Просьба. Учебник по теории множеств.

[Padawan]

В качестве задачника порекомендую Архангельский, Пономарев Общая топология в задачах и упражнениях.

[Aritaborian]

А что уважаемое сообщество думает о книге Казимира Куратовского и Анджея Мостовского «Теория множеств»?

[Anton_Peplov]

Aritaborian в сообщении #1214431 писал(а):

А что уважаемое сообщество думает о книге Казимира Куратовского и Анджея Мостовского «Теория множеств»?

Это очень серьезный учебник, в котором теория множеств излагается не наивно, а в аксиоматике ZFC (хотя и на естественном языке, без привлечения формальных теорий). Все конструкции - упорядоченная пара, декартово произведение и т.д. - строятся согласно аксиомам. Например, декартово произведение строится так. Изложение никак не рассчитано на новичка и не дружелюбно к нему. Поэтому новичку от этой книги надо бежать как от огня - КПД изучения (отношение "польза / затраченные усилия") будет прискорбно низким (примерно то же относится, скажем, к попыткам изучать с нуля общую топологию по Энгелькингу). Зато для человека, уже знакомого с наивной теорий множеств и желающего детально разобраться с аксиомами ZFC, построить из этих аксиом все конструкции, начиная с упорядоченной пары, и, например, отделить то, что доказывается только с аксиомой выбора, от того, что доказывается без нее, эта книга просто драгоценна.

[george66]

Я прекрасно учился по книжке Келли "Общая топология", там приложение по теории множеств (не совсем ZF, Келли-Морса, но разница небольшая).

[Vitte]

Кстати, вопрос к сообществу.

Какова разница между этими теориями:

1) Аксиоматика Морса-Келли
2) Аксиоматика фон Неймана-Бермана-Гёделя
3) Аксиоматика Цемерло-Френкеля

Они одинаково применимы, или какие-то устарели к настоящему времени?

Заранее прошу прощения, если где-то ошибся в терминах или фамилиях авторов, пока ещё не в теме.

[Anton_Peplov]

Vitte в сообщении #1214455 писал(а):

Какова разница между этими теориями:

1) Аксиоматика Морса-Келли
2) Аксиоматика фон Неймана-Бермана-Гёделя
3) Аксиоматика Цемерло-Френкеля

Они одинаково применимы или какие-то устарели к настоящему времени?

Тут вот какая история. Когда возникла теория множеств, строгого определения множества не было - так же, как в школьной геометрии не дается строгого определения точки и прямой. Эти понятия принимаются как начальные и сами служат основой для всех определений. Это удобно, поскольку эти понятия - интуитивно ясные. Трудно дать определение тому, что такое точка, но ни у кого в школьной геометрии еще не возникло спора, является ли данный объект точкой или нет. Так и с множеством. Что объединяет понятия "набор карандашей", "группа студентов", "население страны", "электорат партии" и т.д.? То, что мы говорим о совокупности объектов. Вот на языке математики такая совокупность называется множеством, а входящие в нее объекты - элементами множества. Множество состоит из своих элементов: набор карандашей - из карандашей, группа студентов из студентов, и т.д.
Такой подход к понятию множества сейчас называется "наивной теорией множеств". Именно в нем был разработан тот язык, на котором сейчас изложена вся математика - понятия объединения и пересечения множеств, мощности множества и т.д. И именно так теорию множеств преподают всем, кроме профессиональных математиков, и даже математиков начинают учить с нее.

"Наивный" подход к понятию множества предполагает, что возможно любое мыслимое множество. Однако в дальнейшем оказалось, что попытки рассмотреть некоторые экзотические множества, такие, например, как множество всех множеств, ведут к логическим противоречиям. Стало ясно, что говорить о "каких угодно" множествах нельзя. Надо как-то ограничить понятия множества, причем так, чтобы сохранить все полезные на практике множества и ранее введенные понятия и теоремы. Вот с этой целью и были придуманы аксиомы теории множеств. Аксиомы говорят, какие множества точно есть (например, точно есть пустое множество, для любых двух множеств точно есть их объединение и т.д.). Аксиомы придуманы так, чтобы известные противоречивые объекты вроде множества всех множеств не могли быть по ним построены. Вместе с тем запас множеств, который строится согласно этим аксиомам, оказывается достаточным почти для всех разделов математики, кроме некоторых экзотических. Есть несколько систем аксиом - Морса-Келли, фон Неймана-Бернайса (не Бермана) -Гёделя, Цемерло-Френкеля и т.д. Все они успешно решают поставленную задачу - подводят базу под все используемые математиками множества. И, собственно, это все, что о них следует знать. Именно поэтому никому, кроме профессиональных математиков, об аксиомах теории множеств даже не говорят, а ограничиваются "наивной" теорией множеств - там все равно будут введены все нужные понятия и доказаны все нужные теоремы, а все множества, с которыми Вам придется столкнуться при изучении математики, заведомо существуют согласно аксиомам. Так что категорически рекомендую Вам аксиомами пока вообще не заморачиваться, начать с "наивной" теории множеств. После того, как Вы ее изучите, можно будет поинтересоваться, как ее понятия строятся уже на аксиоматическом уровне строгости. Из всех систем аксиом обычно предпочитают аксиоматику Цермело-Френкеля с аксиомой выбора (ZFC) как самую простую и интуитивно понятную. Хотя для некоторых экзотических задач - например, для формализации теории категорий - ее не хватает, и приходится обращаться к другим аксиоматикам.

