Точное вакуумное решение уравнений ОТО для двух тел

[monky99]

warlock66613 в сообщении #1384089 писал(а):

monky99, понимаете, если метрики совпадают по виду - значит они совпадают в точности. Потому что никаким экспериментом вы не сможете различить эти две ситуации.

У меня появлялась мысль, что живущие на элипсоиде в результате измерений поверхности пришли бы к выводу, что живут на шаре.

warlock66613 в сообщении #1384089 писал(а):

Дело в том, что чтобы какая-то координата была расстоянием до поверхности тела, мало просто объявить "$r$ - расстояние до поверхности тела". Нет, надо вычислить это самое расстояние, используя метрику, и показать, что оно и в самом деле совпадает с соответсвующей координатой.

Я не объявлял $r$ расстоянием до поверхности. У меня это просто число присвоенное поверхности с постоянным $g_t_t$.

-- 25.03.2019, 18:24 --

Geen в сообщении #1384092 писал(а):

и означает это только то, что эллипсоид на самом деле сфера. В чём можно убедиться измерив длину "большого круга" - она не зависит от наклона к оси.

Не спорю. Ситуация в самом деле странная. Взяли эллипсоид, а оказалось, что он неотличим от сферы.

[warlock66613]

monky99 в сообщении #1384095 писал(а):

У меня появлялась мысль, что живущие на элипсоиде в результате измерений поверхности пришли бы к выводу, что живут на шаре.

Ну вот на самом деле это не так, и эллипсоид отличим от сферы/шара. Просто ваше решение, ваша метрика - неправильная, она описывает только частный случай. (А ошибка в вашем выводе метрики, которая приводит в неверному ответу, - это, насколько я могу судить, необоснованное утверждение, что метрика непременно диагональная. Это требование приводит к тому, что в школе называлось "потеря корней".)

[monky99]

А теперь по поводу преобразований координат и тензорных уравнений.
Если уравнение имеет вид равенства двух тензоров с одинаковым набором верхних и нижних индексов, то оно инвариантно при произвольных преобразованиях координат.
Для двух ковариантных тензоров второго ранга в матричном виде это можно записать так: Если $A=B$, то верно и $C^TAC=C^TBC$ где $C$ это матрица преобразования координат, т.е. матрица частных производных.
Но что, если мы не будем налагать условие, чтобы матрица $C$ являлась матрицей преобразования координат?
Ничего не изменится. По прежнему будет: если $A=B$, то верно и $C^TAC=C^TBC$

Симметричную матрицу можно привести к диагональному виду, используя некоторую матрицу $D$.
Это означает, что метрический тензор можно привести к диагональному виду, и что применение матрицы, использованной для этого, к уравнениям ОТО оставят их справедливыми.
Независимо от того, будет эта матрица матрицей преобразования координат или не будет.

И в случае, если метрика не зависит от времени, мы можем привести диагонализованный метрический тензор к виду, когда зависит только от одной "пространственной координаты" и представляет собой функцию $1-2M/r$ где $r$ эта самая "пространственная координата".

А дальше та же схема. Система уравнений ОТО оказывается идентичной системе уравнений из решения Шварцшильда. $g_t_t$ идентично такому же компоненту из метрики Шваршильда. А в силу теоремы Биркхофа эта система уравнений имеет единственное решение.

В результате решение для любой статичной системы сводится к решению Шварцшильда.

Мда. Что-то какая-то фантасмагория получается. Весь мир сплошной шар и ничего кроме шара.

-- 25.03.2019, 19:21 --

warlock66613 в сообщении #1384105 писал(а):

(А ошибка в вашем выводе метрики, которая приводит в неверному ответу, - это, насколько я могу судить, необоснованное утверждение, что метрика непременно диагональная.)

Из геометрических соображений вполне можно предположить, что выбранная таким способом СК будет ортогональной.
Впрочем, любую симметричную матрицу можно привести к диагональному виду, а потом соответствующим образом переобозначить параметр $r$. В результате придем к той же ситуации, и эта недиагональная метрика окажется метрикой Шварцшильда.

