Аксиомы метрики и метрические пространства

[Someone]

mihaild в сообщении #1161836 писал(а):

Someone в сообщении #1161835 писал(а):

эта метрика эквивалентна метрике $\rho$

А экивалентность-то откуда взялась? Можно же еще кучу свойств пары метрик придумать, почему бы тогда и их не подоказывать?

Эквивалентность метрик — это стандартное свойство, означающее, что они определяют одну и ту же топологию. В частности, в обсуждаемой задаче метрики $\rho$ и $\hat\rho$ определяют одну и ту же топологию. При этом эквивалентность метрик определяется в терминах самих метрик, без упоминания топологии.

[ewert]

Someone в сообщении #1161859 писал(а):

Эквивалентность метрик — это стандартное свойство

Оно конечно, но к вопросу присоединяюсь. Зачем доказывать то, что не запрашивалось?

Словосочетание "может быть метрикой" в условии, конечно, звучит неприлично.

Brukvalub в сообщении #1161767 писал(а):

удовлетворяющая для таких аргументов условию $f(x+y) \le f(x)+f(y)$

Проще сказать, что функция выпукла вверх. Формально это более сильное требование, но в данном случае эквивалентное, а выглядит нагляднее.

[grizzly]

mihaild в сообщении #1161836 писал(а):

grizzly в сообщении #1161830 писал(а):

может рассматриваться в качестве метрики

А что значит "$X$ может рассматриваться в качестве $Y$", и чем это отличается от "$X$ является $Y$"?

Я попытаюсь объяснить: это вопрос не ко мне. Неужели выше не видно, что именно в моём понимании (Понимание 2) это одно и то же (upd. в контексте данной задачи)?!

Ещё раз:
Я считаю, что Понимание 1 ошибочно не по соображениям герменевтики, а в силу неправильного обращения с кванторами при рассуждении.

[matemat]

grizzly в сообщении #1161830 писал(а):

Вот оригинальная задача:
matemat в сообщении #1161745

писал(а):
Пусть $(X, \rho)$ - некоторое метрическое пространство. Определим новую функцию $\hat{\rho}(x,y)$ выражением: $\hat{\rho}(x,y) = \rho(x,y) / (1+\rho(x,y))$. Доказать, что $\hat{\rho}$ может быть метрикой в $X$ и что $0 \leqslant \hat{\rho} < 1$. Вот, как её поняли ТС и Anton_Peplov (пусть меня поправят, если я ошибаюсь):
Понимание 1
писал(а):
Пусть $(X, \rho)$ - некоторое метрическое пространство. Определим новую функцию $\hat{\rho}(x,y)$ выражением: $\hat{\rho}(x,y) = \rho(x,y) / (1+\rho(x,y))$. Доказать, что можно подобрать такую метрику $\rho $, что $\hat{\rho}$ также будет метрикой в $X$ и что $0 \leqslant \hat{\rho} < 1$.

Когда я прочитал условия задачи, то первой мыслью было привести общее доказательство. Но не сообразил и решил ограничиться примером.
По вашим постам понимаю, что это жуть. Ну ладно, пойдем огородами:
1) Заметим, что выражение $\hat{\rho}(x,y)=0 \Leftrightarrow \rho(x,y)=0$, а это возможно только тогда, когда $x=y$, так как по условию $\rho(x,y)$ - метрика. Следовательно $\hat{\rho}(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$. Тождественность присутствует.
2) Проверим, что $\hat{\rho}(x,y) = \hat{\rho}(y,x)$. Запишем это так:

$\rho(x,y)(1+\rho(y,x))=\rho(y,x)(1+\rho(x,y))$
$\rho(x,y)+ \rho(x,y)\rho(y,x)-\rho(y,x)-\rho(y,x)\rho(x,y)=0$
$\rho(x,y)=\rho(y,x)$.

3) Проверим неравенство $\hat{\rho}(x,y) \leqslant \hat{\rho}(x,z)+\hat{\rho}(y,z)$: $\frac{\rho(x,y)}{1+\rho(x,y)} \leqslant \frac{\rho(x,z)}{1+\rho(x,z)} + \frac{\rho(y,z)}{1+\rho(y,z)}$. После преобразований получим: $\rho(x,y) \leqslant \rho(x,z)+ \rho(y,z) + 2\rho(x,z)\rho(y,z)+\rho(x,z)\rho(y,z)\rho(x,y)$ и очевидно, что неравенство треугольника сохраняется.

[Someone]

ewert в сообщении #1161866 писал(а):

Зачем доказывать то, что не запрашивалось?

