Переменный ток и комплексные числа

[tohaf]

Помогите разобраться.
Что такое комплексное число и его формы понятно, что такое функция косинуса или синуса тоже, что такое конденсатор и индуктивность и их энергия.
Но как только даётся какая нибудь задача - например, две ветви подключенные к источнику переменного напряжения и требуется решить это в комплексных формах - ни черта не получается. Читаю Бессонова, электрические цепи.
Какую литературу на тему однофазных синусоидальных цепей нужно читать?

[EUgeneUS]

Все эти комплексные числа применительно к переменному току постоянной частоты называются методом комплексных амплитуд.
Изящная штука, придуманная Хэвисайдом. Кратко его суть можно прочитать в википедии:

Цитата:

После введения этих замен задача анализа цепи сводится к задаче анализа цепи на постоянном токе

Бессонов подробно рассказывает, что это такое, почему так можно делать, и как это всё выглядит на комплексной плоскости. Но почему то называет метод комплексных амплитуд каким-то "символическим методом расчета цепей синусоидального тока".

[tohaf]

Ну, например.
Есть активное сопротивление- резистор, емкостное (зависит от ёмкости и частоты колебаний) и индуктивное (индуктивность и частота колебаний). А что такое комплексное сопротивление тогда?

[realeugene]

tohaf в сообщении #1222716 писал(а):

зависит от ёмкости и частоты колебаний

Для начала забудьте про "зависит от частоты". У вас все токи и напряжения - это гармонические колебания одной частоты, с различными амплитудами и фазами. Научитесь считать для одной частоты - тогда и в бассейн воду нальёте воспользуетесь преобразованием Фурье.

[EUgeneUS]

realeugene в сообщении #1222729 писал(а):

Научитесь считать для одной частоты - тогда и в бассейн воду нальёте воспользуетесь преобразованием Фурье.

В этой теме до преобразований Фурье не доходят. Она раньше заканчивается

realeugene в сообщении #1222729 писал(а):

Для начала забудьте про "зависит от частоты".

Воот! А еще мы хотим забыть вообще о том, что сигнал зависит от времени, и хотим считать цепь, как для постоянного тока. Лень - двигатель прогресса.

tohaf в сообщении #1222716 писал(а):

Есть активное сопротивление- резистор, емкостное (зависит от ёмкости и частоты колебаний) и индуктивное (индуктивность и частота колебаний). А что такое комплексное сопротивление тогда?

Активное сопротивление:
1. описывается действительным положительным числом.
2. На нем отсутствует сдвиг фаз между током и напряжением.
3. На нем выделяется не нулевая средняя мощность.

Реактивное сопротивление:
1. Описывается мнимым числом (без действительной части).
2. Сдвиг фаз между током и напряжением - плюс (или минус) пи-пополам.
3. На нем выделяется нулевая средняя мощность.

Если эти детальки мы как-то спаяли в какой-то клубок с двумя выводами, то такой участок цепи может:
1. Иметь иметь сдвиг фаз между током и напряжением любой между минус и плюс пи-пополам.
2. Мощность зависит от сдвига фаз.
3. Такой участок будет описываться комплексным числом с ненулевыми действительной и комплексной частью.

[tohaf]

Короче, я понял, это для избранных. Тему можно закрыть..

(Оффтоп)

Я не понимаю, какой набор знаний нужен для того, чтобы читать у Бессонова про цепи с переменным током. Линейные цепи сдал на хорошо. А нелинейные - это ад.

[Someone]

tohaf в сообщении #1222716 писал(а):

Ну, например.
Есть активное сопротивление- резистор, емкостное (зависит от ёмкости и частоты колебаний) и индуктивное (индуктивность и частота колебаний). А что такое комплексное сопротивление тогда?

Комплексное сопротивление:
резистора — действительное число $R$,
индуктивности — мнимое число $j\omega L$ ($j$ — мнимая единица, то есть, $j^2=-1$; математики обычно обозначают её буквой $i$),
ёмкости — мнимое число $\frac 1{j\omega C}=-\frac j{\omega C}$.

