Найти напряжение по передаточной функции

[jerryjerry12338]

В первой части задания нужно было найти передаточную функцию - отношение напряжения на выходе (резистор+конденсатор) к напряжению на входе. Я нашёл.
Во второй части задания требуется, используя пункт 1, найти напряжение на выходе, если $E(t)=\cos(\omega t)$. Свои мысли написал, но можно ли это упростить? Как считать дальше?
$R\text{э}=R\text{2} +\dfrac{1}{j\omega c}=\dfrac{R\text{2} j\omega c+1}{j\omega c}$
$k(j\omega)=\dfrac{R\text{э}}{R\text{э}+R\text{1}}=\dfrac{R\text{2} j\omega c+1}{j\omega c(\dfrac{R\text{2} j\omega c+1}{j\omega c}+R\text{1})}=\dfrac{R2j\omega c+1}{R1j\omega c+R2j\omega c+1}$

$E(t)=E\cos(\omega t)$
$Urc(t)=E(t)\cdot k(j\omega)$
$Urc(t)=E\cos(\omega t)\cdot \dfrac{R2j\omega c+1}{R1j\omega c+R2j\omega c+1}$

[photon]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[photon]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: возвращено.

[schoolboy]

Спрашивается, для чего в теории цепей переходят к комплексным числам-то? Чтобы не возиться с косинусами, не дифференцировать и не интегрировать. Вместо косинусов – синусов экспонента по формуле Эйлера. Что делает передаточная функция? Сдвигает по фазе и изменяет амплитуду, этот сдвиг по фазе и ослабление по амплитуде и можно найти, если передаточную функцию представите в виде экспоненты, для чего и нужна формула Эйлера. Очевидно, чтобы ей воспользоваться, надо уничтожить в знаменателе мнимости, формула разности квадратов вам в помощь.

[jerryjerry12338]

schoolboy в сообщении #1274673 писал(а):

Спрашивается, для чего в теории цепей переходят к комплексным числам-то? Чтобы не возиться с косинусами, не дифференцировать и не интегрировать. Вместо косинусов – синусов экспонента по формуле Эйлера. Что делает передаточная функция? Сдвигает по фазе и изменяет амплитуду, этот сдвиг по фазе и ослабление по амплитуде и можно найти, если передаточную функцию представите в виде экспоненты, для чего и нужна формула Эйлера. Очевидно, чтобы ей воспользоваться, надо уничтожить в знаменателе мнимости, формула разности квадратов вам в помощь.

Попробовал через разность квадратов.

$ \dfrac{R2j\omega c+1}{1+(R1+R2)j\omega c}= \dfrac{(R2j\omega c+1)(1-(R1+R2)j\omega c)}{1+(R1+R2)^2 \omega ^2 c^2}=$
$=\dfrac{R2j\omega c+R2(R1+R2)\omega c+1-(R1+R2)j\omega c}{1+(R1+R2)^2 \omega ^2 c^2}= \dfrac{R2(R1+R2)\omega c+1-R1j\omega c}{1+(R1+R2)^2 \omega ^2 c^2}= \dfrac{R2(R1+R2)\omega c+1}{1+(R1+R2)^2 \omega ^2 c^2}-j \dfrac{R1\omega c}{1+(R1+R2)^2 \omega ^2 c^2}$

Чтобы дальше воспользоваться формулой Эйлера, нужно найти как минимум модуль этого комплексного числа.. Громоздко получается. Пробую вернуться к изначальному варианту. Наша передаточная характеристика - отношение двух комплексных чисел. При делении двух комплексных чисел их модули делятся, а аргументы - вычитаются.

$k(j\omega)=\dfrac{1+R2j\omega c}{1+(R1+R2)j\omega c}$

Модуль: $|k(j\omega)|=\dfrac{\sqrt{1+(R2\omega c)^2}}{\sqrt{1+((R1+R2)\omega c)^2}}$
Аргумент: $arg k=arctg(R2\omega c)-arctg((R1+R2)\omega c)}$

Сворачиваю в формулу Эйлера:
$k=\dfrac{\sqrt{1+(R2\omega c)^2}}{\sqrt{1+((R1+R2)\omega c)^2}}\cdot \exp \left[ i(arctg(R2\omega c)-arctg((R1+R2)\omega c) \right]$

Лучше, на мой взгляд, совсем не стало :(

[svv]

(TeX)

$\begin{xy}*{R1, R2};p+LD;+UR**h@{-}\end{xy} \; R_1, R_2$ R_1, R_2
$\begin{xy}*{arctg};p+LD;+UR**h@{-}\end{xy}\; \arctg$ \arctg
$\begin{xy}*{argk};p+LD;+UR**h@{-}\end{xy}\; \arg k$ \arg k

[profrotter]

jerryjerry12338 в сообщении #1274633 писал(а):

Как считать дальше?

