2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11  След.
 
 Re: Опять про элементарные функции
Сообщение06.03.2017, 08:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Munin, Я уже совсем не понимаю, что Вы предлагаете? Просто закрыть класс элементарных функций? Так не получится же, тогда придётся сжечь все учебники, задачники и написать новые, а зачем?
Ничего себе класс, замкнутый относительно арифметических действий и суперпозиции, состоит из непрерывных функций, достаточно богат, исторически сложился, ... И чего он Вам поперёк горла встал?

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять про элементарные функции
Сообщение06.03.2017, 09:40 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
Я не могу сказать, что хочет Munin, но по-моему он хочет примерно того же, чего хотел бы я. Я хотел бы, чтобы для начала разделение функций на элементарные и неэлементарные вообще перестало производиться. Чтобы термин "элементарная функция" вообще был забыт. Чтобы в учебниках вместо "таблицы производных элементарных функций" была "таблица производных некоторых функций". Тогда в следующем учебнике в таблицу может и добавят эллиптические интегралы или какие-нибудь ещё функции, которые сейчас туда не попадают из-за искусственного барьера. Я хотел бы, чтобы перестало создаваться впечатление, что все функции, кроме особо избранных — элементарных — сложные и непонятные. Чтобы при столкновении с функциями Бесселя или сферическими функциями или гамма-функцией или теми же эллиптическими интегралами студент не испытывал негатива, из-за того, что они неэлементарные. Чтобы мантра "интеграл не берётся в элеменарных функциях" была признана вредной и забыта (прокомментирую цитатой из классики по памяти: мы знаем, что эта задача не имеет решения, мы хотим знать как её решать).

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять про элементарные функции
Сообщение06.03.2017, 09:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Никакого подобного впечатления не создается и негатива не возникает. Проблема надумана. Если нужно привлечь специальные функции, их просто привлекают и работают с ними. А уж гамма-функцию так вообще знают и любят все.

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять про элементарные функции
Сообщение06.03.2017, 10:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4601
warlock66613 в сообщении #1197589 писал(а):
Чтобы в учебниках вместо "таблицы производных элементарных функций" была "таблица производных некоторых функций"

У меня тоже ощущение, что проблема надумана.
Когда я читал в учебнике "Таблица производных элементарных функций", я так и понимал её: "Таблица производных некоторых функций". Что к классу "элементарных функций" не нужно слишком серьёзно относиться, я, в общем, понимал всегда.
Также не вижу никаких "плясок с бубном" насчёт неберущихся интегралов. Понятно, что для некоторых интегралов можно получить явное аналитическое выражение имеющимися средствами, для некоторых нет. Я смутно припоминаю, что в учебнике были и теоремы (но без доказательства), что интегралы от таких-то функций неэлементарны, но эти теоремы были написаны мелким шрифтом и никакого акцента на них не было.

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять про элементарные функции
Сообщение06.03.2017, 10:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
warlock66613 в сообщении #1197589 писал(а):
Я хотел бы, чтобы для начала разделение функций на элементарные и неэлементарные вообще перестало производиться.
Очень странное требование. Выделение класса элементарных функций не может мешать использованию других функций. Наоборот, без такого выделения невозможно мотивировать введение специальных функций. Всегда будет стоять вопрос о возможности выразить вновь придуманную функцию через ранее известные.

Munin ранее предъявлял претензии по поводу того, что много времени уделяется методам интегрирования именно в элементарных функциях.
Здесь речь идёт об образовании. В тот момент, когда изучается техника интегрирования, учащиеся никаких функций, кроме элементарных, не знают, и их просто невозможно ввести. Но эта техника впоследствии работает и для неэлементарных функций.
Простой пример. В теории вероятностей и математической статистике часто встречаются функции $$\varphi(x)=\frac 1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}2}\text{ и }\Phi(x)=\int_0^x\limits\varphi(t)dt.$$ Вторая из них не элементарная, является первообразной первой и обычно называется функцией Лапласа. Имеем $\varphi'(x)=-x\varphi(x)$ и $\Phi'(x)=\varphi(x)$. Интегрируя по частям, получим $$\int\Phi(x)dx=x\Phi(x)-\int x\,d\Phi(x)=x\Phi(x)-\int x\varphi(x)dx=x\Phi(x)+\varphi(x)+C.$$
warlock66613 в сообщении #1197589 писал(а):
Тогда в следующем учебнике в таблицу может и добавят эллиптические интегралы или какие-нибудь ещё функции, которые сейчас туда не попадают из-за искусственного барьера.
Гарантированно не добавят, поскольку в момент изучения этой таблицы никаких "эллиптических интегралов или каких-нибудь ещё функций" не будет. А когда студенты (или уже не студенты), изучив предварительно дифференциальное и интегральное исчисление, возьмутся за теорию "эллиптических интегралов или каких-нибудь ещё функций", никто не помешает им изучить и соответствующие формулы.

