Одно диофантово уравнение и ВТФ.

[В.Сорокин]

В.Сорокин писал(а):

В.Сорокин писал(а):

Продолжение следует.

Интерпретация и вывод:

«Контрольный выстрел»: n=2

В этом случае
$(-a^n)_{(1)} = a_{(1)}=1$, $(-b^n)_{(1)} = b_{(1)}=1$, $(-c^n)_ {(1)} = c_{(1)}=1$,
и противоречия нет.
Теперь можно заняться оформлением текста.

[В.Сорокин]

Упрощенный вариант доказательства

Допустим, что уравнение
(1°) $x^n+y^n-z^n = 0$ имеет целое решение $(x, y, z) $ в простой базе $n$.

Обозначим последние цифры чисел $x, y, z$ через $a, b, c, а$ числа $x, y, z, $ в которых цифры $a, b, c$ заменены нулями, через $A , B, C, $ т.е.
(2°) $A=x-a, B=y-b, C=z-c$.

Доказательство ВТФ

Перепишем равенство (1°) в виде:
(3°) $(A+a)^n+(B+b)^n-(C+c)^n = 0$, или
(4°) $(A^n +A') +(B^n +B')-(C^n +C') = 0$, или
(5°) $(A^n+B^n-C^n ) + (A'+B'-C') = 0$,
где:
(6°) $A^n+B^n-С^n>0$ ($<0$), если $a+b-c=0$ (если $a+b-c=1$),
(7°) числа $A', B', C'$ оканчиваются соответственно на цифры $a, b, c$ и
(8°) число $A'+B'-C'<0$ ($>0$), если $a+b-c=0$ (если $a+b-c=1$).
Следовательно, либо $A'<0$, либо $B'<0$, либо $C'>0$.
Но тогда
либо в числе $A^n +A'$ последняя цифра будет равна $…0-a=n-a$
либо в числе $B^n +B'$ последняя цифра будет равна $…0-b=n-b$
либо в числе $C^n +C'$ последняя цифра будет равна $…0-c=n-c$.
И, следовательно, в одном из чисел $A^n, B^n, С^n$ нарушается малая теорема Ферма.
Итак, допустив наличие решения уравнения 1°, мы получили противоречие по последним цифрам:
$(a^n)_{(1)} = -a_{(1)}$, либо $(b^n)_{(1)} = -b_{(1)}$, либо $(c^n)_ {(1)} = -c_{(1)}$.

[Алексей К.]

В.Сорокин писал(а):

(4°) $(A^n +A') +(B^n +B')-(С^n +C') = 0$, или
(6°) $A^n+B^n-С^n>0$ ($<0$), если $a+b-c=0$ (если $a+b-c=1$),

Первая ошибка --- наколачивание символа $C$ в русском алфавите. Исправить предлагаю в самом сообщении.

[В.Сорокин]

Алексей К. писал(а):

Первая ошибка --- наколачивание символа $C$ в русском алфавите. Исправить предлагаю в самом сообщении.

Спасибо. Исправил.

+++++++++++++++++++++

Еще один довод:

Пусть числа $x^n, y^n, z^n$ оканчиваются на цифры $a, b, c$.

Тогда:
Из $x^n+y^n-z^n=(2x^n+2y^n-2z^n)/2=[(x^n+y^n)-(z^n-y^n)-(z^n-x^n)]/2$ и (!!!) равенства $x^n+y^n-z^n=0$ следует, что при умножении выражения $x^n+y^n-z^n$ на ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ число $2$ последние цифры $a, b, c$ в числах $x^n, y^n, z^n$ стали противоположными последним цифрам $-a, -b, -c$ в тождественно равных им числах $ (x^n+y^n), (z^n-y^n), (z^n-x^n) $.
Не странно ли?

[Алексей К.]

В.Сорокин писал(а):

....последние цифры $a, b, c$ в числах $x^n, y^n, z^n$ стали противоположными последним цифрам $-a, -b, -c$...

Если $a, b, c$ --- цифры, то $-a, -b, -c$ --- НЕ цифры. Я, встречая подобные ляпы, углубляться дальше уже не могу. Но здесь многие умеют понять то, что хотел сказать автор, по тому, что он на самом деле сказал. Подождём...

Добавлено спустя 12 минут 21 секунду:

Дошло... Видимо, последней цифрой числа $-123=-1\cdot100-2\cdot10-3$ считается "цифра" $-3$...

[shwedka]

Цитата:

в числах $x^n, y^n, z^n$ стали противоположными ... в тождественно равных им числах $ (x^n+y^n), (z^n-y^n), (z^n-x^n) $.

значит,
$x^n=(x^n+y^n)$
хорошо.....

Ааа... еще переставили... и где-то знак перепутался..

[Алексей К.]

В.Сорокин писал(а):

...при умножении выражения $x^n+y^n-z^n$ на ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ число $2$ последние цифры $a, b, c$ в числах $x^n, y^n, z^n$ стали противоположными последним цифрам $-a, -b, -c$ в тождественно равных им числах $ (x^n+y^n), (z^n-y^n), (z^n-x^n) $.

А ещё мне кажется, что последние цифры чисел $x^n, y^n, z^n$ и чисел $ x^n+y^n(=z^n), \:z^n-y^n(=x^n), \:z^n-x^n(=y^n) $ не зависят от того, что кто-то между делом захотел умножить какое-то выражение на какое-то число, будь то 2, 3 или $-\pi$.
Они какими-то были до этого, и никакими они после этого, от этого или при этом не стали.

[В.Сорокин]

Алексей К. писал(а):

Дошло... Видимо, последней цифрой числа $-123=-1\cdot100-2\cdot10-3$ считается "цифра" $-3$...

