Ускорение математической подготовки к ШАД Яндекса

[vpb]

Dragon27 в сообщении #1305389 писал(а):

Мне просто показалось, что irod - fair game

Я не знаю, что Вы подразумевали, поскольку не понимаю смысла этой идиомы, но для меня это звучит странно.

[beroal]

Извините, всё не читал. У меня сложилось впечатление, что irod-у нужны не рекомендации, а бесплатный учитель. Он всегда переводит разговор на конкретные задачи, которые сейчас решает. В этой теме сложилась ситуация «у семи нянек дитя без глаза», извините за грубость. Вы так его запутаете. irod, выберите кого-то одного и с ним занимайтесь, пусть он составляет вам учебную программу.

[irod]

vpb в сообщении #1305373 писал(а):

irod в сообщении #1305293 писал(а):

Ваш вопрос про сумму геометрической прогрессии был подсказкой к этой задаче?

Да.

irod в сообщении #1305293 писал(а):

А в индексах Вы наверное ошиблись, там ведь выше $P_{k+1}-P_{k}$ на самом деле?

Отнюдь. Я именно то и написал, что в виду имел.

Подумайте еще несколько часов, и потом уж следующую подсказку дам (не далее чем через сутки).

-- 18.04.2018, 18:52 --

Чтобы не было недоразумений, повторим еще раз. Члены в сумме группируются так:
$1$;
$1/2^2$;
$1/3^2$, $1/4^2$;
$1/5^2$, $1/6^2$, $1/7^2$, $1/8^2$;
и так далее.

Все, теперь паззл сложился.
Выше я доказал

irod в сообщении #1304678 писал(а):

$$ P_{2n}-P_{n}=\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+2)^2}+\ldots+\frac{1}{2n^2}< \frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}+\ldots+\frac{1}{n^2}=\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n} $$

Теперь надо применить этот факт к ряду со сгруппированными суммами:

$$ 1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\ldots+\frac1{n^2}+\ldots= $$

$$ =1+\left(\frac{1}{2^2}\right)+\left(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}\right)+\left(\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{8^2}\right)+\ldots= $$

$$ =P_1+(P_2-P_1)+(P_4-P_2)+(P_8-P_4)+\ldots+(P_{2^{n+1}}-P_{2^n})+\ldots< $$

$$ <1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots=1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=3. $$

Мда. Наконец-то. Долго я эту задачу решал. Иногда я себя очень тугим чувствую.

-- 19.04.2018, 12:03 --

Dragon27 в сообщении #1305316 писал(а):

А вы её с какой скоростью читаете? Помните, с какой скоростью советовал читать математическую литературу автор в предисловии к этой книге?

Очень медленно читал, первые 3 главы чуть ли не пол года разбирал, с попытками (в основном удачными кстати) самостоятельных доказательств всех теорем перед прочтением доказательств в книге и с прорешиванием всех задач. Последнее - это конечно перебор, больше я все задачи прорешивать не буду, только выборочно.

[Dragon27]

irod в сообщении #1305499 писал(а):

Последнее - это конечно перебор, больше я все задачи прорешивать не буду, только выборочно.

Я бы посоветовал прорешивать все (или подавляющее большинство) - они там (за исключением может нескольких штук) довольно нетребовательные. Хорошее понимание и владение материалом из основной части текста для их решения вполне достаточно. Попадаются там правда и задачи, которые требуют дополнительных знаний (из анализа, например) - тут уж как сами захотите.

[vpb]

irod
Ну, слава богу. Можете читать Зельдовича дальше, без опасения, что это попортит процесс решения. Впрочем, там всё равно про эту задачу написано не было, так что можно было и раньше написать. По другим вопросам позже напишу.

[irod]

vpb
ок

[irod]

Dragon27 в сообщении #1305502 писал(а):

Я бы посоветовал прорешивать все (или подавляющее большинство) - они там (за исключением может нескольких штук) довольно нетребовательные. Хорошее понимание и владение материалом из основной части текста для их решения вполне достаточно. Попадаются там правда и задачи, которые требуют дополнительных знаний (из анализа, например) - тут уж как сами захотите.

Я приму Ваш совет во внимание когда вернусь к этой книге, спасибо.

vpb в сообщении #1305864 писал(а):

По другим вопросам позже напишу.