Не забывайте также о том, что всяких "специальных" функций неизмеримо больше, чем основных элементарных, и если их все засунуть в таблицы производных и интегралов, то эти таблицы будет невозможно запомнить. Не говоря уже о том, что бóльшая часть этих таблиц будет состоять из непонятных сочетаний символов.

warlock66613 в сообщении #1197589 писал(а):
Я хотел бы, чтобы перестало создаваться впечатление, что все функции, кроме особо избранных — элементарных — сложные и непонятные.
На самом деле, если мы начнём вводить неэлементарные функции слишком рано, то ситуация будет ещё хуже. Эти функции действительно имеют более сложное происхождение, чем элементарные, и требуют более развитого математического аппарата. А элементарные функции изучаются ещё на школьной скамье и к моменту изучения дифференциального и интегрального исчисления являются вполне привычными (по крайней мере, для хороших школьников и студентов).

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять про элементарные функции
Сообщение06.03.2017, 14:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
bot в сообщении #1197578 писал(а):
Munin, Я уже совсем не понимаю, что Вы предлагаете? Просто закрыть класс элементарных функций? Так не получится же, тогда придётся сжечь все учебники, задачники и написать новые, а зачем?

Ну что вы, в учебниках и задачниках останется много чего, что сжигать не надо.

Просто не надо раздувать такую важность из "неберущихся интегралов". Вместо этого, надо по-человечески сказать, что вот этот интегральчик мы назовём буковкой $K,$ а вон тот - буковкой $\mathrm{erf}.$ Вот, мол, в седьмом классе вы тоже нечто новое для себя называли буковками $\sin$ и $\ln,$ и ничего, мозг не взорвался.

Потренироваться брать интегралы, которые "берущиеся", тоже стоит. Это важный навык.

warlock66613
+1.

Про "задачу, не имеющую решения" - я боюсь, речь шла о чём-то более хитром. Ну да, вообще, цитата хорошая, и в жизни пригождается много где.

ex-math в сообщении #1197591 писал(а):
А уж гамма-функцию так вообще знают и любят все.

Одна из наименее нужных функций. В теории струн только и нужна.

Основные функции - это "урматфизический" букет: Лежандр, Эрмит, Бессель, Эйри и их ближайшие родственники и знакомые.

Mikhail_K в сообщении #1197598 писал(а):
Когда я читал в учебнике "Таблица производных элементарных функций", я так и понимал её: "Таблица производных некоторых функций".

Ну вот это понимают далеко не все и не всегда. И преподаватели часто этому пониманию мешают. Как даже в этой теме было продемонстрировано.

-- 06.03.2017 14:20:51 --

Someone в сообщении #1197599 писал(а):
Munin ранее предъявлял претензии по поводу того, что много времени уделяется методам интегрирования именно в элементарных функциях.

Вот это ПРЯМАЯ ЛОЖЬ.

Напротив, я считаю навыки интегрирования одними из важнейших, которые нужно тренировать специалистам, "применяющим математику на практике": физикам и техникам.

Someone в сообщении #1197599 писал(а):
Наоборот, без такого выделения невозможно мотивировать введение специальных функций. Всегда будет стоять вопрос о возможности выразить вновь придуманную функцию через ранее известные.

"Специальные функции" ничем не специальные. Да, такой вопрос будет стоять. Но во-первых, он легко решается безо всякого "класса элементарных функций" (и может иметь решение типа "функцию $f$ можно выразить через $g,$ а функцию $g$ можно выразить через $f$"), а во-вторых, не падайте со стула, он вообще может не играть практической роли!