[warlock66613]

monky99, вы продолжаете путать просто тензоры/матрицы и тензорные/матричные поля. Да, слово "поле" часто опускается в этом контексте, очень часто, но это не потому что нет никакой разницы. В частности, то, что называется "метрический тензор" - на самом деле не тензор, а тензорное поле.

-- 25.03.2019, 21:28 --

monky99 в сообщении #1384106 писал(а):

применение матрицы, использованной для этого, к уравнениям ОТО оставят их справедливыми

Справедливыми оставит, а вот выглядеть они будут после такого преобразования совсем-совсем по-другому, очень непривычно (для вас). (Там кроме метрического тензора появится ещё четвёрка векторных полей, называемых тетрадой, и дополнительные уравнения, связывающие одно с другим, и в этих уравнениях будет сидеть ваша "матрица" (на самом деле оно тоже поле) $C$.)

[manul91]

monky99 в сообщении #1384083 писал(а):

При помощи часов находим поверхности на которых $g_t_t$ постоянно. Одну из осей эллипсоида определяем как ось нашей СК. На поверхностях с постоянным $g_t_t$ проводим два набора линий. Первый набор составляют линии нарисованные по кратчайшему расстоянию между точками пересечения поверхности с центральной осью (меридианы). Второй набор составляют линии, расстояние от точек которых до точек пересечения центральной оси с поверхностью (параллели). Измерения расстояний проводим по поверхности.
Получаем СК в которой вектора базиса направлены следующим образом: направление $dr$ совпадает с направление градиента $g_t_t$, $d\theta$ направлен по касательной к меридиану, а $d \varphi$ направлен по касательной к параллели. Вполне очевидно, что в силу симметрии системы данный базис будет ортогональным.
В силу способа выбора координаты $r$ выражение для $g_t_t$ будет зависеть только от $r$. И мы можем эту координату выбрать таким образом, чтобы $g_t_t=-(1-2M/r)$ где $M$

Непонятно откуда вы это взяли.
Допустим тело это эллипсоид вращения (по углом $\varphi$), и что вся физическая ситуация (распределение плотности и пр) - а значит и конфигурация пространства-времени - имеет ту же симметрию (тело стабильное, ситуация статическая и не зависит от времени).

Из-за отсутствия симметрии по $\theta$ и $r$ - все что можно сказать изначально в силе симметрии, это что коеффициенты $g_{tt}(r,\theta), g_{rr}(r,\theta), g_{\theta\theta}(r,\theta), g_{\varphi\varphi}(r,\theta)$ будут некими функциями радиальной координатой $r$ и широтой $\theta$
(и при этом в силе диагональности - допустим координаты подобраны так что уже все координатные линии $dr$, $dt$, $d\theta$, $d\varphi$ ортогональны друг друга в любой точке).

Далее, если при этих условий вы хотите уничтожить зависимость от $\theta$ в $g_{tt}$ (чтобы градиент времени был ортогонален поверхностям постоянного $r$) вне зависимости от $\theta$ - то нужно подходящим образом перейти к новую радиальную координату $R=f(r,\theta)$ - но при этом коеффициент $g_{r\theta}$ не останется нулевым - т.е. это нарушит ортогональность координатных линий $dr$ и $d\theta$.
(рекомендую попробовать это с какой-нибудь диагональной метрики и преобразованием координат, чтобы убедится)

Если вы подойдете наоборот - с самого начала возьмете $r$ так чтобы поверхности постоянного $r$ соответствовали одинаковому ходу времени ("експериментально") - то непонятно почему вы считаете что при этом координатные линии $r$ и $\theta$ выйдут ортогональными (нарушится диагональность, которую вы почему-то предполагали изначально).
Т.е. эти две условия связаны - нельзя рассчитывать на одного не нарушая другого, и наоборот.