Простите, Вы еще не смотрели эти вопросы?

Я тем временем добил 3-ю и начал 4-ю часть Зельдовича. Очень нравится эта книга, мне все по-прежнему понятно, наконец-то узнал как выводится формула интегрирования по частям, и откуда взялось разложение в ряд Тейлора / Маклорена.

[vpb]

irod
Здравствуйте.

Надо, вообще говоря, написать довольно много, буду, наверное, писать постепенно.

Вы правильно сделали, что отложили изучение линейной алгебры и занялись аналитической геометрией. Линейная алгебра --- это, в некотором смысле, обобщение геометрии пространства и плоскости. Поэтому перед изучением линейной алгебры изучают аналитическую геометрию.

Заочный курс аналитической геометрии --- это, конечно, неплохо. Тем более что это курс от МГУ. (Вообще, мой опыт чтения книжек говорит, что очень часто МГУшные курсы --- самые лучшие). Однако, я думаю, прежде всего полезно читать хорошую книжку. Есть книга П.С.Александров, Лекции по аналитической геометрии (или "Лекции по аналитической геометрии с прибавлением необходимых сведений из алгебры"). Книга очень толстая, подробная, неторопливая и понятная. Весьма рекомендую. Александров вообще пишет очень неторопливо. Кстати, тут же рекомендую его же книжку
Введение в теорию групп из "Библиотечки Кванта".

Кроме того, изучение линейной алгебры требует предварительного знакомства с элементарной теорией систем линейных уравнений (метод Гаусса, определители и т.д.). С этим можно познакомиться, например, по 1-му тому известного учебника А.И.Кострикин, Введение в алгебру. А есть книжка Л.А.Скорняков, Системы линейных уравнений, из серии
"Популярные лекции по математике" (не бог весть как увлекательно написана, но понятно).

Про саму книжку LADR ничего сейчас писать не буду, по моему, для Вас это сейчас не актуально.

[irod]

vpb
спасибо за ответ!

vpb в сообщении #1308263 писал(а):

Вы правильно сделали, что отложили изучение линейной алгебры и занялись аналитической геометрией. Линейная алгебра --- это, в некотором смысле, обобщение геометрии пространства и плоскости. Поэтому перед изучением линейной алгебры изучают аналитическую геометрию.

Да, я это уже понял. Жалко, что поздновато.

(Оффтоп)

vpb в сообщении #1308263 писал(а):

Заочный курс аналитической геометрии --- это, конечно, неплохо. Тем более что это курс от МГУ. (Вообще, мой опыт чтения книжек говорит, что очень часто МГУшные курсы --- самые лучшие).

На самом деле лекции в этом курсе ужасные: лектор медленно и монотонно проговаривает все написанное на слайдах со всеми "икс квадрат умножить на игрек в степени пэ плюс це один", при этом переписывает почти каждый слайд от руки, слушать это невозможно (особенно дико слушать как он проговаривает матрицы - реально озвучивает каждый элемент матрицы, которая нарисована на слайде: "а один один, а один два, … а один эн", и так каждую строку матрицы, не шучу). Доказательства присутствуют, он их пишет от руки после всех утверждений и опять же проговаривает зачем-то при этом. Помимо проговаривания написанного, лектор ничего не объясняет. Лекции таким образом бесполезны, их можно либо не смотреть (тогда достаточно было бы слайдов, которые мне на форуме на дали, я просил), либо смотреть на 1.5х. Я просто смотрю слайды (они хорошие) и делаю задания после каждой лекции (задания тоже вроде норм). Пишу это для тех, кто заинтересовался этим курсом, а то у них на сайте я не нашел где отзыв оставить.

vpb в сообщении #1308263 писал(а):

Однако, я думаю, прежде всего полезно читать хорошую книжку. Есть книга П.С.Александров, Лекции по аналитической геометрии (или "Лекции по аналитической геометрии с прибавлением необходимых сведений из алгебры"). Книга очень толстая, подробная, неторопливая и понятная. Весьма рекомендую. Александров вообще пишет очень неторопливо.