Совершенно незачем. Я сначала и не предлагал. Но потом начали настойчиво обращать моё внимание на то, что "является" и "может рассматриваться" существенно отличаются, потому что, дескать, одна метрика уже задана… Но тогда, как минимум, надо доказывать, что новая метрика эквивалентна первоначально заданной, и потому замена одной на другую сходимость последовательностей и непрерывность функций не испортит.

Но тут опять возникают некоторые нюансы.

matemat в сообщении #1161745 писал(а):

Пусть $(X, \rho)$ - некоторое метрическое пространство. Определим новую функцию $\hat{\rho}(x,y)$ выражением: $\hat{\rho}(x,y) = \rho(x,y) / (1+\rho(x,y))$. Доказать, что $\hat{\rho}$ может быть метрикой в $X$ и что $0 \leqslant \hat{\rho} < 1$.

Если у нас имеется метрическое пространство $X$ с метрикой $\rho$, и нам предлагается доказать, что некоторая функция $\hat\rho$ также является метрикой в пространстве $X$, то эквивалентность надо доказывать.

Для разрешения вопроса надо, чтобы matemat написал, было ли сформулировано определение эквивалентных метрик. Если не было, то доказывать не надо, придётся списать всё на неаккуратную формулировку задачи. Если же понятие эквивалентности метрик было определено, то придётся доказывать.

[matemat]

Someone в сообщении #1161874 писал(а):

было ли сформулировано определение эквивалентных метрик.

Нет.

[ewert]

matemat в сообщении #1161873 писал(а):

Проверим, что $\hat{\rho}(x,y) = \hat{\rho}(y,x)$. Запишем это так:

Это какая-то нелепость. Зачем записывать "так", если из $\rho(x,y)=\rho(y,x)$ тупо следует $\frac{\rho(x,y)}{1+\rho(x,y)}=\frac{\rho(y,x)}{1+\rho(y,x)}$ ?

matemat в сообщении #1161873 писал(а):

После преобразований получим: $\rho(x,y) \leqslant \rho(x,z)+ \rho(y,z) + 2\rho(x,z)\rho(y,z)+\rho(x,z)\rho(y,z)\rho(x,y)$ и очевидно, что неравенство треугольника сохраняется.

Верно, но изложено так, что совершенно не видна логика (видимо, Вас спровоцировала безграмотность самой формулировки задачи). Следует чётко указывать, что из чего следует.

-- Сб окт 22, 2016 12:54:04 --

Someone в сообщении #1161874 писал(а):

начали настойчиво обращать моё внимание на то, что "является" и "может рассматриваться" существенно отличаются, потому что, дескать, одна метрика уже задана…

Они действительно существенно отличаются. Наличие слова "может" однозначно подразумевает, что "может и не". Задана ли ещё какая-либо метрика -- никакого значения при этом не имеет. Следовало сказать просто "является метрикой" или "тоже задаёт метрику".

Someone в сообщении #1161874 писал(а):

Но тогда, как минимум, надо доказывать, что новая метрика эквивалентна первоначально заданной

Ни разу не надо, поскольку ни о каких сходимостях и речи не шло.

[grizzly]

(mihaild, коллеги)

Похоже, что я где-то "передёрнул" в процессе. Но я не нарочно -- мотивация была искренней и не беспочвенной. Если что, мои извинения.

[Anton_Peplov]

(Господа)

Если несколько человек, привыкших читать математические тексты, разошлись во мнении, как понимать условие, это уже означает, что условие сформулировано неоднозначно (независимо от того, что каждому из нас показалось, будто наше прочтение единственно возможное). Спор, кто лучше понял неоднозначную формулировку, не стоит выеденного яйца. Продолжать его стоит только если получаешь от него удовольствие.

[Dan B-Yallay]

(Давайте я попробую поставить точку,)

раз уж первым к обсуждаемому различию обратился я здесь.

Someone в сообщении #1161874 писал(а):

Но потом начали настойчиво обращать моё внимание на то, что "является" и "может рассматриваться" существенно отличаются, потому что, дескать, одна метрика уже задана …

Уважаемый Someone, согласны ли Вы с тем, что в поставленной задачe 2 надо доказать следующее:

$\bullet \ \ \hat\rho\ $ является метрикой в $X$, потому, что удовлетворяет аксиомам при данной $\rho$

Если "да", то Ваше понимание задачи ровно какое же, как у меня и других участников.
По каким-то соображениям, (a может статься, что просто даже не задумывался об этом) составитель задачи использовал не cлово "является", а оборот "может быть". Что стало аргументом к появлению такой трактовки:

post1161756.html#p1161756

Согласны ли Вы с ней? Если "нет", то вопрос исчерпан. Если "да", то я уже пас и пойду попью чай.

