Опять открытые множества

[rancid_rot]

Согласно какой элементарной школьной теореме мы не можем придумать и рассмотреть точку, соседнюю к предельной (например к концу отрезка $[0,1]$)?


Только не бейте

[B@R5uk]

rancid_rot в сообщении #1441256 писал(а):

соседнюю к предельной (например к концу отрезка [0,1])

Вы имеете в виду точки 0 и 1?

Если да, то возьмём для удобства точку 0. И рассмотрим какое-нибудь очень маленькое число a. Вы можете указать какое-нибудь число, которое лежит между этими двумя?

[Mihr]

Не очень понятно, о чём Вы спрашиваете.
Поставить пятнышко "вплотную" к изображению отрезка мы, конечно, сумеем. Но ведь точка - это вовсе не то самое нарисованное пятнышко.
Само понятие "соседняя точка" в данной теме Вы можете расшифровать?

[arseniiv]

Присоединяюсь. Вот например такое определение: точки $a < b$ являются соседними, если не существует точки $c$ такой, что $a < c < b$. Подойдёт ли оно? Если да, тогда можно назвать виновника сразу: плотность порядка вещественных чисел (которая как раз и утверждает ровно то, что соседних точек не существует). Но при этом если бы порядок не был бы ещё и линейным, могли бы например найтись такие точки $a\ne a'$, что если что-то меньше/больше одной из них, то оно и меньше/больше и другой из них (это означает, что они не могли бы быть сравнимы друг с другом, то есть отрицает линейность порядка). Такие точки не так много смысла называть «соседними», но в принципе можно было бы — так что если принимать такое более общее определение (несравнимы, но одинаково сравнимы со всем остальным), то виновата не только плотность порядка, но и линейность.

[rancid_rot]

Mihr в сообщении #1441262 писал(а):

Само понятие "соседняя точка" в данной теме Вы можете расшифровать?

Mihr в сообщении #1441262 писал(а):

Вы можете указать какое-нибудь число, которое лежит между этими двумя?

Ну пусть "соседняя точка" - это точка $b=1-a$ при $a\to0$. Вопрос в том, почему мы не можем исключив из отрезка $[0,1]$ точку $1$, получить отрезок $[0, b]$.

[Xaositect]

$b = \lim\limits_{1-b \to 0}$. От чего берется предел?

[arseniiv]

rancid_rot в сообщении #1441273 писал(а):

Ну пусть "соседняя точка" - это точка b < 1 такая, что $b=\lim\limits_{1-b->0}$.

Но вторая формула бессмысленна. А если написать вместо неё осмысленную $b = \lim\limits_{b'\to1}b'$, то тогда неизбежно $b = 1$, и других вариантов исправления в голову мне например не приходит. Так что пока ясности вы не внесли!

-- Пн фев 24, 2020 21:18:50 --

rancid_rot

arseniiv в сообщении #1441271 писал(а):

Вот например такое определение: точки $a < b$ являются соседними, если не существует точки $c$ такой, что $a < c < b$. Подойдёт ли оно?

[rancid_rot]

arseniiv в сообщении #1441280 писал(а):

Так что пока ясности вы не внесли!

Хорошо, давайте просто скажем, что $b<1$ на бесконечно малую величину.

[Xaositect]

Даже если мы работаем в нестандартном анализе с актуальными бесконечно малыми и возьмем $b$, которое меньше $1$ на бесконечно малую величину, то $\frac{1 + b}{2}$ все равно будет лежать между $b$ и $1$, то есть отняв от отрезка $[0,1]$ точку $1$ мы все равно не получим $[1,b]$.

[rancid_rot]

Xaositect в сообщении #1441285 писал(а):

Даже если мы работаем в нестандартном анализе с актуальными бесконечно малыми и возьмем $b$, которое меньше $1$ на бесконечно малую величину, то $\frac{1 + b}{2}$ все равно будет лежать между $b$ и $1$, то есть отняв от отрезка $[0,1]$ точку $1$ мы все равно не получим $[1,b]$.

То есть мы вообще не имеем права рассматривать отрезок как множество бесконечно близко лежащих точек?

[arseniiv]

Отрезок $[a; b]$ — это множество точек $\{x\mid a\leqslant x\leqslant b\}$. Про близколежащесть ничего не говорится. Мы можем найти в любом отрезке точки, лежащие на любом достаточно малом расстоянии от любой точки отрезка, но все расстояния конечны, потому что это обычные вещественные числа, ну а если расстояние $|x - y|$ между $x, y$ равно нулю, то $x = y$.

[rancid_rot]

arseniiv в сообщении #1441291 писал(а):

Отрезок $[a; b]$ — это множество точек $\{x\mid a\leqslant x\leqslant b\}$.

Ну так раз это точки, к тому же упорядоченные, то почему нельзя рассмотреть например предпоследнюю точку?

[Mihr]

Так Вам ведь и пытаются объяснить, что "предпоследней" точки просто не существует.

[Xaositect]

Ну вот рациональные числа, например, тоже упорядочены. Можно ли взять предпоследнее рациональное число перед, например, $1/3$?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.