Эту книгу я знаю и почитываю ее параллельно курсу, тем более что она там в рекомендованной литературе. Книга мне очень нравится, она действительно подробная, неторопливая и понятная. И в этом же ее главный минус - времени у меня не так много до планируемого поступления, и у меня нет возможности учиться в таком темпе.
Собственно, главный вопрос по ангему я уже озвучил - до каких пор (до каких тем) мне его проходить, чтобы потом перейти к линалу?

irod в сообщении #1305293 писал(а):

Прошел я этот курс к настоящему моменту наполовину - до линий второго порядка, и думаю проходить ли мне его сейчас до конца, или пока достаточно. Был бы Вам благодарен за совет. Я так понимаю все эти линии и поверхности второго порядка понадобятся мне в многомерном матане, до которого я еще не дошел, и возможно лучше мне допроходить этот курс непосредственно перед началом многомерного матана, чтобы из головы по-меньше выветрилось.

vpb в сообщении #1308263 писал(а):

Кстати, тут же рекомендую его же книжку
Введение в теорию групп из "Библиотечки Кванта".

Я ее читал. Тоже очень мне понравилась, но там насколько я помню нет задач. Поэтому я переключился на "Теорему Абеля".

vpb в сообщении #1308263 писал(а):

Кроме того, изучение линейной алгебры требует предварительного знакомства с элементарной теорией систем линейных уравнений (метод Гаусса, определители и т.д.). С этим можно познакомиться, например, по 1-му тому известного учебника А.И.Кострикин, Введение в алгебру. А есть книжка Л.А.Скорняков, Системы линейных уравнений, из серии
"Популярные лекции по математике" (не бог весть как увлекательно написана, но понятно).

Спасибо за рекомендации, я все это проходил (не очень качественно), и после ангема освежу свои знания по этим книгам.

vpb в сообщении #1308263 писал(а):

Про саму книжку LADR ничего сейчас писать не буду, по моему, для Вас это сейчас не актуально.

Я буду стараться, чтобы скоро стала актуальной.

[Munin]

irod

vpb в сообщении #1308263 писал(а):

Есть книга П.С.Александров, Лекции по аналитической геометрии (или "Лекции по аналитической геометрии с прибавлением необходимых сведений из алгебры").

Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры (1968)
Эта книга, предупреждаю, "слишком основательная". Она даёт аналитическую геометрию в объёме в 2-3 раза большем, чем необходимо-и-достаточно среднему физмат-студенту.

Обычный курс аналитической геометрии строится как предварительный к линейной алгебре. Там быстро пробегают основные понятия и инструменты (векторы, прямые и плоскости, определители, системы координат, квадрики) в 2- и 3-мерном пространстве, и не особо задерживаясь, сразу позволяют переходить к линалу, говорящему о том же в $n$-мерном пространстве. Иногда это отдельные курсы и книги, иногда всё в одном курсе или книге ("Аналитическая геометрия и линейная алгебра"), но замысел этот всегда один и тот же. Короткий разбег и взлёт.

А в Александрове тема затянута, так что он даже немного заходит на территорию линейной алгебры (главы 12-14, 24-25), но потом продолжает бежать по этой гаревой дорожке, бежать, бежать и бежать. Темы он затрагивает интересные, но далеко выходит за рамки необходимого.

Можно взять только главы 1-8, из 9 главы только §§ 3-4, и главу 10. Это навскидку.
Можно сориентироваться по другим учебникам аналитической геометрии, или даже взять их за основу.

[irod]

Munin
спасибо!

[vpb]

irod
Возможно, при чтении вышеуказанных книжек Вам потребуется кое-что освежить из школьной программы. Поэтому напишу кое-что о школьных учебниках. Тем более что на форуме уже были темы типа "Предназначены ли школьные учебники для самостоятельного изучения?".

Математику младших и полумладших классов (1--6) Вы, будем считать, знаете. Дальше математика делится на алгебру и геометрию.

Учебники бывают разные, разных авторов: Мордковича с соавторами; Алимова, Колягина и др; Макарычев и др, и т.д. (это по алгебре. И по геометрии тоже есть разные). Одни из них подходят для самостоятельного изучения, а другие нет.

Про учебники алгебры для 7--9 классов в первом приближении можно сказать так. Учебники Мордковича и др. для самостоятельного изучения подходят (они специально так и писались), остальные --- нет. Более точно: есть учебник Мордкович и Николаев, для профильных классов, с 7 по 9 класс, вот его в случае чего и берите. Отмечу, что учебники Мордковича содержат, вообще говоря, только теорию, а к ним отдельно есть задачники.

