Действительные числа (задачи из Давидовича)

[irod]

Продолжаю прорешивать задачи из книжки Давидовича и ко http://www.mccme.ru/free-books/57/davidovich.pdf.
В этой теме делаю листки 6-8 по действительным числам, и наверное здесь же будет листок 9.
Прошу уважаемых форумчан проверить мои доказательства, как и в моих предыдущих темах.

1. $((a+b)+c)+d = a+(b+(c+d))$

Доказательство.
Используем аксиому 2 (ассоциативность):

$$ ((a+b)+c)+d = $$

$$ (a+(b+c))+d = $$

$$ a+((b+c)+d) = $$

$$ a+(b+(c+d)). $$

2. В $\mathbb{F}$ существует лишь один ноль.

Доказательство.
Пусть в $\mathbb{F}$ существуют два ноля, т.е. $\forall a \in \mathbb{F}$:
\begin{equation*} \begin{cases} a+0=a \\ a+0'=a \end{cases} \end{equation*}
Но тогда, взяв каждый из этих нолей в качестве $a$ и используя коммутативность, имеем $0=0+0'=0'+0=0'$.


3. Для каждого $x$ в $\mathbb{F}$ существует лишь один противоположный элемент.

Доказательство.
Пусть $\forall x \in \mathbb{F}$ существуют два противоположных элемента:
\begin{equation*} \begin{cases} x+(-x)=0 \\ x+(-x)'=0 \end{cases} \end{equation*}
Отсюда следует, что

$$ x+(-x) = x+(-x)'. $$

Добавим к обеим частям этого равенства $-x$:
\begin{align*} (x+(-x))+(-x) = (x+(-x)')+(-x) & \Leftrightarrow & \text{(ассоциативность)} \\ (x+(-x))+(-x) = x+((-x)'+(-x)) & \Leftrightarrow & \text{(коммутативность)} \\ (x+(-x))+(-x) = x+((-x)+(-x)') & \Leftrightarrow & \text{(ассоциативность)} \\ (x+(-x))+(-x) = (x+(-x))+(-x)' & \Leftrightarrow & \text{(аксиома 4)} \\ 0+(-x) = 0+(-x)' & \Leftrightarrow & \text{(аксиома 3)} \\ -x = (-x)'. && \end{align*}

[svv]

В 3 пусть у $x$ два противоположных элемента, обозначу их для краткости $y$ и $y'$. Рассмотрите $(y+x)+y'=y+(x+y')$. Может, Вы так примерно и делали, я не разбирался.

[grizzly]

irod в сообщении #1127038 писал(а):

Пусть $\forall x \in \mathbb{F}$ существуют два противоположных элемента

Здесь, надеюсь, досадная описка?

[grizzly]

irod
Думаю, тут лучше сразу объяснить суть замечания. Ваше доказательство не обрамлено никакими общими рассуждениями, позволяющими понять основную идею самого доказательства. Просто есть набор формул, который приводит к некоторому результату, а вывод должен сделать читатель. Такой стиль может, наверное , быть хорош для статьи в журнале, но не для решения учебных заданий.

Разбор полёта:
С самого начала Вы пытаетесь построить прямое доказательство, а не рассуждать от противного. Не лучший выбор, имхо, но пусть. Но Вы сразу говорите: "Пусть существует 2 противоположных элемента" и при отсутствии обрамляющих рассуждений невозможно понять, то ли Вы решили рассмотреть частный случай, то ли из множества всех возможных противоположных элементов выбрали произвольных два. Пока нет ничего страшного -- обрамляющие рассуждения можно привести в конце доказательства. Но и там их нет. (А если честно, я действительно думаю, что Вы забыли рассмотреть случай 150 противоположных элементов.) Подобного рода неполное рассуждение в другой ситуации может привести к ошибочному выводу.

[Slow]

irod в сообщении #1127038 писал(а):

Пусть $\forall x \in \mathbb{F}$ существуют два противоположных элемента:

Не для всех.

[SomePupil]

grizzly, Вы в целом правы, но зачем тут "обрамляющие рассуждения"? Просто поменять один квантор и сменить выражение "пусть существует $2$ противоположных элемента" на более гибкое. Или я что-то понял не так в Ваших словах?

[grizzly]

SomePupil в сообщении #1127127 писал(а):

Или я что-то понял не так в Ваших словах?

В данном случае Вы идёте по самому простому пути -- предлагаете заменить доказательство ТС на другое, получше (никак не объясняя, чем оно лучше). Я же преследую другие цели (методологические) -- проникнуться логикой доказательства ТС; сделать в пределах этой логики замечания общего характера (в каком-то смысле это прививка культуры доказательства); и только после всего этого подвести к мысли, что "доказательство от противного" будет удобнее вести с самого начала, чем притянуть его за уши в конце рассуждения.

-- 30.05.2016, 12:23 --

PS. И да, это всё здесь вырвано из контекста длительного диалога с ТС в предыдущих темах.

[irod]

Slow в сообщении #1127120 писал(а):

irod в сообщении #1127038 писал(а):

Пусть $\forall x \in \mathbb{F}$ существуют два противоположных элемента:

Не для всех.

