Аксиомы метрики и метрические пространства

[Dan B-Yallay]

Anton_Peplov в сообщении #1161763 писал(а):

Никогда бы не додумался до такого толкования. Пойти на курсы герменевтики, что ли...

Либо Вам на герменевтику, либо мне курсы русского.

[svv]

Если любая функция, которая удовлетворяет аксиомам, уже метрика, то какая из них настоящая метрика, по которой вычисляется расстояние? Надо выбрать одну функцию (ну, две, даже три, но всё-таки выбрать) и сказать: это — метрика. Другие, может, тоже хороши, но метрика — эта.

[Anton_Peplov]

grizzly в сообщении #1161766 писал(а):

Вы наверняка много раз сталкивались с подобным контекстом употребления "может", считая его само собой разумеющимся.

В таком случае "пришельцы память стерли". Ну вот хоть бейте, даже представить себе не могу, чтобы считал такое словоупотребление само собой разумеющимся. Ну ладно, тема не о моих когнитивных особенностях, поэтому прекращаю оффтоп.

Brukvalub в сообщении #1161767 писал(а):

Кстати, достаточно доказать, что любая функция, равная нулю в нуле, положительная для положительных аргументов и удовлетворяющая для таких аргументов условию $f(x+y) \le f(x)+f(y)$ превращает метрику снова в метрику, а затем проверить эти условия для предложенной в задаче функции.

Я какое-то время назад тоже озаботился вопросом, какие легко проверяемые условия достаточно наложить на функцию одной переменной $f(t)$, чтобы для метрики $\rho(x, y)$ функция двух переменных $f(\rho(x, y))$ тоже была метрикой. Условие $f(t_1+t_2) \le f(t_1)+f(t_2)$ ведь не всегда просто проверить. Получилось, что достаточно взять всюду возрастающую выпуклую вверх функцию с $f(0) = 0$.

[matemat]

Ой! Так ведь и знал, какой то подвох!
Мне, как и Anton_Peplov пришла первоначальная мысль предъявить пример такой метрики, которая может быть записана в виде данного выражения.
Научите меня рассуждать, пожалуйста, как вы это делаете. Обращаюсь к Dan B-Yallay и Brukvalub.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1161773 писал(а):

Ну вот хоть бейте, даже представить себе не могу, чтобы считал такое словоупотребление само собой разумеющимся.

- А ты не помнишь, кто из нас летит?
- Положись на меня. Пойдём простым логических ходом. Ты летишь в Ленинград?
- Нет
- И я нет. Павел может лететь в Ленинград?
- Может
- А Женя?
- Тоже может
- Они оба могут...

[Brukvalub]

Подождем с уроками, поскольку крепнет у меня убеждение, что "Чудно! Батьков казачок, а выходит дело, засланный…"

[Dan B-Yallay]

matemat в сообщении #1161774 писал(а):

Научите меня рассуждать, пожалуйста, как вы это делаете.

Тут никаких трюков нет, чтобы им Вас учить. Решайте побольше задач и не упускайте деталей, вот и всё. Я сам зачастую читаю условия и понимаю их неверно, потому что внимание рассеяно.

[matemat]

Dan B-Yallay в сообщении #1161778 писал(а):

matemat в сообщении #1161774 писал(а):

Научите меня рассуждать, пожалуйста, как вы это делаете.

Тут никаких трюков нет, чтобы им Вас учить. Решайте побольше задач и не упускайте деталей, вот и всё. Я сам зачастую читаю условия и понимаю их неверно, потому что внимание рассеяно.

Есть небольшой трюк. Он заключается в субъективном понимании или восприятии задачи, условий. Точнее в умении сходу правильно вникнуть в задачу, подойти с правильной стороны. Вот видите, одна задача, а нас тут много -- школьники, студенты, преподаватели ... Понимание (первоначальное) у каждого может быть разное.

Спасибо за совет и помощь! Но вопрос еще скорее в том, где искать ответы. Задачи такого уровня (не школьные) как правило даются без решений, чтобы можно было решить а потом свериться, где не так, если ошибся. Я не могу заниматься самопроверкой, это будет совсем не объективно, а риск допустить ошибку высокий.

[Dan B-Yallay]

matemat в сообщении #1161783 писал(а):

Понимание (первоначальное) у каждого может быть разное.

Это у Вас от того, что только начали знакомиться с материалом. Вы начните решать задачки, а уж кто-нибудь из знающих поможет с трактовкой условий.
Глядишь и опыт наберется и понимание придёт.

[mihaild]

(Оффтоп)

Dan B-Yallay написал некоторый текст. Может ли этот текст быть постом на dxdy?

matemat в сообщении #1161714 писал(а):

Но там тоже надо решать задачи, чтобы появилась уверенность.

Там понятие доказательства сводится к чисто синтаксическим манипуляциям, и очень тщательно изучаются эти манипуляции. (потом конечно это изучение выбрасывается, т.к. все "интуитивно допустимые" манипуляции оказываются допустимыми; но это один из способов сформировать интуицию).

