Аксиомы метрики и метрические пространства

[matemat]

Здравствуйте!

Пытаюсь решать задачи, связанные с метрикой, но как-то туго идет. Хотя мне немного понятно на интуитивном уровне, а выразить строго не получается. Хотел бы вашей помощи. Если не против, можно я буду выкладывать сюда некоторые задачи и идеи решения. А те кто разбирается в теме (думаю, что таких тут много), если вам не лень, проверьте пожалуйста и дайте кое-какие соображения или указания для правильного хода решения.

Есть такая задача:
Пусть $X$ - некоторое множество. Для $x,y \in X$ определим функцию $\rho$, такую, что $\rho(x,x)=0$ и $\rho(x,y)= 1$ для $\forall x \ne y$. Доказать, что $(X, \rho)$ - метрическое пространство.

Проверим аксиомы метрики:
1) Очевидно, что $\rho(x,y)=0$, тогда и только тогда, когда $x = y$. В данном случае выполняется по условию $\rho(x,x)=0$.
2) Проверим симметричность. Очевидно, что она есть, так как по условию третьего не дано. Либо $\rho(x,y)=0$, когда $x = y$, либо $\rho(x,y)= 1$ для $x \ne y$. Следовательно и $\rho(y,x)= 1$.
3) Неравенство треугольника. $\rho(x,y) = 1 \leqslant \rho(x,z) + \rho(y,z) = 1 + 1$.

Не знаю правильно ли я делаю? Беспокоюсь! Есть небольшая неуверенность. Нужно двигаться дальше по предмету, а я застрял тут на аксиомах метрики. Это самое начало.

Научите меня, плиз!

[Someone]

Правильно.

matemat в сообщении #1161698 писал(а):

Научите меня, плиз!

Решайте задачи. Когда решите много — научитесь.

[matemat]

Окей! Спасибо за поддержку! То есть хотите сказать, что когда решу много - неуверенность исчезнет?
Хотя решал я в школе много задач и перед поступлением в университет много. Прорешал практически весь задачник Сканави. И что? Неуверенность до сих пор осталась. Или хотите сказать что по этой теме нужно много решать? Но нам дали решать только 6 задач для закрепления, как я думаю, основных понятий по метрическим пространствам. Ответов нет. В Сканави ответы были, можно было сверить с тем, что сам нарешал :)

Кстати, простите, это ведь не всё. В остальных задачах я тоже не уверен. Можно их вам показать?

[mihaild]

matemat в сообщении #1161698 писал(а):

3) Неравенство треугольника. $\rho(x,y) = 1 \leqslant \rho(x,z) + \rho(y,z) = 1 + 1$.

Тут формально надо рассмотреть случаи совпадения/несовпадения $x, y, z$ в разных комбинациях.

Чтобы уменьшить неуверенность - можно попробовать изучить логику (как вообще устроены доказательства). Но это вряд ли хороший путь, если вам сейчас нужно учить анализ.

[matemat]

mihaild в сообщении #1161709 писал(а):

Тут формально надо рассмотреть случаи совпадения/несовпадения $x, y, z$ в разных комбинациях.

Пусть $x=y=z, x=y \ne z, x \ne y=z, x \ne y \ne z$, тогда соответственно: $0 = 0 + 0, 0 < 1 + 1, 1 = 1 + 0, 1 < 1 + 1$.

-- 21.10.2016, 20:22 --

mihaild в сообщении #1161709 писал(а):

Чтобы уменьшить неуверенность - можно попробовать изучить логику (как вообще устроены доказательства). Но это вряд ли хороший путь, если вам сейчас нужно учить анализ.

Это должен быть какой-то отдельный предмет? Но там тоже надо решать задачи, чтобы появилась уверенность. Элементы математической логики я проходил.
Дело в том, что, как вы верно заметили, мне нужно упирать на анализ, а на занятиях я не был, не ходил. Конспектов с примерами нет. Приходится разбираться самостоятельно по учебнику. Примеров очень мало.

[matemat]

Задача 2
Пусть $(X, \rho)$ - некоторое метрическое пространство. Определим новую функцию $\hat{\rho}(x,y)$ выражением: $\hat{\rho}(x,y) = \rho(x,y) / (1+\rho(x,y))$. Доказать, что $\hat{\rho}$ может быть метрикой в $X$ и что $0 \leqslant \hat{\rho} < 1$.

