Красное смещение и свет далёкой звезды

[Dmitriy40]

Munin в сообщении #1122382 писал(а):

- современная работа системы GPS (и её аналогов, например, ГЛОНАСС) - непрерывный эксперимент того же типа;

Чтобы добить скептиков, GPS и аналоги подтверждают не только СТО, но и ОТО! О чём часто забывают упомянуть и оставляют лазейку для спекуляций.

[Munin]

Dmitriy40 в сообщении #1122401 писал(а):

Чтобы добить скептиков, GPS и аналоги подтверждают не только СТО, но и ОТО!

Не перегружайте "скептикам" мозги! :-)

(Никакие они не скептики. Скептицизм - это когда в чём-то сомневаешься по результатам собственного размышления. А тут - просто носится невежество в воздухе, они его и подхватывают, как вирус гриппа.)

[rustot]

Plotnik в сообщении #1122367 писал(а):

Давайте договоримся, что время абсолютно, а как всё это "видится" каждому объекту будем пересчитывать. Ведь из "видится" следует идея, что время течёт по-разному? Экспериментов по разному старению близнецов, по-моему, нет.

Мы не можем договориться что время абсолютно если уже практически известно что это не так. Мы можем ввести только для собственного удобства описания некое условное общее время, не равное собственному времени тел. Но ввести его можно как угодно

Есть такое заблуждение, что в сто это проделано так хитро, чтобы "казалось" что появились всякие необычные эффекты, а введи общее время как то по другому и все это исчезнет. Но все ровно наоборот, это способ описания подгоняли под наиболее логичное и последовательное описание эффектов и никуда они при другом способе описания не исчезнут. При других способах описания они станут только "выпуклее", в сто как раз отличия от классического описания минимальны. Можно все описать вообще без систем отсчета, исключительно перечислением показаний конкретных материальных приборов, ничего не изменится.

Эксперимент по старению близнецов, если его проводить, будет преследовать чисто демонстрационные цели, будет проделан для обывателей. Его результат уже заранее известен из менее затратных (но и менее понятных для обывателя) экспериментов, это будет не настоящим научным экспериментом, результата которого будут с нетерпением ждать ученые для его обработки, а просто научно-популярным шоу

[Plotnik]

rustot в сообщении #1122452 писал(а):

...Эксперимент по старению близнецов, если его проводить, будет преследовать чисто демонстрационные цели, будет проделан для обывателей...

Я не могу, естественно, всерьёз спорить с профессионалами. Просто прошу дать по возможности простые объяснения. Вот с близнецами ситуация выглядит симметричной. Если один улетает, то с точки его зрения второй улетает в противоположном направлении. Для первого второй должен состариться больше, для второго - первый. Мне, обывателю, что думать? Может, я не вижу какой-то асимметрии в данном случае?
Или в случае одного пространственного измерения, когда к неподвижной средней точке справа и слева сходятся две точки. В ИСО правой точки мировая линия средней наклонена вправо, а в ИСО левой - влево. А мне говорят, что мировая линия не зависит от системы отсчёта.

[Munin]

Plotnik в сообщении #1122657 писал(а):

Просто прошу дать по возможности простые объяснения.

Они и так простые.

Но всё-таки требуют приложения усилий с вашей стороны.

Ещё проще - нельзя. Это уже будут не объяснения, а обман.

Plotnik в сообщении #1122657 писал(а):

Вот с близнецами ситуация выглядит симметричной.

Нет.

Кроме того, вам пока рано лезть в близнецов. Вам это уже много раз повторили.

Вы нарочно отклоняетесь от того пути, который вам рекомендуют, который на самом деле ведёт к пониманию?

Plotnik в сообщении #1122657 писал(а):

Мне, обывателю, что думать?

Вам, обывателю, - слушать, что вам говорят!!!

[rustot]

Plotnik в сообщении #1122657 писал(а):

Вот с близнецами ситуация выглядит симметричной. Если один улетает, то с точки его зрения второй улетает в противоположном направлении. Для первого второй должен состариться больше, для второго - первый.

Да, если никто не меняет скорость то ситуация симметрична, по сравнению с координатным временем одной исо часы первого более замедленны сильнее чем часы второго, а относительно координатного времени другой исо часы второго замедленны сильнее, а относительно третьей одинаковы. В этом нет ничего "парадоксального", вам же не кажется парадоксом например что относительно одной исо больше модуль скорости первого а относительно другой исо больше модуль скорости второго. Просто разные исо по разному "разлинованы" координатными линиями, в том числе и временной координаты.