Метрика это "тришкин кафтан" - если преобразованиями координат привести какую-то из функций $g_{ik}$ к желанному виду - то другие $g_{ik}$ изменятся (в силе этих же преобразований)

Как нестрогую аналогию, это можно прикинуть и в Ньютоновом приближении в эвклидовом пространстве - если взять обычную сферическую систему координат (которая ортогональна по всех координат, метр. тензор диагонален) - то для эллипсоидном теле поверхности постоянного $r$ (сферы вокруг эллипсоида) не будут поверхностями постоянного грав. потенциала.
А если переопределить координату $r$ так что поверхности постоянного $r$ суть поверхности постоянного потенциала (т.е. это типа эллипсоиды а не сферы - типа некая эллипсоидальная система координат в эвклидовом пространстве) - то нарушится ортогональность координатных линий $dr$ и $d\theta$ (линии постоянного угла $\theta$ не пересекают эллипсы постоянного $r$ под прямым углом).

Далее (прежде чем подставлять в уравнений ОТО) - вообще непонятно откуда вы придумали конкретный вид $g_{tt}$ ($g_t_t=-(1-2M/r)$), и куда делась очевидная зависимость от $\theta$ во всех остальных $g_{kk}$??

-- 25.03.2019, 22:02 --

monky99 в сообщении #1384095 писал(а):

У меня появлялась мысль, что живущие на элипсоиде в результате измерений поверхности пришли бы к выводу, что живут на шаре.

Это разумеется, не так.
Гауссова кривизна поверхности в ее точке - инвариант (она "измерима экпериментально", вне зависимости от всяких координат).
Живущие поймут что она разная в разных мест поверхности (например, исследуя как связаны площади и углы треугольников, для разных мест поверхности)

[monky99]

manul91 в сообщении #1384111 писал(а):

Допустим это эллипсоид вращения (по углом $\varphi$).

Я имел в виду тело, полученное вращением эллипса относительно одной из его осей. И именно для этого тела и привёл рассуждения.

manul91 в сообщении #1384111 писал(а):

Если вы подойдете наоборот - с самого начала возьмете $r$ так чтобы поверхности постоянного $r$ соответствовали одинаковому ходу времени ("експериментально") - то непонятно почему вы считаете что при этом координатные линии $r$ и $\theta$ выйдут ортогональными (нарушится диагональность, которую вы почему-то предполагали изначально).
Т.е. эти две условия связаны - нельзя рассчитывать на одного не нарушая другого, и наоборот.

Да на самом деле можно не заморачиваться с диагональностью метрического тензора. Скажем в гармонических координатах метрический тензор геометрии Шварцшильда имеет недиагональный вид. Но переобозначением координат всегда можно привести $g_t_t$ к желаемому виду. А дальше вступает в игру теорема Биркхофа, которая справедлива во всей геометрии Шварцшильда, а не только в отдельной СК.

[manul91]

monky99 в сообщении #1384119 писал(а):

Я имел в виду тело, полученное вращением эллипса относительно одной из его осей. И именно для этого тела и привёл рассуждения.

Я также об этом (типа земли, симметрия по оси вращения угла долготы - симметрия по широте отсутствует)

monky99 в сообщении #1384119 писал(а):

Да на самом деле можно не заморачиваться с диагональностью метрического тензора. Скажем в гармонических координатах метрический тензор геометрии Шварцшильда имеет недиагональный вид. Но переобозначением координат всегда можно привести $g_t_t$ к желаемому виду. А дальше вступает в игру теорема Биркхофа, которая справедлива во всей геометрии Шварцшильда, а не только в отдельной СК.

Вы не читаете что вам пишут.
И у вас логика задом-наперед - откуда вы вообще взяли, что решение для эллипсоидом вращения будет геометрия Шварцшильда??
По-вашему любая метрика где одно только $g_{tt}$ имеет вид как у Шварцшильда - это геометрия Шварцшильда??
А другие $g_{ik}$ вообще не у дел?

monky99 в сообщении #1384106 писал(а):

Мда. Что-то какая-то фантасмагория получается. Весь мир сплошной шар и ничего кроме шара.

Мда.

[monky99]

warlock66613 в сообщении #1384107 писал(а):

monky99, вы продолжаете путать просто тензоры/матрицы и тензорные/матричные поля. Да, слово "поле" часто опускается в этом контексте, очень часто, но это не потому что нет никакой разницы. В частности, то, что называется "метрический тензор" - на самом деле не тензор, а тензорное поле.