Мой вопрос был шуточным, но не бесполезным: в канонической записи числа - положительного или отрицательного - все числа положительные.
Вообще, для продолжения разговора нужно ввести понятие дополнительной цифры:
цифра a' считается дополнительной к цифре a, если a'=n-a, где n - основание счисления.
Однако пора вернуться к доказательству ВТФ. Сейчас формулировка противоречия звучит так:
число u (=a+b-c) не является каконическим.

[Алексей К.]

А... я чё-то на шутки не настроился и не понял... Но следующую шутку ---

В.Сорокин писал(а):

число u (=a+b-c) не является каконическим.

--- встречаю уже в готовности...

[В.Сорокин]

Попытка же приваести форму числа u к канонической и приводит к указанному в доказательстве противоречию по последним цифрам.

[shwedka]

Я примерно подсчитала:
Триста одиннадцатое ОКОНЧАТЕЛьНОЕ доказательство ВТФ В.Сорокиным.

[В.Сорокин]

shwedka писал(а):

Я примерно подсчитала:
Триста одиннадцатое ОКОНЧАТЕЛьНОЕ доказательство ВТФ В.Сорокиным.

Цыплят по осени считают...
======================

Доказательство ВТФ в бинарной системе счисления для простого $n>2$.

Обозначения:
$a_{(i)} $ – $i$-я цифра от конца в числе $a$.
$a_{(p, q)} $ – число, составленное из цифр числа $a$ от ранга $p$ до ранга $q$.

***

(01°) Допустим, решение уравнения $A^n+B^n-C^n = 0$ в целых положительных числах существует.
(02°) Тогда, как легко показать, что $A+B>C>A>B>U>0$, где $U=A+B-C$.

Приведем число $U$ (в двоичной системе) к виду
(03°) $u =Ud=(2^r)(2^p-1) $ с помощью умножения равенства 01° на соответствующее число $d^n$ (где $d>2^r$, которое, как известно, существует),
в результате чего равенство 01° преобразуется в равенство
(1°) $a^n+b^n-c^n = 0$, где, как хорошо известно из теории равенства Ферма,
(2°) $a+b>c>a>b>u>0, c>a>c(n-1)/n$;
(3°) $u=a+b-c=u_{(q, r+1)}(2^r) $;
(4°) $ c-a=b-u=g>0$;
(5°) $b/u<2$;
(6°) $(c-a)/a<1/n$.

***

Разобьем все разряды числа $u$ на три интервала:
1) $ [p, q+1] $,
2) $ [q, r+1] $,
3) $ [r, 1] $, где
$p$ – наибольший разряд числа $c$,
$q$ – наибольший разряд значимой части числа $u$,
$r$ – наибольший разряд нулевого окончания числа $u$.

Т.е. число
(7°) $u = u_{(p, q+1)}(2^q)+u_{(q, r+1)}(2^r)+u_{(r, 1)} = /00…00//11…11//00…00/$,

а равенство $a+b-c=u$ имеет приблизительно такой вид:

$a= /1…11//11…10//x…/$,
+
$b= /0…01//00…01//y…/$,
-
$c= /1…10//00…01//z…/$.
==============
$u=/0…00//11…11//00…00/.$

Проведем цифровой анализ этого равенства (собственно доказательство).

(8°) Число $b_{(p, q+1)} $ может быть равнo только $1$ (что следует из 4° и 6°).
(9°) Если цифра $a_{(q+1)}=1$, то из равенства чисел $c_{(p, q+2)}=a_{(p, q+2)} $ следует, что $a>c$, что противоречит 2°.
(10°) А если $a_{(q+1)}=0$, то $c_{(p, q+1)}-a_{(p, q+1)}=1$ разряда $q+1$. А разница $b-u$, как видно из числового примера, значительно меньше $2^q$. И в этом случае мы имеем противоречие с 5°.

А поскольку третьего не дано, то равенство 1° не имеет решения. ВТФ доказана.

***

P.S. Впрочем, доказательство остается верным и в простой базе n>2. Таким образом, после небольшого исправления предыдущее доказательство является верным.

[shwedka]

Триста двенадцатое ОКОНЧАТЕЛьНОЕ доказательство ВТФ
В.Сорокиным.

а.Откуда взялось 5???
б. что означает ПРИБЛИЗИТЕЛьНО в

Цитата:

а равенство $a+b-c=u$ имеет приблизительно такой вид:

[В.Сорокин]

shwedka писал(а):

в. Триста двенадцатое ОКОНЧАТЕЛьНОЕ доказательство ВТФ
В.Сорокиным.

а.Откуда взялось 5???
б. что означает ПРИБЛИЗИТЕЛьНО в

Цитата:

а равенство $a+b-c=u$ имеет приблизительно такой вид:

а. Это простое и очевидное неравенство верно для любых действительных c>a>b>0.

б. Одно из бесконечных невозможных вариантов.

в. Вы ошиблись в 20 раз: я нашел около 6000 различных идей для доказательства. Так что одна ошибка из 20-ти не так уж и плохо. Для того, кто ошибается...

[shwedka]

Цитата:

а. Это простое и очевидное неравенство верно для любых действительных c>a>b>0.

угу...интересно...
проверьте-ка для 10,8,3...

простое и очевидное нередко оказывается неверным.

Цитата:

Триста двенадцатое ОКОНЧАТЕЛьНОЕ доказательство ВТФ

я считала только опубликованные.

Цитата:

б. Одно из бесконечных невозможных вариантов.

и про каждый нужно доказать невозможность. интересное занятие.