А вот при ускоренном движении тел может сложиться ситуация когда во всех без исключения исо окажется что собственного времени одного тела прошло больше чем собственного времени другого тела. На разную величину больше в разных исо, но во всех именно больше, то есть в этом нет какого-то "жульничества" в плане того что мы выбором исо получим вообще какой угодно результат какой пожелаем, есть абсолютные соотношения которые уже от этого выбора не зависят. Есть пары событий которые могут поменяться местами в плане раньше/позже при выборе способа описания с помощью той или иной исо, но есть и такие которые поменяться не могут.

Plotnik в сообщении #1122657 писал(а):

Или в случае одного пространственного измерения, когда к неподвижной средней точке справа и слева сходятся две точки. В ИСО правой точки мировая линия средней наклонена вправо, а в ИСО левой - влево. А мне говорят, что мировая линия не зависит от системы отсчёта

ну вот шестеренка она сама по себе, самодостаточна. однако рисунок ее проекций на три плоскости будет зависеть от выбора этих плоскостей. так "зависит" форма шестеренки от выбора этих плоскостей или от этого зависит только ее описание с помощью этих плоскостей?

[Dmitriy40]

Plotnik в сообщении #1122657 писал(а):

Вот с близнецами ситуация выглядит симметричной.

Симметричной она была бы если два близнеца каждый на своей ракете разлетаются абсолютно одинаковым образом, и потом также абсолютно одинаково слетаются обратно до встречи. В этом случае они будут одного возраста.
А когда лишь один из близнецов меняет свою скорость (ускоряется, а главное потом разворачивается) - симметрии между ними НЕТ. Ведь разворачивается лишь один из близнецов! Именно забывчивость указания отсутствия симметрии между близнецами и вводит в подобные заблуждения.

[Cos(x-pi/2)]

С изумлением взираю на муки Plotnik-а, который уже почти полтора года (!) топчется на месте с одними и теми же элементарными вопросами. Такое топтание на месте - замечательная иллюстрация бесплодности философских (т.е. чисто словесных - без вычислений) "рассуждений" в физике!

А ведь Plotnik мог бы легко разрешить эти вопросы для себя буквально за один-два вечера, если бы, следуя неоднократным советам, взялся за учебник и выполнил хотя бы простейшие вычислительные примеры, затем начертив себе соответствующие графические пояснения на "картах" пространства-времени (например, как это у нас уже обсуждалось хотя бы в этой ветке или в другой ветке (с другим "скептиком")).

О близнецах учебные картинки на форуме тоже были не один раз нарисованы; вот, например, такую картинку я рисовал (для другого "скептика"; цитирую отсюда, а то жалко, что пропадает картинка ):

<< пусть есть, для примера, четыре близнеца; один из них (Антон) всё время движется инерциально, так что можно считать его покоящимся относительно некоторой исо (назовём её ИСО-А). В момент времени $t_1$ по часам Антона остальные три близнеца разлетаются от Антона в разные стороны с разными скоростями (обозначим это событие как мировую точку P1).>> Буква P здесь выбрана просто от слова "Point" - точка. << Для простоты здесь рассматриваем только одномерное движение. Через десять лет по часам Антона все четыре товарища снова встретились (событие P2). На рисунке показаны конкретные частные примеры мировых линий близнецов (графики движения), и приведена табличка со значениями интервала времени между разлётом и встречей товарищей по их собственным часам:



Подчеркну, что значения интервалов собственного времени $\Delta \tau$ не зависят от выбора системы отсчёта. Т.е., относительно какой-нибудь другой системы отсчёта наш Антон будет выглядеть движущимся (и графики движения остальных близнецов тоже изменятся), но численные значения $\Delta \tau$ получатся теми же. >>

(P.S. На этой картинке для простоты численного расчёта интервалов собственных времён показаны нереально большие ускорения "участников полётов" (т.е. скорость изменяется резко - мировые линии имеют "изломы"). Более реальны мировые линии с плавными участками вместо изломов; но тогда для точного расчёта интервалов собственных времён придётся вычислять интегралы численными методами, а старые числа, указанные в табличке, останутся лишь на правах приближённых ответов.)

[Plotnik]

Munin в сообщении #1122670 писал(а):

Вы нарочно отклоняетесь от того пути, который вам рекомендуют, который на самом деле ведёт к пониманию?