Честное слово, я осознаю, что метрический тензор это тензорное поле. Недаром же его компонентами являются функции от координат.

warlock66613 в сообщении #1384107 писал(а):

Справедливыми оставит, а вот выглядеть они будут после такого преобразования совсем-совсем по-другому, очень непривычно (для вас). (Там кроме метрического тензора появится ещё четвёрка векторных полей, называемых тетрадой, и дополнительные уравнения, связывающие одно с другим, и в этих уравнениях будет сидеть ваша "матрица" (на самом деле оно тоже поле) $C$.)

Собственно говоря я ведь не настаиваю именно на матричной записи уравнений. Существенно то, что преобразование приводящее метрический тензор к диагональному виду оставляет справедливыми уравнения ОТО. И что в любом случае переобозначением параметра $r$ мы можем привести $g_t_t$ к желаемому виду. Ну не вижу я в этой ситуации, каким образом обойти теорему Биркхофа.

[warlock66613]

monky99 в сообщении #1384121 писал(а):

существенно то, что преобразование приводящее метрический тензор к диагональному виду оставляет справедливыми уравнения ОТО.

Вы вообще читаете, что вам пишут? Уравнения ОТО при этом превращаются в совершенно другие уравнения, совершенно другого вида. Исходные, непреобразованные уравнения после такого преобразования применять нельзя.

-- 25.03.2019, 22:52 --

Потренироваться можно на уравнениях попроще. Возьмём систему ОДУ

$$\frac {dv_x} {dt} = v_y,$$

$$\frac {dv_y} {dt} = v_x.$$

Ясно, что вектор

$$\begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix}$$

всегда можно привести к виду, когда вторая компонента ($v_y$) равна нулю. Подставляем в уравнения $v_y = 0$, и немедленно получаем из них $v_x = 0$. Таким образом, мы потеряли при таком "подходе" все нетривиальные решения.

[monky99]

manul91 в сообщении #1384120 писал(а):

По-вашему любая метрика где одно только $g_{tt}$ имеет вид как у Шварцшильда - это геометрия Шварцшильда??
А другие $g_{ik}$ вообще не у дел?

Если $g_{tt}$ такое же, как в геометрии Шварцшильда, то метрика однозначно является метрикой Шварцшильда.
Потому что в геометрии Шварцшильда решение единственное в силу справедливости теоремы Биркгофа.
А если бы существовал ещё один набор функций, прилагаемых к $g_{tt}$ и обнуляющий тензор Ричи, то он бы обнулял его и в геометрии Шварцшильда. Следовательно решение Шварцшильда не являлось бы единственным. Что противоречит теореме Биркгофа.

[Geen]

monky99 в сообщении #1384132 писал(а):

Что противоречит теореме Биркгофа.

А сформулируйте эту теорему...

[manul91]

monky99 в сообщении #1384132 писал(а):

Если $g_{tt}$ такое же, как в геометрии Шварцшильда, то метрика однозначно является метрикой Шварцшильда.

Вы совершенно не понимаете о чем говорите.

У метрики сферы $d\theta^2 + R^2\sin^2(\frac{\theta}{R})d\varphi^2$ и у метрики плоскости $dx^2 +dy^2$ коеффициент метрического тензора $g_{11}$ имеет один и тот же вид (функция тождественная единице) - по-вашему это значит, что метрики одни и те же, и что сфера это плоскость??

Еще раз

manul91 в сообщении #1384111 писал(а):

Далее (прежде чем подставлять в уравнений ОТО) - вообще непонятно откуда вы придумали конкретный вид $g_{tt}$ ($g_t_t=-(1-2M/r)$), и куда делась очевидная зависимость от $\theta$ во всех остальных $g_{kk}$??

Для решения в случае эллипсоидной симметрии вам придется подставить четыре неизвестных функций от двух переменных $r,\theta$ в уравнений ОТО и решать совместную систему ОДУ.

