Вероятность вернуться домой за n шагов (случайное блуждание)

[Aether]

svv в сообщении #1235781 писал(а):

Я там чуть подредактировал. В итоге: случай отрицательных $p$ сводится к случаю положительных $p$ (в силу симметрии). Случай $p=0$ потом рассмотрим отдельно. А для положительных надо просуммировать $\frac{(m+1)(m+2)}2$ по всем таким $m\geqslant 0$, для которых $n-2m$ — положительное число, кратное $3$.

Положим $n=5$, тогда из данного условия следует, что $m$ может принимать лишь значение 1. Композиция 1 длины 3 с нулями для $m=1$ дает 3 варианта. Я что-то неправильно понимаю?

Не может ли оказаться, что количество неэквивалентных путей в зависимости от n - величина случайно распределенная, также например как распределены простые числа в натуральном ряду?

[svv]

Aether в сообщении #1235986 писал(а):

Рассмотрим случай $n=4$, m в данном случае может быть равно только $2$.

Это правильно.
Теперь вспомним, что $n-2m=3p$, получим $p=0$. Случай $p=0$ особый, я выше предлагал его рассмотреть отдельно, хотя, в принципе, всё необходимое уже сказано:

svv в сообщении #1235771 писал(а):

И ещё одно условие: исключается случай, когда ненулевые только $a$ и $d$.

Это возможно лишь при $p=e-b=f-c=0$. Тогда $d=p+a=a$, и условие сводится к требованию исключить вариант(ы) $b=c=0, a=m-(b+c)=m=2$. Это один вариант. Остаётся пять.

-- Ср июл 26, 2017 13:47:55 --

Aether в сообщении #1236002 писал(а):

Положим $n=5$, тогда из данного условия следует, что $m$ может принимать лишь значение 1. Композиция 1 длины 3 с нулями для $m=1$ дает 3 варианта. Я что-то неправильно понимаю?

Всё правильно. При $n=5$ возможно лишь $p=1$ (см. оговорку ниже) и $m=1$. Это даёт три композиции. Для полноты запишу значения всех переменных:
$a=1, d=2, b=0, e=1, c=0, f=1$
$a=0, d=1, b=1, e=2, c=0, f=1$
$a=0, d=1, b=0, e=1, c=1, f=2$
Но это — для положительных $p$. А ещё есть отрицательные $p$. Я выше ограничился кратким замечанием:

svv в сообщении #1235781 писал(а):

случай отрицательных $p$ сводится к случаю положительных $p$ (в силу симметрии)

Думаю, всё понятно?

Aether в сообщении #1236002 писал(а):

Не может ли оказаться, что количество неэквивалентных путей в зависимости от n - величина случайно распределенная, также например как распределены простые числа в натуральном ряду?

Что Вы, там все суммы легко считаются.

[Aether]

svv в сообщении #1236017 писал(а):

Думаю, всё понятно?

Спасибо, всё понятно.

svv в сообщении #1236017 писал(а):

Что Вы, там все суммы легко считаются.

Тогда должно существовать и выражение для количества неэквивалентных путей в зависимости от $n$, как же теперь построить формулу?

[svv]

А Вы можете что-то написать, пусть в каком-нибудь промежуточном виде?

[Aether]

svv в сообщении #1236081 писал(а):

А Вы можете что-то написать, пусть в каком-нибудь промежуточном виде?

У меня возникли трудности с нахождением $m(n), p(n)$, нашел только, что возможное количество всех вариантов $k$ для заданного $n $ равно $\lfloor{\frac{n+2}{2}}\rfloor-\lfloor{\frac{n+2}{3}}\rfloor$. Как же найти сами значения $m(n), p(n)$ я не представляю.

Вот таблица:
n :2,3,4,5,6,6,7,8,9,10,10,......
m:1,0,2,1,0,3,2,4,1,0,3,2,5,......
p :0,1,0,1,2,0,1,0,3,3,1,3,0,.....
k :1,1,1,1,2,1,2,2,2,2,3,2,3,3,3,3,4,3,4,4,4,4,5,4,5,5,5,5,6,5,6,6,6,6,7,6,.........=A103221 без первых двух членов.

Как это всё воткнуть в одну формулу и выразить аналитически- ума не приложу. Может всё-таки это случайное распределение? И минусы для $p$ что-то не пойму как в этой таблице расставить.

[svv]

Aether в сообщении #1236099 писал(а):

значения $m(n), p(n)$

Так лучше не писать, потому что можно подумать, что число (одно) $m$ и число $p$ — функции $n$. На самом деле, данному $n$ соответствует в общем случае несколько пар $m_i(n), p_i(n)$, причём $2m_i(n)+3p_i(n)=n$.

Зафиксируем $n$. Зависимость $m_i, p_i$ от $n$ будем подразумевать, но для краткости не будем писать. Допустим, для некоторого $i$ числа $m_i, p_i$ известны. Пусть $n$ велико, и $m_i, p_i$ будут где-то в серединке диапазона, то есть они далеки от того, чтобы упереться в какое-нибудь ограничение (типа $m_i\geqslant 0$). Я хочу найти «следующие» значения $m_{i+1}, p_{i+1}$. Ясно, что если $m_{i}$ растёт с ростом $i$, то $p_{i}$ будет, наоборот, убывать.

Как Вы думаете, нет ли какой-либо закономерности в расположении $m_i, p_i$, вроде постоянного шага? Сколько нужно прибавить к $m_i$ и сколько нужно отнять от $p_i$, чтобы получить следующие значения?

[Aether]

Спасибо,
$m_{i+1}=m_i+2, p_{i+1}=p_i-3$

Непонятно только что это дает

[svv]

Ой!

[Aether]

svv в сообщении #1236109 писал(а):

Ой!

Кто здесь? В смысле что-то не так?

[svv]

Ошибочка постучалась, мелкая такая, но противная, по невнимательности.

[Aether]

svv в сообщении #1236111 писал(а):

Ошибочка постучалась, мелкая такая, но противная, по невнимательности.

У меня?

[svv]

Да. Ну, скажем, $n=65, m_i=16, p_i=11$.
Проверяем: $2m_i+3p_i=65$. Всё в порядке. И какие там следующие значения?

[Aether]

Понял, 19 и 9.
$m_{i+1}=m_i+3, p_{i+1}=p_i-2$

Реккурсия однако.

[svv]

Да.
Но, раз так, любое $m_i$ известно, если известно $m_1$. Какая будет формула?

[Aether]

$m_i=m_1+3(i-1)$
$p_i=p_1-2(i-1)$

Спасибо.
И куда двигаться дальше?
И что там с минусами для $p$ не подскажите?