-96655666319, m=558, n=5: (-9725,311199) (-127,310895) (-9,310895) (0,-1) (136,310895)
H=-150496612203, m=623, n=5: (11093,-388256) (-163,387939) (-7,387939) (0,-1) (170,387939)
H=-191550579209, m=662, n=5: (-9122,437855) (-194,-437665) (0,-1) (6,-437665) (188,-437665)
H=-199700766089, m=669, n=5: (9314,-447073) (-190,446879) (-6,446879) (0,-1) (196,446879)
H=-295763017343, m=738, n=5: (-205553,616658) (-103,-543841) (0,-1) (48,-543841) (55,-543841)
H=-374471743379, m=783, n=5: (21883,612723) (-155,-611941) (0,-1) (14,-611941) (141,-611941)
H=-773951209529, m=938, n=5: (-1337,-879747) (-174,-879745) (0,-1) (16,-879745) (158,-879745)
H=-825406546199, m=954, n=5: (-36399,-909976) (-335,908519) (-4,908519) (0,-1) (339,908519)

(Убрал вычисление Q и расширил перебор с Q до m приравняв Q=m.)
Из них не подпадают под двухпараметрическую серию лишь следующие:

H=-209, m=4, Q=4, n=5: (-5,-16) (-2,15) (0,-1) (1,-15) (1,14)
H=-389, m=5, Q=4, n=5: (-7,-22) (-15,29) (13,-27) (0,-1) (3,20)
H=-4229, m=9, Q=7, n=5: (25,74) (-47,93) (45,-91) (0,-1) (3,65)
H=-64083, m=16, Q=15, n=5: (53,264) (-178,-357) (180,359) (0,-1) (15,254)

UPD 16.10.2020: Перезалил расширенный до 1трлн файл и обновил списки исключений.

Вложение:

solve5_1e12.txt

[nnosipov]

Dmitriy40 в сообщении #1483593 писал(а):

исключения из двух самых плотных серий

Надо будет составить отдельный список всех значений $H$ до 100 млрд, которые дают пятерки, но вне всех 4-х известных серий.

[Dmitriy40]

nnosipov в сообщении #1483595 писал(а):

Надо будет составить отдельный список всех значений $H$ до 100 млрд, которые дают пятерки, но вне всех 4-х известных серий.

Серий вообще-то 6 штук, все они приведены в Вашем сообщении.
А список исключений из них был вот тут, все новые решения до 120млрд в него уже были включены.

[nnosipov]

Dmitriy40 в сообщении #1483601 писал(а):

Серий вообще-то 6 штук

Да, действительно, подзабылось уже.

Dmitriy40 в сообщении #1483601 писал(а):

А список исключений из них был вот тут, все новые решения до 120млрд в него уже были включены.

Хорошо, спасибо.

Кстати говоря, задача про "не более пяти решений" недавно была опубликована в сборнике "Математическое просвещение", вып. 26 (см. Задачник, стр. 272, задача 19.3', п. б)). Поскольку публикация решения маловероятна, выкладываю соответствующий файл здесь. Там также можно найти краткое описание тех результатов, что обсуждались выше для случая отрицательных $H$ (см. Комментарий, пп. II, III).

[maxal]

nnosipov в сообщении #1454245 писал(а):

Используются две вспомогательные процедуры. Первая находит целую часть квадратного корня из натурального $N$:

FloorSqrt:=proc(N)

Для целочисленных корней в мапле есть функции isqrt(x) и iroot(x,n).

-- Fri Sep 18, 2020 11:28:55 --

nnosipov в сообщении #1454245 писал(а):

Вторая решает квадратные уравнения $at^2+bt+c=0$ с целыми коэффициентами в целых числах:

И это он тоже, кстати, умеет с помощью isolve().

[nnosipov]

maxal
Спасибо. Как-то я это дело проморгал. Попробую поэкспериментировать.

[nnosipov]

maxal в сообщении #1483620 писал(а):

И это он тоже, кстати, умеет с помощью isolve().

Это медленно. На коэффициентах порядка $10^{10}$ сильно проигрывает моей solve_int, на коэффициентах порядка $10^{100}$ слегка проигрывает ей же.

maxal в сообщении #1483620 писал(а):

в мапле есть функции isqrt(x)

А вот здесь выигрыш может доходить до порядка (зависит от ситуации) по сравнению с моей FloorSqrt.

Но это все, конечно, проиграет тому программированию, что продемонстрировал Dmitriy40.