Если считать $g_{tt}$ приведенном к каком-нибудь явном виде, то нельзя подразумевать диагональность - и хотя $g_{tt}$ теперь известно, то возникнет новая неизвестная функция $g_{r\theta}$ двух переменных; по любому, из уравнений ОТО опять придется решать ОДУ того же самого порядка сложности на четырех неизвестных функций.

Ситуация совершенно отличная от Шварцшильда.
И решения разумеется будут другими (в частности совершенно понятно, что в силе отсутствия симметрии по $\theta$ кроме $M$ в решении должна быть хотя бы еще одна константа определяющая эксцентритет/отклонение от сферической симметрии)

[monky99]

Geen в сообщении #1384134 писал(а):

А сформулируйте эту теорему...

Теорема Биркхофа. Цитирую МТУ. Пусть геометрия данной области пространства-времени 1) является сферически симметричной и 2) представляет собой решение эйнштейновских уравнений поля в вакууме. Тогда такая геометрия с необходимостью является частью геометрии Шварцшильда.

Рассмотрим сферическую область пространства-времени. Уже одной сферической симметрии достаточно, чтобы гарантировать выполнение условий I,II и III дополнения 23.1 и обеспечить таким образом возможность введения шварцшильдовских координат
$ds^2=-e^{2\Phi}dt^2+e^{2\Lambda}dr^2+r^2(d\theta ^2+\sin^2\theta d\varphi)$,
$\Phi=\Phi(t,r)$ и $\Lambda=\Lambda(t,r)$

Ну а дальше следует вывод метрики, который однозначно даёт метрику Шварцшильда.

Фактически эту теорему можно сформулировать следующим образом: пусть метрический тензор имеет диагональный вид, пусть $g_{\theta \theta}=r^2$ и $g_{\varphi \varphi}=r^2\sin^2\theta $, тогда....
Пожалуй так.
задали вид двух компонентов метрического тензора из четырёх и это привело к однозначному результату.

Ладно, возьмем эллипсоид. Здесь я задал вид $g_t_t$ , можно соответствующим переобозначением координаты сделать $g_{\theta \theta}=r^2$.
В результате у нас диагонального вида метрика и заданы два компонента тензора.
Метрика Шварцшильда будет являться решением однозначно. Вопрос, существует ли в данном случае ещё одно решение.
Но если оно существует, то оно будет решением и для приведенной выше задачи. Т.е. чтобы теорема была справедлива, это решение должно отличаться от метрики Шварцшильда, на некоторое преобразование координат, не более.
Хотя, надо внимательно покопаться в уравнениях для тензора Ричи...

Кстати, по поводу того, что жители эллипсоида решат, что живут на шаре. Сферическая геометрия на поверхностях с постоянным $g_t_t$. Но поверхность эллипсоида не обязательно должна совпадать с такой поверхностью.

[manul91]

monky99 в сообщении #1384145 писал(а):

Ладно, возьмем эллипсоид. Здесь я задал вид $g_t_t$ , можно соответствующим переобозначением координаты сделать $g_{\theta \theta}=r^2$.

Перестаньте обзывать преобразование координат "переобозначением" (что совершенно другое и еще раз показывает, что вы не знаете о чем говорите).

Вот конкретная задачка, чтобы потренировались:

Дана двухмерная минковская метрика $ds^2 = dt^2 - dx^2$ (т.е. $g_{tt}=-g_{xx}=1, g_{xt}=0$)
Преобразованием координат обратите ee в виде где $g_{00}$ имело наперед требуемый вид - например, $g_{TT}={X}^4$
Т.е. в новых криволинейных координат $X,T$ метрика двухмерного плоского пространства-времени должна выглядеть так: $ds^2=X^4dT^2 ..... $
Это можно сделать бесконечным числом способов.

Приведите хотя бы одно решение.

[monky99]

manul91 в сообщении #1384148 писал(а):

Приведите хотя бы одно решение.

$t=X^2T$
$x=f(X)$
$ds^2=X^4dT^2+4X^3TdXdT+(4X^2T^2-(\frac{df}{dX})^2)dX^2$
Абсолютно все требуемые преобразования координат.