Вопрос о гомоморфизме

[namenam]

Здравствуйте. Возникла проблема с одной задачей. Звучит так: перечислить все гомоморфизмы из кольца $Z$ в поле $Q$. То есть нужно написать правило, по которому целое число переходило бы в рациональное, чтобы при этом выполнялись условия с суммой, умножением и единицей. Один из гомоморфизмов это эндоморфизм, то есть переход само в себя. Но ведь он не единственный? Как найти остальные и как доказать, что других нет?

[пианист]

Попробуйте прямо из определения.
Скажем, отталкиваясь от представления целого числа в виде суммы единиц..

[namenam]

пианист в сообщении #1362883 писал(а):

Попробуйте прямо из определения.
Скажем, отталкиваясь от представления целого числа в виде суммы единиц..

по определению гомоморфизма? я пробовала придумать отображение (например $\varphi(z)=rz, r \in Q; \varphi(z)=\frac{z} {n}, n \in N$ но они не удовлетворяют свойству $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$

[пианист]

Да.
Ну вот, а надо, чтобы удовлетворяли.
Когда это будет?

[namenam]

пианист в сообщении #1362902 писал(а):

Да.
Ну вот, а надо, чтобы удовлетворяли.
Когда это будет?

когда в самом правиле не будет умножения и деления? (вот например $f(z)=z^n$ не будет выполняться)

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[пианист]

namenam в сообщении #1362896 писал(а):

я пробовала придумать отображение (например $\varphi(z)=rz, r \in Q; \varphi(z)=\frac{z} {n}, n \in N$ но они не удовлетворяют свойству $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$

Всегда не удовлетворяют? Может, при каких-то $r$ таки да?

[namenam]

пианист в сообщении #1362965 писал(а):

namenam в сообщении #1362896 писал(а):

я пробовала придумать отображение (например $\varphi(z)=rz, r \in Q; \varphi(z)=\frac{z} {n}, n \in N$ но они не удовлетворяют свойству $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$

Всегда не удовлетворяют? Может, при каких-то $r$ таки да?

если $\varphi(z)=rz$ и $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$,то должно получиться $rab=rarb \Rightarrow r^1ab=r^2ab$, то есть $r^1=r^2$. под это подходит 1 и 0, но ноль не удовлетворяет $\varphi(1)=1$

[пианист]

Ну, собс-но, и вся задача.

[namenam]

пианист в сообщении #1362977 писал(а):

Ну, собс-но, и вся задача.

спасибо за помощь в решении

[пианист]

namenam в сообщении #1362982 писал(а):

спасибо за помощь в решении

Не за что.
Вы мысль насчет разложения целого числа на единицы поняли?

[namenam]

пианист в сообщении #1362989 писал(а):

namenam в сообщении #1362982 писал(а):

спасибо за помощь в решении

Не за что.
Вы мысль насчет разложения целого числа на единицы поняли?

честно говоря не очень понятно для чего это нужно и почему в решении нельзя обозначить z просто как любой элемент из кольца целых чисел

[iifat]

Нужно это для полного решения задачи. Вы пока рассмотрели отображения типа $\varphi(z)=rz$. Кстати говоря, неверно рассмотрели: посмотрите на $r=0$ повнимательнее.
Попробуйте взять любое $\varphi$ и ответить, чему равны $\varphi(0)$; $\varphi(1)$; наконец, $\varphi(2)$