Шарики, связанные невесомой пружиной

[Rusit8800]

Walker_XXI в сообщении #1315890 писал(а):

А со знаками как? У Вас получается, что при увеличении $x_2$ пружина сжимается?

Но $x_1$ тогда тоже возрастет из-за того, что шары связанны, а там уже надо смотреть что пересилит.

Walker_XXI в сообщении #1315890 писал(а):

В уравнение для силы упругости надо не дифференциал подставлять, а реальное и совсем не бесконечно малое изменение длины пружины.

Это будет нужно, чтобы взять

$$ d{x_1}\sqrt {\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}}} = d{x_2}$$

подставить в

$$dx_0=dx_1-dx_2$$

и проинтегрировать и подобрать константу интегрирования в соответствии с $l$

EUgeneUS в сообщении #1315904 писал(а):

Чтобы уж совсем скучное не обсуждать, скажу, как учесть длину пружины.

Это я уже написал выше.

-- 29.05.2018, 16:52 --

realeugene в сообщении #1315888 писал(а):

1. Вспомните для начала, что такое центр масс?
2. Как движется центр масс замкнутой механической системы? Если не знаете - выведите сами из закона сохранения импульса для ваших двух грузиков.

Вот это уже интересно. Ну, я слышал про теорему о движении центра масс.

-- 29.05.2018, 16:56 --

Только я не понимаю, какой смысл писать 2 закон Ньютона в системе центра масс? От дифуров все равно не избавимся.

-- 29.05.2018, 16:59 --

Да и вообще, его ускорение равно $0$. Что там вообще можно записать?

[EUgeneUS]

Walker_XXI в сообщении #1315872 писал(а):

Кроме того неплохо бы систему уравнений дополнить начальными условиями.

ИМХО, более педагогично решить в общем виде. И понять какие возникают константы интегрирования.

[realeugene]

Rusit8800,
1. Запишите в явном виде уравнение движения центра масс.
2. Инерциальна ли система отсчёта, связанная с центром масс? Как связаны между собой координаты или скорости грузиков в этой системе отсчёта?
3. Предположим, что на пружинке отмечена краской точка, соответствующая в начальный момент времени положению центра масс системы. Как будет двигаться эта отметка в системе ЦМ при движении грузиков?

Не забудьте доказать свои утверждения.

[EUgeneUS]

Rusit8800 в сообщении #1315912 писал(а):

Это я уже написал выше.

У Вас выше какая-то тыква. Не надо ничего изобретать с дифференциалами, которые понимаете слабо.
Надо написать два раза второй закон Ньютона и один раз связь между координатами шариков. У Вас почти получилось.
После чего решить систему.
Чтобы двигаться дальше - предложение: напишите (с учетом всех подсказок выше) систему из трех уравнений и Ваши мысли как её решать.

[wrest]

Rusit8800 в сообщении #1315912 писал(а):

Вот это уже интересно. Ну, я слышал про теорему о движении центра масс.

Почти все задачи на движение двух грузов, когда не действует внешняя сила (а пружина -- это не внешняя), удобнее решать в системе отсчета покоящегося центра масс.
У вас, кстати говоря, на рисунке есть еще какая-то скорость $\vec v_1$, это что? Типа левый шар ударили и в нулевой момент времени у него случилась такая скорость?

[EUgeneUS]

realeugene
Вы все верно пишите. Но ИМХО тот же результат получится более формально: 2-й закон Ньютона, система, решение в общем виде. Понимание что есть константы интегрирования (ЗСИ там кстати автоматом получится).

[Rusit8800]

realeugene в сообщении #1315922 писал(а):

1. Запишите в явном виде уравнение движения центра масс.

$$\[({m_1} + {m_2}){a_c} = - kx + kx + {m_1}g + {N_1} + {m_2}g + {N_2} = 0\]$$

Ничего особенного

realeugene в сообщении #1315922 писал(а):

2. Инерциальна ли система отсчёта, связанная с центром масс? Как связаны между собой координаты и скорости грузиков в этой системе отсчёта?

Да, так как она движется с постоянной скоростью относительно Земли

realeugene в сообщении #1315922 писал(а):

Предположим, что на пружинке отмечена краской точка, соответствующая в начальный момент времени положению центра масс системы. Как будет двигаться эта отметка в системе ЦМ при движении грузиков?

