Почему законы логики всегда верны?

[grizzly]

Ну это... я не уверен, что понимаю, о чём спрашивал ТС и теперь уверен, что неправильно понимал, о чём говорил Sonic86. В любом случае я не имел в виду мат.логику.

arseniiv в сообщении #1201189 писал(а):

какой неоднозначностью?

Я имел в виду что-то в контексте цитаты ниже (углубляться, увы, не смогу -- меня бы самого кто углубил :) Цитирую из введения к книге Я.Хинтикки, там ещё он сам об этом пишет. Ну и в других (более математических местах) мне попадалось мнение, что физики, математики и просто люди слова "быть", "существовать" и т.п. воспринимают по-разному (настолько, что это отражается вплоть до поведенческого уровня).

Цитата:

При анализе связки «есть» в английском языке Я.Хинтикка приходит к выводу, что фрегевское различение «есть» как тождества $({}={})$, включения элемента в класс $({}\in {})$, включения класса в класс $({}\subseteq{})$ и существования $(\exists )$ -- различение, которого придерживались и Б. Рассел, и У. Куайн, и, мы бы сказали, подавляющее большинство современных логиков, является ошибочным. В свое время Б. Рассел столь же решительно объявил позором человеческой мысли, что подобного различия не делалось. Нам представляется, что ситуация здесь более сложна. Возможны как искусственные, так и естественные языки, в основе которых лежат разные категориальные системы. В одних из них имеется три различных отношения -- это стандартные логики и германские языки в интерпретации Б. Рассела. Вместе с тем возможны языки, где имеется единое отношение — язык онтологии Ст. Лесневского, латинский, русский, польский и некоторые другие. Поэтому выносить вердикт о связке "есть" безотносительно к системе языка вряд ли корректно.

[arseniiv]

А, ну это больше всё-таки насчёт слова есть. Ну, тут можно даже попробовать просто отмахнуться тем, что в естественных языках существуют омонимы, и это слово — не исключение. С другой стороны, конечно, можно рассматривать разные логики, а не только похожие на классическую первого порядка. Но можно же считать, что имелась в виду именно она (или какая-то другая одна), и тогда никакой неоднозначности нет (как и слова «есть» ).

К слову, в свободных (free) логиках, где термы могут быть не всюду определены, возникает нужда в операции «существует [значение данного терма]», строящей по терму формулу, и её вполне можно обозначать $\exists t$, внося невинную многозначность (потому что легко разрешается разными числами аргументов) в смысл символа $\exists$. Правда, в тех, которые я видел, $\exists t$ можно понимать просто как сокращение формулы $\exists x(x = t)$.

[NPrim]

Erleker в сообщении #1200649 писал(а):

Вопрос, мягко говоря "странный", но все же взбрел мне в голову... Почему законы логики всегда верны? ... Что "за этим стоит"?

Законы логики верны не всегда. Формальная логика -- это теория классификаций. С давних пор известно, что в некоторых случаях окончательную классификацию построить нельзя, то есть и у этой теории есть границы применимости. Простейший модельный пример -- парадокс брадобрея. Брадобрей должен расклассифицировать жителей города по простому правилу, но не может этого сделать, когда применяет это правило к себе.

Бахну, как я люблю, длинную цитату в оффтопике.

(Цитата из работы одного толкового мужика)

Анри Пуанкаре в книге О науке писал(а):

Происходят ли эти противоречия от того, что были неверно применены правила логики, или же от того, что эти правила перестают быть правомерными вне их собственной области, т. е. области совокупностей, составленных только из конечного числа объектов? Мне кажется, что будет не лишним сказать здесь по этому поводу несколько слов и дать читателю понятие о тех спорах, к которым привел этот вопрос.

Формальная логика есть не что иное, как учение о свойствах, общих для всякой классификации. Она учит нас, что два солдата, числящихся в одном полку, тем самым принадлежат к одной и той же бригаде, а следовательно, и к одной и той же дивизии; к этому-то и сводится вся теория силлогизмов. Каково же условие, при котором правила этой логики имеют силу? Для этого необходимо, чтобы принятая классификация была неизменной. Мы знаем, что два солдата служат в одном полку, и отсюда заключаем, что они принадлежат к одной и той же бригаде. Мы имеем на это право, так как полагаем, что за то время, пока мы рассуждаем, ни один солдат не был переведен из одного полка в другой.