Далее уже возникает второстепенный вопрос: почему автор задачника не использовал слово "является"? Вот тут и возникло обьяснение: "во избежание какой-либо потенциальной путаницы, ибо в условии задачи на пространстве метрика уже есть". В данном обьяснении ни о каком принципиальном различии речи не идёт, на что и указывал grizzly:

grizzly в сообщении #1161868 писал(а):

Неужели выше не видно, что именно в моём понимании (Понимание 2) это одно и то же (upd. в контексте данной задачи)?!

[matemat]

Я уже боюсь что-то здесь написать. Споры возникают по этому поводу не хилые, а у меня еще есть задачи. А потом вдруг модераторы обвинят меня! Что мне делать?

Я исходил только из лучшего. Хотел решить задачу, а не горячо подискуссировать. Я даже не обращал внимание (после ваших бесед стал задумываться!), что автор задачи имел ввиду под фразой "может быть метрика" и принялся сразу проверять свойства новой метрики. Загвоздка была в том, что я не сообразил как мне проверить свойства в общем случае. Теперь вот разобрался. Спасибо вам!

[Someone]

Dan B-Yallay в сообщении #1161911 писал(а):

Уважаемый Someone, согласны ли Вы с тем, что в поставленной задачe 2
надо доказать следующее:

$\bullet \ \ \hat\rho\ $ является метрикой в $X$, потому, что удовлетворяет аксиомам при данной $\rho$

Абсолютно согласен.

Dan B-Yallay в сообщении #1161911 писал(а):

По каким-то соображениям, (a может статься, что просто даже не задумывался об этом) составитель задачи использовал не cлово "является", а оборот "может быть". Что стало аргументом к появлению такой трактовки:
post1161756.html#p1161756

Согласны ли Вы с ней?

Не согласен.

matemat в сообщении #1161875 писал(а):

Someone в сообщении #1161874 писал(а):

было ли сформулировано определение эквивалентных метрик.

Нет.

Следовательно, эквивалентность метрик не обсуждаем.

matemat в сообщении #1161916 писал(а):

Я уже боюсь что-то здесь написать.

Не бойтесь. Но, вообще-то, предпочтительно, чтобы в теме обсуждалась только одна задача.

matemat в сообщении #1161916 писал(а):

Споры возникают по этому поводу не хилые

Споры вызваны кривой формулировкой, которую, при желании, можно истолковать по-разному. А ещё есть просто любители поспорить (не буду тыкать пальцем). Не обращайте внимания. Лично Вам эти споры ничем не грозят, кроме того, что о Вас могут вообще забыть. Если, конечно, не вмешается модератор с указанием, что эти споры здесь не к месту.

matemat в сообщении #1161916 писал(а):

у меня еще есть задачи

Открывайте новую тему и излагайте.

[mihaild]

Someone, вопрос был, почему надо смотреть именно на эквивалентность метрик, а не на любое другое свойство пары метрик.

Все: я соглашусь с теми, кто говорит, что "может ли $f(x)$ быть $Y$" гораздо больше похоже на "существует ли такой $x$", чем на верно ли это для всех $x$". Но кажется самый здравый подход действительно признать формулировку плохой, и дальше не копать.


matemat, вашей вины тут точно нет - вам просто попался не самый удачный учебник, а куча умных людей решила поиграть в игру "угадай, что задумал автор".

[arseniiv]

matemat в сообщении #1161916 писал(а):

А потом вдруг модераторы обвинят меня!

Ну чего вы так про модераторов — они сначала разбираются, а потом банят, а не в обратной последовательности. Можно спокойно игнорировать всё, что в тегах оффтопа, по определению.

[Someone]

mihaild в сообщении #1161960 писал(а):

вопрос был, почему надо смотреть именно на эквивалентность метрик, а не на любое другое свойство пары метрик.

Если не считать эквивалентности метрик и ещё двух-трёх свойств, тесно с ней связанных, то какие-либо свойства пары метрик на одном множестве встречаются чрезвычайно редко. Я даже не помню, встречалось ли мне что-нибудь. Эквивалентность же метрик означает в точности совпадение порождаемых ими топологий. То есть, если Вы по какой-либо причине захотите заменить метрику метрического пространства, сохранив при этом множества сходящихся последовательностей и непрерывных функций, то Вы тут же наткнётесь на эквивалентность метрик.

А задача топикстартера в книгах Келли, Энгелькинга, а также в имеющемся в сети конспекте лекций Мищенко формулируется с явным или неявным упоминанием эквивалентности, которую предлагается проверить. И, разумеется, со словом "является", а не "может быть".