Мне кажется нужно сначала из уравнений определить движение шариков в системе центра масс и только потом отвечать на этот вопрос. Ответ почти равносилен поставленной задаче.

-- 29.05.2018, 17:12 --

wrest в сообщении #1315924 писал(а):

Типа левый шар ударили и в нулевой момент времени у него случилась такая скорость?

Да.

-- 29.05.2018, 17:13 --

EUgeneUS в сообщении #1315923 писал(а):

один раз связь между координатами шариков

В этом проблема. Нельзя написать эту связь, не используя дифференциалов.

[realeugene]

EUgeneUS в сообщении #1315925 писал(а):

Но ИМХО

Вы не учитываете, что ТС - школьник. Ему сейчас нужно натаскать свою интуицию на подобные задачи без использования дифуров.

[Rusit8800]

EUgeneUS в сообщении #1315904 писал(а):

1. Записываем координату левого шарика $x_1$
2. Считаем координату правого: добавляем длину не растянутой пружины $l$, и учитываем её изменение длины $x_0$. Глядя на знаки в первых двух уравнениях, понимаем, что под $x_0$ Вы понимаете сжатие (а не растяжение)
3. пишем в виде формулы: $x_2 = x_1 + l - x_0$
Вот и всё.

Хотя нет, у вас намного проще. У меня походу реально вместо головы тыква.

[realeugene]

Rusit8800 в сообщении #1315926 писал(а):

Да, так как она движется с постоянной скоростью относительно Земли

Вот и запишите, как именно она движется. Это чистая кинематика. Вам потребуется это выражение для перехода между системами отсчёта.

Rusit8800 в сообщении #1315926 писал(а):

Мне кажется нужно сначала из уравнений определить движение шариков в системе центра масс и только потом отвечать на этот вопрос.

Нет, это не так. Запишите уравнение для вычисления положения центра масс в системе центра масс. ;)

[Rusit8800]

realeugene в сообщении #1315929 писал(а):

Вот и запишите, как именно она движется. Это чистая кинематика. Вам потребуется это выражение для перехода между системами отсчёта.

$$\[{v_c} = \frac{{{m_1}{v_1}}}{{{m_1} + {m_2}}}\]$$

realeugene в сообщении #1315929 писал(а):

Запишите уравнение для вычисления положения центра масс в системе центра масс. ;)

В смысле? Это как находить координаты центра системы координат.
Если в системе отсчета $Ox$, то

$$\[{x_c} = \frac{{{m_1}{m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}\]$$

[realeugene]

Rusit8800 в сообщении #1315930 писал(а):

$$\[{v_c} = \frac{{{m_1}{v_1}}}{{{m_1} + {m_2}}}\]$$

Верно. А дальше? Как зависит положение центра масс от времени?

[Rusit8800]

Ну вот так

$$\[{x_c}(t) = \frac{{{m_1}{m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}} + \frac{{{m_1}{v_1}}}{{{m_1} + {m_2}}}t\]$$

[EUgeneUS]

Rusit8800 в сообщении #1315926 писал(а):

В этом проблема. Нельзя написать эту связь, не используя дифференциалов.

Как уже сказали выше, в самом начале, Вы регулярно путаете может малое, но не бесконечно малое изменение и дифференциал. Связь записывается просто, как - см. выше в моем сообщении.

realeugene в сообщении #1315927 писал(а):

Ему сейчас нужно натаскать свою интуицию на подобные задачи без использования дифуров.

а) Без решение диффура вида $\ddot{x}+\omega ^2 x = 0$ тут никуда. А больше ничего и не надо от диффуров.
б) ИМХО, больше разовьет интуицию решение этой задачи один раз в общем виде, и понимание что откуда берется. В том числе и закон движения ц.м. (который будет дан в константах интегрирования).

[realeugene]

Rusit8800 в сообщении #1315930 писал(а):

В смысле? Это как находить координаты центра системы координат.

Ага, именно так. Вы знаете, как вычислить координату центра масс в любой ИСО. Так вычислите её в ИСО ЦМ и приравняйте полученное выражение нулю. Полученное уравнение будет важным шагом в решении задачи