Отмеченные выше недоразумения произошли из-за того, что забыли это простое условие и опирались на классификацию, которая не могла быть таковой. Ее постарались объявить неизменной, но этого недостаточно; необходимо было сделать ее действительно неизменной, а существуют случаи, когда это невозможно.

Позвольте мне заимствовать пример у Рассела. Кстати, он использовал его против меня. Он хотел показать, что трудности возникают не от введения актуальной бесконечности, так как они могут появиться даже при рассмотрении только конечных чисел. Я впоследствии вернусь к этому пункту, в данный момент речь идет не об этом, и я выбрал этот пример, поскольку он интересен и хорошо поясняет отмеченный мною факт. Каково наименьшее целое число, которое не может быть определено фразой, состоящей менее чем из ста французских слов? И существует ли такое число?

Да, так как с помощью ста французских слов можно построить только конечное число фраз, а число слов в словаре французского языка конечно. Среди этих фраз будут и такие, которые не имеют никакого смысла и не определяют никакого целого числа. Но каждая из них может определить не больше одного целого числа. Количество целых чисел, которые могут быть таким образом определены, очевидно, конечно; следовательно, наверняка найдутся целые числа, которые не могут быть определены, и среди этих чисел найдется одно, которое будет меньше всех остальных.

Нет, так как если бы это целое число существовало, то его существование являлось бы противоречием, поскольку оно определялось бы фразой, состоящей менее чем из ста французских слов, т. е. той самой фразой, которая утверждает, что этого не может быть. (Имеется в виду фраза, с помощью которой сформулирован сам вопрос. -- Примеч. ред.)

Это рассуждение основано на классификации целых чисел на две категории: таких, которые могут быть определены фразой, состоящей менее чем из ста французских слов, и таких, которые не могут быть ею определены. Ставя вопрос, мы неявно объявляем эту классификацию неизменной, и должны рассуждать уже после того, как окончательно это установили. Но это невозможно. Классификация не может быть окончательной ранее того, как мы пересмотрим все фразы менее чем из ста слов, отбросим те из них, которые лишены смысла, и установим смысл тех, которые его имеют. Но среди этих фраз есть и такие, которые не могут иметь смысла до того, как классификация будет установлена; такими являются те фразы, в которых речь идет о самой классификации. Итак, классификация чисел может быть установлена только после окончания разбора фраз, а этот разбор может быть закончен только после установления классификации. Таким образом, ни классификация, ни выбор фраз не могут быть никогда прекращены. Эти затруднения, начинают встречаться особенно часто, как только дело касается бесконечных совокупностей. Положим, хотят классифицировать элементы подобной совокупности, и положим, что принцип этой классификации основывается на некоторой зависимости между классифицируемыми элементами и всем их собранием в целом. Может ли подобная классификация считаться когда-либо оконченной? Актуальной бесконечности нет, и когда мы говорим о бесконечной совокупности, этим мы хотим сказать, что она обладает тем свойством, что к ней без конца можно прибавлять новые элементы (подобно подписному листу, который никогда не будет закрыт в ожидании новых подписчиков). Но классифицирование никогда не может быть прекращено окончательно до тех пор, пока этот лист не будет закрыт. Всякий раз, как к этой совокупности прибавляют новые элементы, совокупность меняется; может измениться зависимость между этой совокупностью и уже классифицированными элементами, а так как по этой зависимости элементы распределялись в тот или иной ящик, то может случиться, что при изменении этой зависимости элементы уже не окажутся правильно распределенными, и их придется переместить из одних ящиков в другие. Пока могут быть еще введены новые элементы, следует опасаться того, что всю работу придется выполнять заново, а мы никогда не придем к такому моменту, когда больше не будет новых элементов, которые нужно вводить в совокупность; следовательно, классификация никогда не будет окончена.

Отсюда вытекает различие между двумя видами классификаций, применимых к элементам бесконечных совокупностей: классификациями предикативными, которые не нарушаются введением новых элементов, и классификациями непредикативными, которые без конца изменяются под влиянием введения новых элементов.