Возьмем метрику $\rho$ из первой задачи и проверим аксиомы для $\hat{\rho}$ :
1) Тождественность. $\hat{\rho}(x,y) = 0$ тогда и только тогда, когда числитель $\hat{\rho}$ равен нулю. $\hat{\rho}(x,y) = \rho(x,x) / (1+\rho(x,x)) = 0$, то есть $x=y$.
2) Симметричность $\hat{\rho}(x,y) = \rho(x,y) / (1+\rho(x,y)) = 1/2 = \rho(y,x) / (1+\rho(y,x)) = \hat{\rho}(y,x)$
3) Неравенство треугольника проверяется аналогично первой задаче. Получаем: $0 = 0, 0 < 1/2 + 1/2, 1/2 = 1/2 + 0, 1/2 < 1/2 + 1/2$
Все выполняется.
$\hat{\rho} < 1$ следует из дроби $\rho(x,y) / (1+\rho(x,y))$ для $\forall x,y$.

[arseniiv]

А надо доказать в общем случае.

-- Сб окт 22, 2016 00:22:01 --

Хотя, конечно, хорошо, что вы проверили на примере. В общем случае это может подсказать ход доказательства или показать, что утверждение неверно.

[Anton_Peplov]

arseniiv в сообщении #1161747 писал(а):

А надо доказать в общем случае.

Хм. Там вопрос

matemat в сообщении #1161745 писал(а):

Доказать, что $\hat{\rho}$ может быть метрикой в $X$

а не "является метрикой". Т.е. показать, что существует такая $\rho$, что $\hat \rho$ - тоже метрика.

[arseniiv]

Ничего не знаю, я щас передоказал (помнится, как-то что-то такое доказывали на функане), что в любом.

Нет, не передоказал. Но это, кажется, всё-таки было верно. Ну разумеется.

Нет, уже всё-таки доказал.

[Brukvalub]

Anton_Peplov в сообщении #1161756 писал(а):

показать, что существует такая $\rho$, что $\hat \rho$ - тоже метрика.

Это была бы вдрызг глупая задача потому, что дискретная метрика превращается в новую метрику любой функцией, которая равна нулю в нуле и положительна в единице.

[Dan B-Yallay]

Anton_Peplov в сообщении #1161756 писал(а):

а не "является метрикой".

потому что

matemat в сообщении #1161745 писал(а):

Пусть $(X, \rho)$ - некоторое метрическое пространство.

То есть на пространстве уже задана некая метрика. Всё остальное только "может быть метрикой" если мы примем.

[Anton_Peplov]

Brukvalub в сообщении #1161761 писал(а):

Это была бы вдрызг глупая задача

Согласен. Но ничего не могу сделать с тем, что слова "может быть" читаются как квантор существования, а как квантор всеобщности читаются слова "должна быть". Я, наверное, излишне дисциплинирован. Или ленив. Ну вот сказано в условии - копать от забора до обеда. Обед наступил.

Dan B-Yallay в сообщении #1161762 писал(а):

То есть на пространстве уже задана некая метрика. Всё остальное только "может быть метрикой" если мы примем.

Хм. Никогда бы не додумался до такого толкования. Пойти на курсы герменевтики, что ли...

[Dan B-Yallay]

Если бы в условии стояло "докажите, что $\hat\rho$ является метрикой", тогда необходимо было бы доказывать, что $\hat\rho$ совпадает с $\rho$.
Так как этого не наблюдается, то $\hat\rho$ только "может быть" метрикой на $X$.

[grizzly]

Dan B-Yallay прав, конечно.
Anton_Peplov, Вы наверняка много раз сталкивались с подобным контекстом употребления "может", считая его само собой разумеющимся.

[Brukvalub]

Кстати, достаточно доказать, что любая функция, равная нулю в нуле, положительная и монотонно возрастающая для положительных аргументов и удовлетворяющая для таких аргументов условию $f(x+y) \le f(x)+f(y)$ превращает метрику снова в метрику, а затем проверить эти условия для предложенной в задаче функции.