Хм. В Давидовиче никаких оговорок на этот счет не вижу, но могу предположить что ноль является тут исключением. Это так? Я всегда думал что противоположным к нолю является ноль.
grizzly ок, я понял Ваши замечания. Вот новое доказательство, с учетом предложения svv.

irod в сообщении #1127038 писал(а):

3. Для каждого $x$ в $\mathbb{F}$ существует лишь один противоположный элемент.

Пусть у произвольного $x \in \mathbb{F}$ более чем один противоположный элемент. Рассмотрим из всего множества противоположных $x$ элементов два произвольных элемента, обозначим их $y$ и $y'$.
Используя ассоциативность, выведем и рассмотрим равенство:
\begin{align*} (y+x)+y' = y+(x+y') & \Leftrightarrow & \text{(коммутативность)} \\ y'+(x+y) = y+(x+y') & \Leftrightarrow & \text{(аксиома 4)} \\ y'+0 = y+0 & \Leftrightarrow & \text{(аксиома 3)} \\ y' = y. && \end{align*}
Отсюда следует, что все противоположные $x$ элементы равны друг другу, и значит для $x$ существует лишь один уникальный противоположный элемент.

[Someone]

irod в сообщении #1127265 писал(а):

Пусть у произвольного $x \in \mathbb{F}$

Пусть у некоторого…

[arseniiv]

irod в сообщении #1127265 писал(а):

Я всегда думал что противоположным к нолю является ноль.

Но $0\cdot0 = 0\ne1$, так что нет. По той же причине и всё остальное из поля противоположным к нулю быть не может.

[grizzly]

irod
Замечательно -- Вам удалось корректно и красиво построить прямое доказательство. На этот раз я сомневался в целесообразности (и даже справедливости) своих придирок, но первое Вы мне точно развеяли

-- 30.05.2016, 19:12 --

Someone в сообщении #1127273 писал(а):

Пусть у некоторого…

Разве? здесь ведь не строится рассуждение от противного. Берём произвольный элемент и доказываем, что все его противоположные равны между собой.

-- 30.05.2016, 19:16 --

arseniiv в сообщении #1127277 писал(а):

По той же причине и всё остальное из поля противоположным к нулю быть не может.

Существование противоположного для любого элемента Давидович вводит аксиомой.

[gefest_md]

irod в сообщении #1127265 писал(а):

Пусть у произвольного $x \in \mathbb{F}$ более чем один противоположный элемент

Эта фраза в начале кажется избыточной. Вы не пришли к заключению "не более чем один".

[arseniiv]

grizzly в сообщении #1127279 писал(а):

Существование противоположного для любого элемента Давидович вводит аксиомой.

Если для совсем любого, то если имеется и аксиома $0\ne1$, получится противоречивая теория.

-- Пн май 30, 2016 21:48:13 --

Ой, ой, я спутал противоположный с обратным, побейте.

-- Пн май 30, 2016 21:48:36 --

И, главное, везде же плюсы, как так можно было.

[Someone]

grizzly в сообщении #1127279 писал(а):

Разве? здесь ведь не строится рассуждение от противного.

irod в сообщении #1127265 писал(а):

Пусть у произвольного $x \in \mathbb{F}$ более чем один противоположный элемент.

Явное доказательство от противного. Я далее не буду писать $\in\mathbb F$.
Поскольку доказывается утверждение "каждый элемент имеет единственный противоположный", доказательство от противного начинается с предположения "пусть некоторый элемент $x$ имеет более одного противоположного элемента", которое является отрицанием того, что хотим доказать. Берутся два различных противоположных элемента $y$ и $y'$, и показывается, что $y=y'$, что противоречит исходному предположению. Стало быть, это предположение неверно, то есть, для всех $x$ противоположный элемент является единственным.

Если без "противного", то должно быть так. Пусть $x$ — любой элемент, $y$ и $y'$ — любые его противоположные элементы (не предполагаем, что они различные). Показываем, что $y=y'$, откуда делаем вывод, что все противоположные элементы равны друг другу, то есть, он один.

[irod]

gefest_md в сообщении #1127294 писал(а):

irod в сообщении #1127265 писал(а):

Пусть у произвольного $x \in \mathbb{F}$ более чем один противоположный элемент

Эта фраза в начале кажется избыточной. Вы не пришли к заключению "не более чем один".

А к какому же тогда я пришел заключению?

irod в сообщении #1127265 писал(а):

для $x$ существует лишь один уникальный противоположный элемент.

-- 30.05.2016, 21:49 --

4. Элемент, противоположный сумме, есть сумма элементов, противоположных каждому слагаемому.

Доказательство.
Пойдем в обратную сторону: покажем что $\forall a,b \in \mathbb{F}$ сумма их противоположных элементов $-a$ и $-b$ является обратным элементом к сумме $a$ и $b$:
\begin{align*} (a+b)+((-a)+(-b)) & = & \text{(запись в виде разности)} \\ (a+b)+(-a-b) & = & \text{(коммутативность)} \\ (a+b)+(-b-a) & = & \text{(ассоциативность)} \\ a+(b+(-b-a)) & = & \text{(ассоциативность)} \\ a+((b-b)-a) & = & \text{(аксиома 4)} \\ a+(0-a) & = & \text{(коммутативность)} \\ a+(-a+0) & = & \text{(аксиома 3)} \\ a-a & = 0. & \text{(аксиома 4)} \\ \end{align*}
Следовательно, по аксиоме 4, элемент $(-a)+(-b)$ является противоположным к элементу $a+b$.