[Dmitriy40]

Если написать на PARI с использованием встроенных функций (как минимум issquare) и скомпилировать в исполняемый файл (.exe под виндой или что там под линуксом), то проиграет не сильно, думаю всего в разы. Могут ли другие CAS компилировать программу в исполняемый вид не знаю.

nnosipov в сообщении #1456320 писал(а):

Все эти серии бесконечны и, похоже, попарно не пересекаются, за единственным исключением: 1-я "плотная" серия пересекается с 3-й "редкой" по $H=-1219919$.

Вот кстати, написал на PARI код для проверки, запустил для первых значений $H$ во всех 4 "редких" сериях (при этом $H$ выросли до $|H|<10^{100000}$), пересечения серий нашлось ровно два: $H=-19, H=-1219919$. Похоже их и правда больше нет вообще.

Плюс обе первые "плотные" серии проверил до $|H|<9{,}22\cdot10^{18}$, после $H=-1160117659$ ничего интересного не обнаружено, лишь "стандартные для серии пятёрки".
Все 4 "редкие" серии были проверены раньше до $|H|<10^{34}$ (на самом деле в файле остались данные даже до $|H|<10^{36}$, это более 4млрд квадратных уравнения для каждого $H$).

[Dmitriy40]

nnosipov
Досчитал до 500млрд. Файл со всеми решениями и список исключений обновил в этом сообщении выше.

Дополнительно двухпараметрическим перебором найдены следующие решения (приведу все с $|H|>5\cdot10^{11}$):

H=-773951209529, m=938, n=5: (-1337,-879747) (-174,-879745) (0,-1) (16,-879745) (158,-879745)
H=-825406546199, m=954, n=5: (-36399,-909976) (-335,908519) (-4,908519) (0,-1) (339,908519)
H=-40089702503603, m=2517, n=5: (-95956,-6333097) (-531,6331643) (-11,6331643) (0,-1) (542,6331643)
H=-358099571149313, m=4351, n=5: (-6160,-18923521) (-240,18923519) (-112,18923519) (0,-1) (352,18923519)
H=-721233187217639, m=5183, n=5: (373069,26860967) (-629,-26855785) (0,-1) (36,-26855785) (593,-26855785)
H=-3795172190089687, m=7849, n=5: (7823839,62590711) (-2777,-61604969) (0,-1) (4,-61604969) (2773,-61604969)
H=-17322392137835663, m=11473, n=5: (49745627,-149236882) (-1187,131614559) (-45,131614559) (0,-1) (1232,131614559)
H=-139516502283628439, m=19327, n=5: (-1037561,-373521961) (-6831,373519079) (-4,373519079) (0,-1) (6835,373519079)
H=-3379324091368319399, m=42876, n=5: (1500649,1838295024) (-6051,1838293799) (-25,1838293799) (0,-1) (6076,1838293799)
H=-6727377311170181803, m=50929, n=5: (-3430851,-2593723357) (-20790,2593718819) (-3,2593718819) (0,-1) (20793,2593718819)
H=-25408849055179104523, m=70999, n=5: (46677327,-5041151317) (-2175,-5040719101) (0,-1) (933,-5040719101) (1242,-5040719101)
H=-84833348102856597479, m=95972, n=5: (-8788655,-9210510441) (-33929,9210502055) (-4,9210502055) (0,-1) (33933,9210502055)
H=-472819304275627512449, m=147460, n=5: (-28313080,-21744445441) (-21272,21744408575) (-24,21744408575) (0,-1) (21296,21744408575)
H=-636871943494461306027, m=158860, n=5: (-53017717,25236433291) (-10357,-25236321909) (0,-1) (119,-25236321909) (10238,-25236321909)
H=-5015317752832834803329, m=266119, n=5: (-376376,-70818908161) (-3080,70818908159) (-2184,70818908159) (0,-1) (5264,70818908159)
H=-696919427230608058171169, m=913684, n=5: (-4348123172,834839649023) (-144476,-834817002241) (0,-1) (20,-834817002241) (144456,-834817002241)

[Dmitriy40]

nnosipov
Досчиталось до круглого числа в один триллион. Ничего интересного не нашёл. Обновил в сообщении выше. На этом остановлюсь, более месяца до двух триллионов жалко.

[nnosipov]

Dmitriy40 в сообщении #1487518 писал(а):

Досчиталось до круглого числа в один триллион.

Звучит Получается, что у нас даже новых шестерок не прибавилось, одни пятерки. Загадочная история.