Насколько я могу судить, подобные вопросы занимали философов с самых давних пор. Гегель утверждал, что при детальном анализе любого понятия должно вскрыться противоречие, и что противоречия можно отодвинуть на более глубокий уровень, но избавиться от них нельзя. (Понимаю, что имя Гегеля на этом форуме -- как красная тряпка для быка, но из песни слов не выкинешь.) Чего в этой области делал Гёдель, могу только догадываться, ибо всем этим премудростям не обучен.

Любая теория -- это классификация объектов и явлений: чего от них можно ждать и чего с ними можно делать. И выходы за рамки логики в теоретическом мышлении случаются буквально на каждом шагу: начиная от банальной попытки слепить две теории в одну, когда они этого делать никак не хотят, и до появления в рамках какой-нибудь теории парадоксов, сингулярностей и прочих удивительных вещей.

Пример из наиболее знакомой мне области: понятие "вид" в биологии -- это самое противоречивое понятие, куча споров. Основная критика направлена на то, что оно неконструктивное. Для выделения организмов в один вид нужно предположить скрещиваемость. Но проверить скрещиваемость в большинстве случаев невозможно. Как проверить, что люди жившие 2000 лет назад -- это один с нами вид?

А можем ли мы проделать такой эксперимент со всеми ныне живущими людьми? Заведомо, многие пары вообще не дадут потомства или не дадут плодовитого потомства, или у потомства будет неплодовитое потомство (например, из-за инбридинга)... и так до бесконечности. Ну, вы поняли.

Или такой вопрос: вот есть вид А, почти все самки которого могут приносить плодовитое потомство от самцов другого близкого вида Б. Но почти все самцы вида А не могут похвастаться тем же в отношении самок вида Б. Это все еще один вид, или это уже два разных вида? (Или этот же вопрос обращенный в прошлое, скажем, человечества -- когда в прошлом не "человек разумный" стал "человеком разумным"? где граница?)

Получается нехорошо: вид вроде бы выделяется на основе предположения о скрещиваемости и плодовитости, а предполагать скрещиваемость и плодовитость можно только после выделения в один вид. Прям по Расселу--Пуанкаре.

Это серьезная проблема, потому что на понятии "вид" строится вся теория: без него даже определение эволюции дать нельзя. Но понятие "вид", несмотря ни на что, -- это понятие на 100% работающее. Хотя и оно работает в ограниченной области -- в отношении бактерий оно работает плохо.

Недавно перечитывал кое-что из работ палеоботаника В.А.Красилова, ныне, к сожалению, покойного. У него в "Нерешенных проблемах теории эволюции" про это всё много написано.

Такие вот дела.

Из физики и математики приводить примеры не рискну. Помню только, что на этом форуме было обсуждение задачи пяти тел в ньютоновской теории гравитации с последующим "разоблачением" базовой идеализации этой теории -- идеализации "материальная точка". Ну, когда говорят про идеализацию, значит, теория достигла своих пределов. Значит, строго логически были получены "немыслимые" результаты, потому что в теорию были заложены, строго говоря, "немыслимые" предположения.

И в логике тоже есть такие "немыслимые" предположения. Четких и резких границ в мире нет, потому что в мире не обнаружено объектов, которые не могут превратиться в какие-нибудь другие объекты. Вселенная круговоротится, развивается, эволюционирует -- одно превращается в другое. Поэтому все четкие разделения, без которых правила логики не работают, условны. Это значит, что классификацию можно считать завершенной только при определенных условиях, в определенных границах. И любые абстракции, как говорят программисты, будут где-то "подтекать".

И собрать все классификации под крышей одной непротиворечивой "теории всего" нельзя, потому что этой теории придется повторить подвиг брадобрея.

Вывод: логика -- необходимый, но не универсальный инструмент. Без всяких "скачков мысли" и прочих "интуиций" не обойтись. Двойственность познания, понимаешь.

Да и вообще:

Н. Н. Лузин в книге Современное состояние функций действительного переменного писал(а):

Именно в полной мере является справедливым то давно уже сделанное замечание, что на логических путях исследования как раз не встречают тех понятий, которые наиболее ценны, и если бы мы ограничились лишь исследованиями строго логического характера, мы никогда бы их не имели.

(Оффтоп)

Извините за философию. Но весеннее обострение -- ничего не поделаешь. Текстик, пока писАлся, морально подготовился к переносу в пургаторий.