В задачах "такого уровня" можно поначалу просто формально расписывать определения, и опять же сводить к алгебраическим (в основном) преобразованиям. Ошибку тут можно сделать только при переписывании. Если вы беспокоитесь о том, что можете переписать неправильно - это бывает, но вряд ли тут можно чем-то помочь.

[Someone]

matemat в сообщении #1161707 писал(а):

Но нам дали решать только 6 задач для закрепления, как я думаю, основных понятий по метрическим пространствам. Ответов нет. В Сканави ответы были, можно было сверить с тем, что сам нарешал :)

Э-э-э… Ну, допустим, Вы как-то доказали то, что требуется, а потом посмотрели в ответ и увидели, что там доказательство другое. И что? Следует ли из этого несовпадения, что ваше доказательство неправильное?

Спор насчёт "может быть метрикой" и "является метрикой" мне непонятен. По определению всякая функция, удовлетворяющая аксиомам метрики, является метрикой (возможно, не той, которая нам нужна). Тот факт, что она не совпадает с какой-то "особенной" метрикой (например, заданной ранее) ничего не означает. Ситуации, когда на одном и том же множестве используется более одной метрики, не являются исключительными.
Хотя для меня интересной формулировкой задачи была бы "доказать, что получается метрика, эквивалентная исходной".

Anton_Peplov в сообщении #1161763 писал(а):

Хм. Никогда бы не додумался до такого толкования. Пойти на курсы герменевтики, что ли...

Я чувствую, что мне придётся составить Вам компанию.

[grizzly]

Someone в сообщении #1161823 писал(а):

Спор насчёт "может быть метрикой" и "является метрикой" мне непонятен.

Я попытаюсь объяснить.

Вот оригинальная задача:

matemat в сообщении #1161745 писал(а):

Пусть $(X, \rho)$ - некоторое метрическое пространство. Определим новую функцию $\hat{\rho}(x,y)$ выражением: $\hat{\rho}(x,y) = \rho(x,y) / (1+\rho(x,y))$. Доказать, что $\hat{\rho}$ может быть метрикой в $X$ и что $0 \leqslant \hat{\rho} < 1$.

Вот, как её поняли ТС и Anton_Peplov (пусть меня поправят, если я ошибаюсь):

Понимание 1 писал(а):

Пусть $(X, \rho)$ - некоторое метрическое пространство. Определим новую функцию $\hat{\rho}(x,y)$ выражением: $\hat{\rho}(x,y) = \rho(x,y) / (1+\rho(x,y))$. Доказать, что можно подобрать такую метрику $\rho $, что $\hat{\rho}$ также будет метрикой в $X$ и что $0 \leqslant \hat{\rho} < 1$.

Вот правильное на мой взгляд понимание:

Понимание 2 писал(а):

Пусть $(X, \rho)$ - некоторое метрическое пространство. Определим новую функцию $\hat{\rho}(x,y)$ выражением: $\hat{\rho}(x,y) = \rho(x,y) / (1+\rho(x,y))$. Доказать, что $\hat{\rho}$ может рассматриваться в качестве метрики в $X$ и что $0 \leqslant \hat{\rho} < 1$.

И здесь вопрос не в герменевтике, имхо, а в том, что пространство и метрика уже даны и фиксированы в начале условия задачи.

[Dan B-Yallay]

Пока катал обьяснение, grizzly опередил.
Причём изложил намного изящнee.

[Someone]

grizzly в сообщении #1161830 писал(а):

И здесь вопрос не в герменевтике, имхо, а в том, что пространство и метрика уже даны и фиксированы в начале условия задачи.

Нет, без герменевтики я не пойму разницы между "может рассматриваться в качестве метрики" и "является метрикой".

grizzly в сообщении #1161830 писал(а):

Вот оригинальная задача:

grizzly в сообщении #1161830 писал(а):

пространство и метрика уже даны и фиксированы в начале условия задачи

В таком случае я задачу истолковал бы так: требуется доказать, что $\hat\rho$ является метрикой, и что эта метрика эквивалентна метрике $\rho$ и ограничена (конкретно — единицей). Необходимость иметь такую метрику, кстати, часто возникает. Например, при определении метрики на произведении счётного множества метрических пространств. В таком случае решение задачи не закончено, поскольку об эквивалентности двух метрик ничего не сказано.

[mihaild]

grizzly в сообщении #1161830 писал(а):

может рассматриваться в качестве метрики

А что значит "$X$ может рассматриваться в качестве $Y$", и чем это отличается от "$X$ является $Y$"?

Представьте, что вопрос ставится как "может ли $\rho$ быть метрикой"? Мне кажется, что ответ тут "да, может, доказательство: $\ldots$". Задача "доказать, что может" отличается от "может ли" тем, что положительный ответ уже дан, осталось привести доказательство.

Someone в сообщении #1161835 писал(а):

эта метрика эквивалентна метрике $\rho$

А экивалентность-то откуда взялась? Можно же еще кучу свойств пары метрик придумать, почему бы тогда и их не подоказывать?