Использование комплексных чисел позволяет рассчитывать цепи переменного тока точно так же, как они рассчитываются для постоянного тока.

[fred1996]

В двух словах все выглядит следующим образом:
Для того, чтобы честно расчитать цепь переменного тока со всеми резисторами, катушками и конденсаторами, надо составить обычные уравнения Кирхгофа для замкнутых контуров и сооответственных втекающих и вытекающих токов.
Это будет система линейных дифференциальных уравнений, которую можно заменить системой обычных линейных уравнений введя комплексные экспоненты как множители для токов.
Таким образом получится совершенно такая же конструкция, как если бы у нас были одни резисторы, но только в комплексном виде.
Причем их комплексные сопротивления находятся известным однозначным образом.

Все что сделал Хевисайд, он просто формализовал эту процедуру, которую совсем необязательно повторять каждый раз. Надо просто запонить.

В принципе это обычная ситуация в физике и математике, когда какие-то шаги в рассуждениях формализуются в известные шорткаты.
В известном смысле физика и математика вся состоит из таких шорткатов или проверенных соглашений.
Так и с цепями переменного тока.
Надо самому буквально один раз проделать эту Операцию, и потом будет понятно почему ее не нужно делать каждый раз.

[profrotter]

fred1996 в сообщении #1222824 писал(а):

введя комплексные экспоненты как множители для токов

Это неправда. Никакие множители не вводятся. Рассматриваются не просто цепи переменного тока, а цепи переменного синусоидального тока. Для них напряжения между любыми двумя узлами и токи в любых ветвях изменяются по гармоническому закону, поэтому могут быть представлены в виде, скажем для тока, $i(t)=I_m\cos(\omega t+\varphi)=\operatorname{Re}\dot{I_m}e^{j\omega t}$, где $\dot{I_m}=I_me^{j\varphi}$ - комплексная амплитуда.
Потом, учитывая, что если комплексное решение удовлетворяет системе линейных уравнений, то отдельно его действительная и мнимая части удовлетворяют этой системе, токи и/или напряжения подставляются в систему линейных дифференциальных уравнений цепи в виде $\dot{I_m}e^{j\omega t}$ (формально цепь рассматривается при воздействии комплексного гармонического сигнала), после чего множители $e^{j\omega t}$ можно будет исключить и получить СЛАУ относительно комплексных амплитуд.

tohaf в сообщении #1222716 писал(а):

Есть активное сопротивление- резистор, емкостное (зависит от ёмкости и частоты колебаний) и индуктивное (индуктивность и частота колебаний). А что такое комплексное сопротивление тогда?

Рассматриваем, скажем, ёмкостный элемент. Он описывается дифференциальным уравнением $i=C\frac{du}{dt}$, где $i$ - ток через ёмкостный элемент, $u$ - напряжение на ёмкостном элементе, $C$ - ёмкость. Гармонические напряжение и ток запишем в виде $i(t)=I_mcos(\omega t+\varphi_I)$, $u(t)=U_m\cos(\omega t+\varphi_U)$. Соответствующие им комплексные гармонические напряжение и ток $\dot{i}(t)=\dot{I}_me^{j\omega t}$, $\dot{u}(t)=\dot{U}_me^{j\omega t}$, где $\dot{I}_m=I_me^{j\varphi_I}$, $\dot{U}_m=U_me^{j\varphi_U}$ - комплексные амплитуды тока и напряжения.
Рассмотрим ёмкостный элемент при воздействии комплексного гармонического сигнала, тогда его дифференциальное уравнение перепишем в виде: $\dot{I}_me^{j\omega t}=C\frac{d\dot{U}_me^{j\omega t}}{dt}=j\omega C\dot{U}_me^{j\omega t}$ или

$$\dot{U}_m=\frac{1}{j\omega C}\dot{I}_m$$

Получили, что комплексная амплитуда напряжения пропорциональна комплексной амплитуде тока, аналогично тому, как были связаны между собой напряжение и ток на резистивном элементе. Связь эту называют законом Ома в комплексной форме, а коэффициент пропорциональности между комплексной амплитудой тока и напряжения называют комплексным сопротивлением: $\dot{z}=\frac{1}{j\omega C}$ и

$$\dot{U}_m=\dot{z}\dot{I}_m$$

Аналогично можно рассмотреть и индуктивный элемент. Комплексное сопротивление вводится формально и также формально его и следует понимать.