Пример - мои любимые присоединённые полиномы Лежандра, которые выражаются через полиномы от тригонометрических функций, но это вообще мало кому интересно (кроме ручного построения графика), а интересны их ортогональность и полнота, связь друг с другом, и тому подобные вещи.

Someone в сообщении #1197599 писал(а):
Гарантированно не добавят, поскольку в момент изучения этой таблицы никаких "эллиптических интегралов или каких-нибудь ещё функций" не будет. А когда студенты (или уже не студенты), изучив предварительно дифференциальное и интегральное исчисление, возьмутся за теорию "эллиптических интегралов или каких-нибудь ещё функций", никто не помешает им изучить и соответствующие формулы.

Это всё из серии "вредительское построение курса преподавания математики" вообще. Разумеется, в момент изучения таблицы интегралов, студентам просто необходимо сказать, что "вот это функция ошибок, вот это эллиптический интеграл, а вот это - функция Бесселя, не пугайтесь". Пусть они и не введены должным образом на этом этапе.

И вообще, с самого 7-го класса школы, всем студентам обязательно необходимо втолковывать, что функции бывают не только заданные формулой. Но и рядом, и кусочно, и всякими другими способами. (Не говоря уже про функции, существование которых доказано, а вот конструктивного способа построения не указано, но уж этим пусть математики развлекаются - на практике это не нужно.)

Someone в сообщении #1197599 писал(а):
Не забывайте также о том, что всяких "специальных" функций неизмеримо больше, чем основных элементарных, и если их все засунуть в таблицы производных и интегралов, то эти таблицы будет невозможно запомнить.

А запоминать всё - и не надо. Надо устранить границу между "таблица" и "вне таблицы".

Разумеется, Градштейна-Рыжика надо попросту держать под рукой, и всё. Благо, что в электронном виде это не кирпич на пять килограммов, и не является библиографической редкостью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять про элементарные функции
Сообщение06.03.2017, 14:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Munin в сообщении #1197629 писал(а):
Someone в сообщении #1197599 писал(а):
Munin ранее предъявлял претензии по поводу того, что много времени уделяется методам интегрирования именно в элементарных функциях.

Вот это ПРЯМАЯ ЛОЖЬ.
Простите, но эту ветку обсуждения трудно было понять иначе (выделено мной):
grizzly в сообщении #1197108 писал(а):
Anton_Peplov в сообщении #1197105 писал(а):
Ну, если не считать, что половину практических занятий по матану они тренируются брать интегралы от элементарных функций в элементарных функциях.
Чтобы это делать не обязательно вводить понятие элементарной функции.
    Munin в сообщении #1197132 писал(а):
    Вообще-то обязательно. Потому что про некоторые интегралы говорится, что они "не берутся". И вокруг этой неберущести куча танцев с бубном и завываний.
(Это я просто объясняю, откуда растут недоразумения -- я не призываю начинать снова ходить по кругу.)
((Пользуясь случаем, признаю, что прозвучал один голос в Вашу поддержку :))

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять про элементарные функции
Сообщение06.03.2017, 15:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Да, сформулировано было плохо. Признаю. Ну, надеюсь, я уточнил, что брать интегралы - умение полезное.

Не полезным, с моей точки зрения, является мистификация "неберущихся интегралов". И искусственное разграничение тех, которые берутся в элементарных, от тех, которые нет. Это разграничение касается исключительно учебных примеров в момент обучения.

Кроме того, хорошо бы сразу сказать, что делать с "неберущимися". Ряды, оценки сверху и снизу, аппроксимации, численные методы - хотя бы, чтобы эти слова уже звучали в тот момент, когда студенты знакомятся с первым же "неберущимся интегралом". Пусть и с комментариями, что "толком вам это расскажут позже... или самим доучиваться придётся".

Хорошо бы, конечно, этому учить. Но это большое изменение программы. Я себе представляю степень косности.

grizzly в сообщении #1197640 писал(а):
((Пользуясь случаем, признаю, что прозвучал один голос в Вашу поддержку :))

Более чем один.

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять про элементарные функции
Сообщение07.03.2017, 09:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
Munin в сообщении #1197629 писал(а):
Просто не надо раздувать такую важность из "неберущихся интегралов"

А кто раздувает? Вот Чебышев, к примеру, диф. биномом раздувал? По-мне так - просто естественный научный интерес.
Вы бы на его месте не заинтересовались?