[warlock66613]

NPrim в сообщении #1201423 писал(а):

И выходы за рамки логики в теоретическом мышлении случаются буквально на каждом шагу: начиная от банальной попытки слепить две теории в одну, когда они этого делать никак не хотят, и до появления в рамках какой-нибудь теории парадоксов, сингулярностей и прочих удивительных вещей.

Да, но поскольку логика показала себя как чрезвычайно удобный способ описания мира, то во всех таких случаях предпочитают оставить логику неизменной, а разрешение несоответствия с действительностью осуществить за счёт изменения других частей картины мира. Хотя в принципе можно было бы менять логику; этим путём пытались пойти при создании квантовой механики, но он оказался менее продуктивным: всё-таки логика обеспечивает исключительную ясность мысли, иначе труднодостижимую.

[arseniiv]

NPrim в сообщении #1201423 писал(а):

Вывод: логика -- необходимый, но не универсальный инструмент. Без всяких "скачков мысли" и прочих "интуиций" не обойтись. Двойственность познания, понимаешь.

Слушайте, а это-то как вообще относится к теме? Кто тут говорил про познание?

[mihailm]

Дискуссия как обычно кипит, но извините меня тупого. Erleker, о каких законах логики идет речь? перечислите, пожалуйста. А то выяснится, что вы ни одного закона логики не знаете, а народ тут парится) А потом, конкретно, давайте эти законы брать по одному.

[arseniiv]

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #1201563 писал(а):

а народ тут парится)

По-моему, никто не парится, участие сугубо добровольно.

[kernel1983]

Может, сначала определить понятие "закон логики"?

[arseniiv]

(Если уж к этому возвращаться до возвращения к этому самого ТС, то я подумал, что «закон логики» — это какое-нибудь верное логическое следствие типа $A\vee A\vDash A\wedge A$ или $\vDash A\to B\to A$ в связке с выбором логики, для которой это рассматривается.)

[NPrim]

warlock66613 в сообщении #1201463 писал(а):

Да, но поскольку логика показала себя как чрезвычайно удобный способ описания мира, то во всех таких случаях предпочитают оставить логику неизменной, а разрешение несоответствия с действительностью осуществить за счёт изменения других частей картины мира. Хотя в принципе можно было бы менять логику; этим путём пытались пойти при создании квантовой механики, но он оказался менее продуктивным: всё-таки логика обеспечивает исключительную ясность мысли, иначе труднодостижимую.

Согласен. Кажется даже, что хотя в мире и нет абсолютно четких границ, но они в нашем "среднем мире" (термин Докинза) достаточно четкие, для того, чтобы обычная логика работала эффективно, и чтобы отбор направлял живых существ именно к такому механизму классификаций. Не факт, что наши головы смогут эффективно работать с другими логиками. Это к вопросу о ясности мысли.

Можно, конечно, пофантазировать, какой бы была наша естественная логика, если бы мы жили в микромире, например. Но мне больше интересна и знакома биология. Все-таки интервалы в сотни миллионов лет -- это тоже не "средний мир". На таких интервалах почти всё, что кажется нам таким постоянным, неподвижным и четко очерченным, видоизменяется, движется и расплывается.

Мне вот интересны всякие споры о том, являются ли две популяции одним видом, подвидами одного вида или разными видами, о том, какие изменения лежат в рамках видовой нормы, а какие уже выходят за эти рамки и т.п. И вот здесь у меня такое чувство, что если бы нашелся очень четкий критерий для различения видов (т.е., фактически, нашлось логически безупречное определение понятия "вид"), то это противоречило бы эволюционным принципам, потому что означало бы, что переходных форм нет. (Возможно, тут что-то вроде непредикативных классификаций, о которых писал Пуанкаре.)

И у меня такой вопрос: насколько продуктивным оказался подход Брауэра и Ко. в математике? Сам я в это разобраться не смог. Получилось ли у них сделать что-то новое и ценное? Хоть какие-то преимущества у этого подхода есть? Может быть, что-то легче получается сделать?

-- 19.03.2017, 05:44 --

arseniiv в сообщении #1201473 писал(а):

Слушайте, а это-то как вообще относится к теме? Кто тут говорил про познание?

