счетность множества действительных чисел

[Sla_sh]

Почему множество действительных чисел не является счетным?
В книге колмогорова (А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. "Наука", Москва, 1972.) на странице 26 есть следующая теорема: "Множество действительных чисел, заключенных между нулем и единицей, несчетно".

Но ведь каждому числу из данного множества можно поставить во взаимно однозначное соответствие число из натурального ряда. Например, по следующему алгоритму:
1 - 0,1
2 - 0,2
.....
9 - 0,9
10 - 0,11
11 - 0,12
12 - 0,13
...
18 - 0,19
19 - 0,21
20 - 0,22


Ну и так далее. За несколько минут могу написать программу, которая по натуральному числу вычисляет соответствующее действительное число, а по действительному - натуральное. как же так? Почему множество действительных чисел не счетно?

[Андрей123]

Цитата:

За несколько минут могу написать программу, которая по натуральному числу вычисляет соответствующее действительное число, а по действительному - натуральное.

Попробуйте для $\sqrt{2}/2$

[AD]

При таком подходе программа завалится даже на 1/3.

[Профессор Снэйп]

Ну да, множество

$$ \{ n/10^k : k,n \in \mathbb{N},\, 10^{k-1} \leqslant n < 10^k \} $$

счётно. Вот ведь какое великое открытие!!!

P. S.

AD писал(а):

При таком подходе программа завалится даже на 1/3.

И на $0.01$ тоже зависнет

[ewert]

Sla_sh писал(а):

Почему множество действительных чисел не является счетным?
В книге колмогорова (А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. "Наука", Москва, 1972.) на странице 26 есть следующая теорема: "Множество действительных чисел, заключенных между нулем и единицей, несчетно".

Но ведь каждому числу из данного множества можно поставить во взаимно однозначное соответствие число из натурального ряда. Например, по следующему алгоритму:
1 - 0,1
2 - 0,2
.....
9 - 0,9
10 - 0,11
11 - 0,12
12 - 0,13
...
18 - 0,19
19 - 0,21
20 - 0,22


Ну и так далее. За несколько минут могу написать программу, которая по натуральному числу вычисляет соответствующее действительное число, а по действительному - натуральное. как же так? Почему множество действительных чисел не счетно?

мне чего-то кажется, что проблема проста. Вы вроде как доказали, что каждому натуральному числу соотв. нек. веществ. Но почему из этого следует обратное?...

[AD]

Ну, в частности, потому что аффтар думает, что бесконечных десятичных дробей не бывает. Приходится его разочаровывать. IMHO при подобном неусвоении школьной программы читать КФ неэтично.

[AlexNew]

Вот вам другой алгоритм,
все эти прелести с корнями получаются при решении уравнений, почемубы на занумеровать полиномы (с коэффициентами) в током случае?
множество полиномов счетно, значит можно установить соответствие с деиствит числами

зри в корень (кузьма Прутков)

[MaximKat]

AlexNew писал(а):

множество полиномов счетно

что, правда? любых-любых?

[PAV]

И какой же полином будет соответствовать числу $\pi$?

[MaximKat]

$x-\pi$ видимо

[AlexNew]

понравилась идея?

с числом пи тоже самое:
число Пи строит один из множества алгаритмов, которыи отображает входные натуральные числа на деиствит числ ось
можно ли их занумеровать все алгоритмы со всевозможными вход данными?

может быть если придумать интересныи способ отобразить их на натуральный ряд...

на самом деле есть всего одна бескоченость в математике это натуральн числа 1,2,3, ... (какое слово хорошее! эти числа существуют в природе (натуре) !)

Действительные числа разумеется занумеровать не просто, ведь они как раз и предсатавлют собои "бесконечное сочетание бесконечностей"

(а вот деиствит числа это продукт работы нашего больного разума, так сказать результаты работы различных алгоритмов, гадость, фууу )

Добавлено спустя 15 минут 51 секунду:

MaximKat писал(а):

$x-\pi$ видимо

нет на первом шаге в полиномах (алгоритмах) берем натуральные числа в качестве входных параметров, на втором этапе можно брать уже результаты первого этапа и так далее

вот и получается бесконечность в бесконечной степени.
Почему в физике любят деиствит числа? потомучто кругом алгоритмы

[Sla_sh]

Спасибо всем за ответы. Много думал. Прихожу к выводу, что множество действительных чисел таки не является счетным. К сожалению, не понимаю как доказать этот факт.

Цитата:

Ну, в частности, потому что аффтар думает, что бесконечных десятичных дробей не бывает. Приходится его разочаровывать. IMHO при подобном неусвоении школьной программы читать КФ неэтично.

Тут скорее дело не в "неусвении школьной программы", а в некой невнимательности и недостаточной сообразительности.

Дело в том, что я создал эту тему после того, как прочитал следующее доказательство рассматриваемого утверждения:


Так вот, мне кажется, что приведенный в первом посте темы алгоритм все-таки ставит в соответствие любому числу из множества, рассматриваемого в доказательстве теоремы, определенное натуральное число. Я не прав?

P.S. откровенно говоря, меня это доказательство приводит лишь к абсурдным умозаключениям...

[PAV]

Sla_sh писал(а):

Так вот, мне кажется, что приведенный в первом посте темы алгоритм все-таки ставит в соответствие любому числу из множества, рассматриваемого в доказательстве теоремы, определенное натуральное число. Я не прав?

Не правы. Вы сумеете занумеровать только конечные десятичные дроби (или, более точно, дроби, в которых начиная с некоторой позиции все нули). Бесконечные - не сумеете.

Что может быть неясного в приведенном доказательстве? Какое бы счетное множество десятичных дробей мы ни взяли, всегда можно построить такую, которой в указанном списке нет.

[AlexDem]

AlexNew писал(а):

можно ли их занумеровать все алгоритмы со всевозможными вход данными?
<...>
потомучто кругом алгоритмы

Это смотря что Вы под алгоритмами понимаете. Не приведёте определения? Интересно

А так, вообще, алгоритмы в теории алгоритмов нумеруются - это нумерациями называется (но безотносительно входных данных, а сами по себе).

[ewert]

PAV писал(а):

И какой же полином будет соответствовать числу $\pi$?

Не исключено, что он имел в виду многочлены с только целыми коэффициентами. Т.е. спутал вещественные числа с алгебраическими.