Еще вот что. Эти учебники, по мне, столь хорошо написаны, что могут инстинктивно вызвать желание основательно повторить по ним всю школьную алгебру. Не знаю, стоит ли так делать, но может и стоит. В общем, в случае чего, как с ними работать, решайте сами.

(продолжение следует)

Относительно того, что можно пропустить у ПСА. Моя точка зрения совсем другая. Говоря кратко, лучше пропускать поменьше. Сейчас у меня нет возможности это аргументировать, так как я занят школьными учебниками, но позже как-нибудь непременно напишу об этом.

[Munin]

vpb в сообщении #1308609 писал(а):

Моя точка зрения совсем другая. Говоря кратко, лучше пропускать поменьше.

Я хочу сказать, что я не предлагал чего-то "пропускать". Я предлагал в какой-то момент перейти к полноценным учебникам по полноценной линейной алгебре. Довольно странно изучать линейную алгебру по учебнику аналитической геометрии.

По школьному курсу алгебры: было бы интересно получить примерный список тем, которые этот курс (в "сильном" варианте) должен охватывать, и по каким учебникам их брать. Например:

- сначала рассматриваются "формулы сокращённого умножения": в одних учебниках есть формула $a^3-b^3,$ а в других ограничиваются $a^2-b^2$;
- потом может быть рассмотрена (но часто не рассматривается) тема деления многочленов, и в частности, $(a^n-b^n)/(a-b)$;
- а потом рассматривается геометрическая прогрессия, формула её суммы, и это уже опять обязательный материал.

Непонятно, но очень интересно, даются ли комбинаторные формулы, в каком объёме и с каким обоснованием.

-- 29.04.2018 17:12:15 --

Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры.

(Оффтоп)

+ - входит в обычные курсы аналитической геометрии; ЛА - входит в обычные курсы линейной алгебры

1. Координаты на прямой

+

2. Векторы

+

3. Аффинная система координат на плоскости и в пространстве

+

4. Прямоугольная система координат. Полярные координаты

+

5. Прямая линия

+

6. Парабола. Эллипс. Гипербола

+

7 (1). Детерминанты и СЛАУ (2, 3 измерения)

+

7 (2). Детерминанты и СЛАУ ($n$ измерений)

ЛА

8. Преобразование координат. Матрицы

+

9 (1). Углы Эйлера

+ (малозначимая тема; покрывается в курсе механики)

9 (2). Векторное произведение

+

10. Плоскость и прямая в пространстве

+

11. Движения и аффинные преобразования

+

12. Векторные пространства $n$ измерений. Однородные СЛАУ

ЛА

13. Линейные, билинейные и квадратичные функции

+ (либо ЛА)

14. Точечно-векторное аффинное $n$-мерное пространство $R^n$

ЛА

15. Алгебраические линии и поверхности. Комплексная плоскость и комплексное пространство

Алгебраическая геометрия и углублённые геометрические курсы

16. Различные виды кривых второго порядка

+

17. Общая теория кривых второго порядка

Алгебраическая геометрия и углублённые геометрические курсы

18. Краткое описание поверхностей второго порядка

+

19. Общая теория поверхностей второго порядка. I

Алгебраическая геометрия и углублённые геометрические курсы

20. Общая теория поверхностей второго порядка. II

Алгебраическая геометрия и углублённые геометрические курсы

21. Проективная плоскость

Углублённые алгебраические и геометрические курсы

22. Кривые второго порядка на проективной плоскости

Углублённые алгебраические и геометрические курсы

23. Начальные сведения об $n$-мерном проективном пространстве

Углублённые алгебраические и геометрические курсы

24. Евклидово $n$-мерное пространство

ЛА

25 (1). Линейные операторы, билинейные и квадратичные функции в евклидовых пространствах.

ЛА

25 (2). Поверхности второго порядка

Алгебраическая геометрия и углублённые геометрические курсы

Это моё личное мнение. Сравнивал с курсом Ильин-Позняк; Постников Лекции Семестр 1; другой литературой.

-- 29.04.2018 17:15:06 --

К моему предыдущему мнению

Munin в сообщении #1308464 писал(а):

Можно взять только главы 1-8, из 9 главы только §§ 3-4, и главу 10. Это навскидку.