Ну, да. Я малость тему развернул в интересную мне сторону. Но, надеюсь, этот разворот -- не полный оффтопик. И надеюсь, что хотя бы цитата из работы Пуанкаре была в тему и чем-то помогла Erleker.

[kernel1983]

В литературе по логике нередко законом логики называются тавтологию (какой-то логики).

[warlock66613]

Aether в сообщении #1201538 писал(а):

Копенгагенская интерпретация КМ, основанная на принципе дополнительности, на конец тысячелетия получила наибольшее признание среди ученых

Копенгагенская интерпретация-то признание получила, а вот принцип дополнительности остался лишь в истории.

[maximav]

TC,
Когда вы пишите свой вопрос уже пользуетесь некими правилами, в частности некоторыми подобиями закона исключения третьего. Вопрос абсолютно сродни известному событию про волосы и болото. А чтобы не было зацикливания/selfreference, используемый язык сокращается, с описанием запретов. Это естественное развитие того, что претендует называться наукой. Математика в этом отношении самая хитрая/умная/ушлая. Допрыгалась до логики, логик и логики логик. Объявляет их, какие они есть, а потом сравнивает с тем, что мозг их сотворивший (homosapience), по своей естественной внутренней логике оценивает, что видит. Тут начинаются столкновения. Причем даже на уровне классических логик. Смотрим, например, на неравенства Белла. Прилагаем их к микромиру и получаем еще нестыковки. И так далее. Меняем-модифицируем логику, проверяем на соответствие с встроенным в наш мозг императивом проверки на соответствие с наблюдаемым и не исключены дальнейшие нестыковки. Классическая и квантовые логики уже утвердились, живут бок о бок, но обе правы. Вопрос в применении и определении, что есть логика. "Беда" в том, что маломальски микроскопическиое изменение в правилах меняет глобальные логические выводы до неузнаваемости. Тот же Брауэр, метаматематика, квантовые логики, Белл, Sasaki hook и т.д. Логики в этом не найти, но процесс не остановим. Все живые существа, например, таракан, имеют врожденное любопытство. Оно таково, что просто по своей природе ищет противоречия, пока не найдет не успокоится, а потом пытается их разрешить. Одним словом вопроса в стартовом вопросе, грубо говоря, нет. Рутинная работа; логиков, биологов, физиков... и даже, быть может всяких философов. Вот вам еще нестыковка в связи с упоминавшимся копенгагеном. Любопытно, по крайней мере мне, оказалось, что среди компетентных в понимании КМ, придерживающихся ортодоксального понимания вовсе не подавляющее количество, а примерно 47%. Остальное - на всякие параллельные миры и сознания. Где логика? Нет и не будет. Мозг наш таков, что на selfreference обречен. Ну а когда получает десять согласующихся знаков для массы электрона или сидит в комфорте, рассуждая за квантовым монитором про свои твореня, тут уж окончательно победит банальная "логика" физиологического примата: мне легко, безопасно, удобно, приятно и т.д. Вот и весь ответ.

[grizzly]

Munin в сообщении #1200703 писал(а):

...
- нельзя складывать какое-то количество с собой сколько угодно раз: Вселенная конечна, или конечна та её часть, в которой мы можем действовать;
...
Но это, конечно, пока ещё не породило никакой "настоящей арифметики" или логики.

Породить такую арифметику совсем несложно -- за математиками не заржавело. Но готовы ли физики её использовать?

-- 25.03.2017, 11:49 --

Статья по ссылке выше продолжает обсуждение "О догмате натурального ряда".

[Munin]

grizzly в сообщении #1203325 писал(а):

Породить такую арифметику
совсем несложно -- за математиками не заржавело.

Я не сомневаюсь, что не сложно. Но я против слова "такую". Потому что какую именно - тут математикам надо не высасывать из пальца собственные мысли, а сначала пойти на поклон к естественникам (физикам и астрономам), и спросить у них, что должно быть в такой арифметике.

А от этого математики отвыкли. Две тысячи лет назад Архимед не чурался смотреть на окружающий мир. Двести лет назад Гаусс самолично занимался геодезической съёмкой. Вот он-то знал, что есть в реальности, и что нужно описать в математической теории. А нынешние математики - им только дай "породить", они и "породят"...