[Vitte]

Anton_Peplov, я пока в эти вопросы не лезу, мне для старта как раз нужна "наивная теория", я просто думал, что всё обозначенное выше - это разные способы формализации основных определений не ведущее к сильному углублению.
Вообще, теория множеств мне нужна для старта в топологию и функциональный анализ.

Пошёл по такой схеме: нет понимания множеств -> нет понимания пространств и алгебр -> нет понимания теории операторов, что в функциональном анализе очень надо.

[Anton_Peplov]

Vitte в сообщении #1214471 писал(а):

я пока в эти вопросы не лезу,

Это правильно.

Vitte в сообщении #1214471 писал(а):

мне для старта как раз нужна "наивная теория"

Да, именно так.

Vitte в сообщении #1214471 писал(а):

всё обозначенное выше - это разные способы формализации основных определений

Да.

Vitte в сообщении #1214471 писал(а):

не ведущее к сильному углублению

Вот это уже субъективно, сильное оно или не сильное. По-моему, на этапе становления основных понятий их формализация будет только отвлекать, потому что она занудная и громоздкая. Ну кому надо мыслить упорядоченную пару $\langle x, y \rangle$ как множество $\{\{x\}, \{x, y\}\}$ или выделять декартово произведение $X \times Y$, которое всего-то - множество всех таких пар, предикатом из булеана от булеана от булеана $X \cup Y$?

[Vitte]

Дело в том, что после классических интегрального и дифференциального счисления мне пока сложно начать думать в таких терминах, поэтому и возникают детские вопросы.

[Aritaborian]

Anton_Peplov в сообщении #1214472 писал(а):

Ну кому надо мыслить упорядоченную пару $\langle x, y \rangle$ как множество $\{\{x\}, \{x, y\}\}$

Знавал я одного преподавателя мехмата БГУ, который заморачивал этим первокурсников. Слава Диэдру, глубоко в их головы это не проникало, да он и не особо настативал.

[george66]

В NBG более богатый язык, кроме множеств там можно говорить о "больших классах". Она труднее, чем ZF (два сорта переменных вместо одного). Но в целом ZF, NBG и Келли-Морса примерно одно и то же. Особняком стоит New Foundations (по которой тоже есть прекрасный учебник) и различные теории нефундированных множеств. Что там устарело? Да всё там устарело.

[arseniiv]

Aritaborian в сообщении #1214345 писал(а):

Можно подумать, что с тех пор основы теории множеств куда-то подевались.

Как обычно, тут два аргумента за новое. Во-первых, терминология не стоит на месте и немного меняется даже в основах: ни про какие флюксии Ньютона, скажем, на матанализе не говорят (хотя тут, конечно, времени тоже куда больше прошло). Во-вторых, некоторые вещи могли упроститься, в том числе и в основах. В-третьих, могли появиться новые примеры. Книгу не читал, говорю про общий случай.

-- Сб май 06, 2017 21:37:27 --

Anton_Peplov в сообщении #1214445 писал(а):

Это очень серьезный учебник, в котором теория множеств излагается не наивно, а в аксиоматике ZFC (хотя и на естественном языке, без привлечения формальных теорий).

И это, кстати, весьма хорошо. Вроде, после того как почитал именно эту книгу, я начал понимать аксиоматику ZFC. (Это как раз по поводу второй статьи о том, для кого книга драгоценна. Ну, не скажу, что могу утверждать, что именно бесценна, но польза в моём случае была.)

[Anton_Peplov]

(Прикладная филология)

arseniiv в сообщении #1214530 писал(а):

не скажу, что могу утверждать, что именно бесценна

А я не сказал, что бесценна, я сказал - драгоценна. Это менее сильный эпитет:)

[arseniiv]

(Прикладная, продолжение)

Да, уже увидел, что слово видоизменилось в памяти, пока я его нёс до ответа. :-)

george66 в сообщении #1214513 писал(а):

Но в целом ZF, NBG и Келли-Морса примерно одно и то же.

Разве MK не сильнее ZFC и NBG?

-- Сб май 06, 2017 21:48:11 --

Ну да, сильнее.

[kp9r4d]

Vitte в сообщении #1214455 писал(а):

Какова разница между этими теориями:

1) Аксиоматика Морса-Келли
2) Аксиоматика фон Неймана-Бермана-Гёделя
3) Аксиоматика Цемерло-Френкеля

Они одинаково применимы, или какие-то устарели к настоящему времени?

Заранее прошу прощения, если где-то ошибся в терминах или фамилиях авторов, пока ещё не в теме.

Идеологически - никакой, впрочем, george66 уже всё сказал, что я хотел.

-- 06.05.2017, 21:09 --

arseniiv в сообщении #1214533 писал(а):

Разве MK не сильнее ZFC и NBG?

Речь идёт не о доказательной силе, а об идеологии, мне кажется.