добавлю главы 11, (возможно 13), 16 и 18. Я их нечаянно пропустил. Квадратичные кривые на плоскости и поверхности в пространстве - это общая грамотность.
Возможно (я не знаю точно, как построен курс), для глав 16 и 18 потребуется глава 12.

[vpb]

Я посмотрел-оценил учебники для 10-11 классов, "Алгебра и начала анализа". Это оказалось несколько сложнее.
Самые понятные по прежнему учебники Мордковича. Однако есть и другие, тоже хорошие. (Есть также совсем малопригодные для самостоятельного изучения, о них не упоминаем).

Для краткости я буду указывать только авторов и год издания. Название у всех примерно одно и то же, типа "Алгебра и начала анализа, 10--11 классы, профильный уровень". Обратите внимание, среди этих учебников есть и относительно
старые. Многие из этих учебников переиздавались неоднократно (стереотипно), для них я указываю только год издания того экземпляра, который нашел в интернете.

Мордкович и Семенов, 2009;
Башмаков, 1992;
Вейц и Демидов, 1969 (для 9 класса);
Виленкин, Ивашев-Мусатов, Шварцбурд, 2014;
Колмогоров, Вейц, Демидов, Ивашев-Мусатов, Шварцбурд, 1976 (9 класс);
Пратусевич, Столбов, Головин, 2009;
Яковлев (под редакцией), 1981, в двух частях (учебник для техникумов, многое без доказательств, но таки понятный).

Надо сказать, что эти учебники написаны очень по разному. Башмаков написан в духе задушевных бесед (и это вообще не профильный учебник). А Пратусевич, наоборот, написан в духе Бурбаки (в хорошем смысле), и рассчитан на чересчур уж понятливого читателя (что называется "не для средних умов"). То есть Пратусевич для обычного ученика не годится вообще. Однако, все эти книжки объединяет то, что их можно читать в одиночестве, полностью или частично. В некоторых одни главы или параграфы написаны понятно, а другие --- не очень. Если что, можно почитать то один, то другой. Одни темы по одному учебнику проходить/освежать, другие по другому.

[vpb]

Относительно того, как работать с указанными книжками.

Можно было бы указать, какую тему лучше проходить по какой книжке, и в каком порядке проходить темы, какую главу за какой изучать. Несколько человек даже написали о таком пожелании. Но мне так делать неохота, потому что это (а) трудоемко, (б) довольно бесполезно. Одному человеку какая-то тема лучше пойдет по одной книжке, а другому по другой.
Главное тут, я считаю, отделить годные книжки от негодных. Это действие экономит обучающемуся 4/5 времени, условно говоря.

С тем набором книг, который есть, можно работать, например, так. Взять одну книжку, скажем Мордковича или Пратусевича,
и начать ее проходить. Попытаться пройти какую-то (сначала, наверное, первую) главу. Не пошло, или пошло не полностью
--- смотреть то же во второй книжке, не дошло --- в третьей, и т.д. Потом опять свериться с первой, посмотреть, всё ли
стало понятным из главы в первой книжке. Это же можно применять не только к главам, но и к отдельным темам или параграфам. Т.е. одна книжка используется как программа, остальные --- как дополнительный материал.

В общем, не надо думать, что хватит какой-то одной книжки. Достаточность одной книжки в школе объясняется тем, что то,
что в книжке отсутствует или плохо написано, то объяснит учитель (потому что он-то читал не одну эту книжку).
Опыт говорит, что для самостоятельного изучения какого-то предмета почти всегда нужна не одна книга, а несколько.
(И очень желательно, чтобы среди этих нескольких книжек была та, которая считается лучшей, а остальные --- тоже неплохие. )

Конечно, при таком подходе будет тратиться больше времени, чем при чтении какой-то одной воображаемой "идеальной" книжки, или при занятиях с преподавателем. Но не намного!

Ну и задачи решать. При этом, наверное, может быть (а может и не быть) не обязательно решать все задачи даже по одной книжке, потому что иногда "на глаз" можно понять, как задача решается. Нарешивать 100 задач по какой-то теме там, где можно обойтись 20-ю, а остальные 80 не много добавят ни к технике, ни к пониманию, может быть неразумно. (Хотя иной раз и 200 не лишние...).