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять про элементарные функции
Сообщение07.03.2017, 09:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Munin, операции интегрирования и дифференцирования - взаимно обратные. Так почему же производная любой элементарной функции - элементарна, а первообразная - не всегда элементарна? Разве это не мистика и не заговор Высших Сил против интегрирования? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять про элементарные функции
Сообщение07.03.2017, 10:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #1197629 писал(а):
в момент изучения таблицы интегралов, студентам просто необходимо сказать, что "вот это функция ошибок, вот это эллиптический интеграл, а вот это - функция Бесселя, не пугайтесь".

Сказать можно, только они не услышат. Как и Вы не слышите, что Вам говорят:

Munin в сообщении #1197629 писал(а):
Someone в сообщении #1197599 писал(а):
Гарантированно не добавят, поскольку в момент изучения этой таблицы никаких "эллиптических интегралов или каких-нибудь ещё функций" не будет.

Вам кажется, что любая произнесённая фраза даёт некоторую новую информацию. Это наивно. Без предварительной мотивации можно говорить какие угодно слова -- и всё вхолостую. Про синус в момент изучения интегралов знают все, и знают, зачем этот синус нужен. Про ошибки и даже про эллипсы не знает никто; естественно, всё это будет пропущено мимо ушей.

А вот противоположный (отчасти) случай:

Munin в сообщении #1197629 писал(а):
ex-math в сообщении #1197591 писал(а):
А уж гамма-функцию так вообще знают и любят все.
Одна из наименее нужных функций. В теории струн только и нужна.

Если не считать того, что гамма-функция встречается в 90 эдак процентах формул, существующих в мире. Вы напрасно думаете, что любимый Вами Бессель сочинял свои функции только ради теории струн. (ну, что именно он создавал эту теорию -- можете считать, если хотите...)

То, что к таблице интегралов гамма-функция отношения всё-таки тоже не может иметь -- вопрос другой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять про элементарные функции
Сообщение07.03.2017, 10:23 


05/09/16
11461
Поскольку существует вольфрам альфа и подобные софты, я считаю что дрючить студентов десятками-сотнями интегралов каждым методом -- тут по частям, тут подстановкой и т.п., потеря времени. Сами методы конечно преподавать надо, но вот эти "большие домашние задания" с под сотню интегралов -- лишнее. Когда вольфрам альфы не было, может это и было полезно но тоже на мой взгляд не особо.

Вот лично мой опыт такой. Уже после окончания ада со взятием интегралов, надо было что-то посчитать практически, я уже не помню что (но точно из электродинамики, с краевыми эффектами и всем таким), кажется коэффициент отражения если приставить срезанный коаксиальный кабель к поверхности (то ли влажность дерева хотели так мерить, то ли толщину краски нанесенной на металл). Ну не суть. В общем, никаких элементарных функций не вышло. Вышли бессели. Времена были примерно ДВК-2 и IBM PC XT, так что пришлось брать книжку Дьяконова и программировать на бейсике...

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять про элементарные функции
Сообщение07.03.2017, 10:27 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1197778 писал(а):
Времена были примерно ДВК-2 и IBM PC XT, так что пришлось брать книжку Дьяконова и программировать на бейсике...

А зачем?... К этим временам уже вполне был себе паскаль, и если на ДВК ещё довольно медленный (он там интерпретировался), то на XT -- уже очень даже шустренький.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение07.03.2017, 10:32 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Вопросы преподавания»
Причина переноса: перестала соответствовать исходному разделу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Опять про элементарные функции
Сообщение07.03.2017, 11:00 


05/09/16
11461
ewert в сообщении #1197779 писал(а):
А зачем?... К этим временам уже вполне был себе паскаль

До турбо-паскаля (с турбо-вижен) тоже дело доходило на XT машинах, но на бейсике было как-то удобней, что ли.

ewert в сообщении #1197779 писал(а):
и если на ДВК ещё довольно медленный (он там интерпретировался)
Да нет, вполне себе компилировался. То ли орегон, то ли парагон в общем какой-то "-gon software", Паскаль->Макро11->исполняемый файл под RT-11 (.sav кажись).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 159 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group