[realeugene]

(Оффтоп)

tohaf в сообщении #1222745 писал(а):

Я не понимаю, какой набор знаний нужен для того, чтобы читать у Бессонова про цепи с переменным током. Линейные цепи сдал на хорошо. А нелинейные - это ад.

Малую долю от того, что должен знать грамотный инженер.

В этой теме обсуждаются линейные системы, но над полем комплексных чисел.

[Евгений Машеров]

"Для избранных" - рассчитывать нелинейные цепи честно, выписывая нелинейные дифуравнения и решая их. Причём численно их решать трудоёмко и сложно, и результат только для данного частного случая, но общее решение в аналитическом виде, скорее всего, и не получится.
Но есть разработанная техника расчётов для постоянного тока. Хотелось бы, раз уж у нас переменный ток применяется, и кое-где побольше постоянного, считать его цепи немногим сложнее. В общем случае это нереально, значит, придётся ограничиться частным случаем, охватывающим большую часть практических применений. Вместо сигнала произвольной формы работать только с синусоидальным известной частоты, а вместо нелинейных элементов общего вида использовать немногие, но часто употребляемые "почти линейные", которые переходом к комплексным числам сделаются и вовсе линейными.
Ограничение по частоте, что используется только одна, может быть и вовсе не ограничением в ряде задач, когда мы работаем лишь с током промышленной частоты (50Гц или в США 60 Гц), или у нас какая-то иная, но заведомо заданная частота (400Гц в авиационной электроаппаратуре), но если у нас разные частоты, то, если элементы схемы у нас линейные (в частности, отклик на сумму сигналов на входе равен сумме откликов на слагаемые), мы может разложить входной сигнал по частотам, провести расчёт для каждой и просуммировать (что всё равно проще решения нелинейных дифуров).
С резистором расчёты для переменного тока так же просты, как для постоянного. Но у нас появляются другие элементы - катушки индуктивности (включая сюда обмотки трансформаторов, статоры и роторы двигателей и пр.) и конденсаторы. Для них уже ток не пропорционален напряжению, по крайней мере мгновенное его значение, у них фаза сдвигается. То есть надо рассматривать и синфазную компоненту, и квадратурную (сдвинутую по фазе на 90 градусов). Вместо того, чтобы рассматривать отдельно протекание обеих компонент, каким-то образом их соотнося, воспользуемся помощью Эйлера, который нарисовал комплексные числа на координатной плоскости, по иксам действительная часть, по игрекам мнимая, и вывел их из матемистики и матемагии в общепонятную прикладную сферу. В нашем случае действительная часть соответствует синфазной, мнимая - квадратурной компоненте. Если у нас только резистивные элементы, то такое усложнение излишне, мнимая часть заведомо ноль, но когда у нас индуктивность или ёмкость, фазы сдвигаются, что легко описать, как умножение на комплексное сопротивление. Действительная его часть соответствует собственно сопротивлению, а мнимая определяется ёмкостью или индуктивностью и зависит от частоты. Токи и напряжения в элементах цепи также становятся комплексными, отражая сдвиги фазы.
Оказывается, что при этом расчёт делается в точности так же, как и для цепей постоянного тока, только арифметика используется комплексная. "Мнимая часть" здесь не "несуществующая", а попросту сдвинутая на четверть оборота. Соответственно появляется "активная мощность" и "реактивная мощность" и т.п.
Если в цепи существенно нелинейные элементы, то так просто не выйдет. Хотя бы обычный диод уже меняет частотный состав, не говоря о всякой экзотике. Тем не менее и в таких цепях используют комплексные числа, но выделяют "истинную нелинейность" в отдельный блок, который рассчитывают иначе (скажем, можно так рассчитать блок питания, рассматривая часть до диодного мостика и часть после него - фильтры и нагрузку, а сам мостик рассчитывая иначе).
.