Дальше ещё рано. Надо посмотреть точное определение того, что вы тут назвали передаточной функцией. Это отнюдь не отношение напряжения на выходе к напряжению на входе. Такое отношение будет зависеть от времени. А $k(j\omega)$, как вы сами можете видеть, - не зависит от времени.

[AnatolyBa]

jerryjerry12338 в сообщении #1274695 писал(а):

Лучше, на мой взгляд, совсем не стало :(

Почему же не стало? Это же, практически, ответ.
Кстати, в том пути, который вы отвергли (вполне справедливо), ошибочка вкралась. Советую все время контролировать размерность

[jerryjerry12338]

profrotter
Да, действительно, передаточная функция получится, если я заменю $j\omega $ на $p$, а затем выполню преобразования Лапласа, этот подход к решению я знаю. То, что я нашёл - это КЧХ (АФЧХ). Но в этом задании не нужно использовать преобразование Лапласа, так было написано в задании.

Да и мое КЧХ - это ведь делитель напряжения. Даже интуитивно напрашивается умножить именно $k(j\omega )$ на входной сигнал. Как же иначе?

svv
За этим буду следить

AnatolyBa
Спасибо, видимо, это и останется итогом

[AnatolyBa]

Только вот понимаете ли вы, что вычислили? Я что-то не вполне это вижу.
Можете ли вы сейчас написать напряжение на выходе, как функцию от времени?

[jerryjerry12338]

AnatolyBa в сообщении #1274802 писал(а):

Только вот понимаете ли вы, что вычислили? Я что-то не вполне это вижу.
Можете ли вы сейчас написать напряжение на выходе, как функцию от времени?

Думаю, что могу:
$Urc (t)=E\cos(\omega t)\cdot \dfrac{\sqrt{1+(R_2\omega c)^2}}{\sqrt{1+((R_1+R_2)\omega c)^2}}\cdot \exp \left[ i(\arctg(R_2\omega c)-\arctg((R_1+R_2)\omega c) \right]$

Честно говоря, если $k(j\omega )$ показывает сдвиг по фазе и ослабление по амплитуде, в голове есть ещё такой вариант:
$Urc (t)=E\cos\left[\omega t+\arctg(R_2\omega c)-\arctg((R_1+R_2)\omega c)\right]\cdot \dfrac{\sqrt{1+(R_2\omega c)^2}}{\sqrt{1+((R_1+R_2)\omega c)^2}}\cdot$
Но это основано исключительно на определении КЧХ. Как математически подтвердить эту мысль, я не знаю.

[profrotter]

В голове должен быть только такой вариант. И основан он исключительно на определении КЧХ. А вот на чём основаны ваши неверные рассуждения про умножения сигналов на КЧХ - непонятно. Вас что даже не смущает, что сигнал на выходе при этом будет комплексный?

[AnatolyBa]

jerryjerry12338
Я думаю вам надо подразобраться с теорией. В чем вообще смысл комплексного метода.
Здесь на форуме эти фопросы обсуждались неоднократно. Например «Переменный ток и комплексные числа» и «Цепь переменного тока»

[jerryjerry12338]

profrotter
AnatolyBa
Большое спасибо за помощь

[Walker_XXI]

(TeX)

jerryjerry12338, хотел ещё вчера высказаться не совсем по теме. Ваша запись формул не соответствует обозначениям на схеме, что затрудняет восприятие:
$\begin{xy}*{c,\, R\text{э}};p+LD;+UR**h@{-}\end{xy} \; C,\, R_\text{э}$ C, R_\text{э}
$\begin{xy}*{Urc(t),\, E(t)};p+LD;+UR**h@{-}\end{xy}\; u_{RC}(t),\, e(t) $ u_{RC}(t), e(t)

Кроме того, в формуле Эйлера мнимую единицу нужно обозначать тем же символом $j$, что и в других местах (а то Вы уже второй раз пишете $i$).

jerryjerry12338 в сообщении #1274819 писал(а):

Но это основано исключительно на определении КЧХ. Как математически подтвердить эту мысль, я не знаю.

Для этого, как уже писали, нужно перейти к комплексному представлению сигнала:

$$ E(t) = E_0\cos\omega t \mapsto e(t) = E_0 e^{j\omega t}.$$

При этом очевидно, что $E(t)=\mathrm{Re}\,(e(t))$. А вот комплексный сигнал уже можно честно умножать на КЧХ (не забыв в конце снова взять вещественную часть для перехода к реальным сигналам).