Я пытаюсь отладить свои представления, чтобы уверенней идти по этому пути.

rustot в сообщении #1122675 писал(а):

1. Да, если никто не меняет скорость то ситуация симметрична, по сравнению с координатным временем одной исо часы первого более замедленны сильнее чем часы второго, а относительно координатного времени другой исо часы второго замедленны сильнее, а относительно третьей одинаковы....
2. ...ну вот шестеренка она сама по себе, самодостаточна. однако рисунок ее проекций на три плоскости будет зависеть от выбора этих плоскостей. так "зависит" форма шестеренки от выбора этих плоскостей или от этого зависит только ее описание с помощью этих плоскостей?

1. Зачем Вы вводите третью ИСО?
2. По Вашей аналогии мировая линия средней точки самодостаточна(видимо, в своей собственной ИСО), а мировые линии(не проекции!) той же средней точки в ИСО правой и левой точек - это уже не мировые линии?

Dmitriy40 в сообщении #1122691 писал(а):

Симметричной она была бы если два близнеца каждый на своей ракете разлетаются абсолютно одинаковым образом............................А когда лишь один из близнецов меняет свою скорость..........

Чем хороша СТО? Тем, что можно взять и говорить от имени любой понравившейся ИСО. И тем "доказать" требуемую асимметрию.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1122704 писал(а):

1. ...Такое топтание на месте - замечательная иллюстрация бесплодности философских (т.е. чисто словесных - без вычислений) "рассуждений" в физике!
2. ...О близнецах учебные картинки на форуме тоже были не один раз нарисованы; вот, например, такую картинку я рисовал (для другого "скептика"; цитирую отсюда, а то жалко, что пропадает картинка ): ......

1. Никого не хотел бы обидеть, но Вы - лучший учитель для "скептиков" моего уровня и типа(если можно так сказать). Признаю "философскость" как серьёзный недостаток.
2. Давайте рассмотрим на Вашем рисунке линию Бориса(Б) в ИСО Антона(А). У неё есть точка излома, которая означает изменение скорости Бориса на противоположный(!) знак. Эта скорость в Вашем интеграле в подкоренном подынтегральном выражении стоит в квадрате, и(правда, я не большой "дока" в тождественности преобразований) изменение знака не сказывается на приросте значения интеграла. Возможно я достаточно коряво выразился в присутствии опытных математиков, но по моему мнению Ваш интеграл описывает случай, когда Борис и после точки излома линии продолжает удаляться от Антона с той же скоростью, а не возвращаться к нему.
Чтобы Вы меня не ругали за математику, рассмотрим наглядно моё утверждение. Разобьём линию Бориса на равные отрезки по концам которых он будет испускать сигналы. Поскольку Борис удаляется от Антона со сравнимой со световой скоростью, то каждый следующий сигнал(по линии до излома) будет, действительно, доходить до Антона с некоторым запозданием, чем предыдущий, и, действительно, до точки излома в восприятии Антона(в его ИСО) видимое время Бориса растянется, станет медленнее. После излома картина противоположная. В восприятии Антона каждый следующий сигнал от надвигающегося с около световой скоростью Бориса будет "прижиматься" к предыдущему(поскольку источник гонится за предыдущим сигналом в направлении Антона), и Антон воспримет всю цепь этих сигналов как сжатую, то есть, в ускоренном времени. Подытожу: при удалении время Бориса в глазах Антона замедленное, а при приближении в той же степени ускоренное. Следовательно, при встрече близнецы будут одного возраста. Причём, при любом движении(как у Вовы), плавности разворота, остановках(как у Гаврилы) - это тонкости интегрирования.

[rustot]

Plotnik в сообщении #1122771 писал(а):

Зачем Вы вводите третью ИСО?

В смысле "третью"? Их бесконечное множество, я просто наугад тыкнул пальцем в некоторые из них. Ни одна из них не "связана" с рассматриваемыми телами, у них нет никаких "своих" исо. Есть исо относительно которых у какого то из них часть времени скорость нулевая, но они ничем особым не примечательны чтобы рассматривать именно их

Plotnik в сообщении #1122771 писал(а):

По Вашей аналогии мировая линия средней точки самодостаточна(видимо, в своей собственной ИСО), а мировые линии(не проекции!) той же средней точки в ИСО правой и левой точек - это уже не мировые линии?

"в исо" это и есть в проекции. есть трехмерная шестеренка, ее можно изобразить на двумерных листах в двумерной проекции, на каждом листе по разному. точно так же и изображение мировой линии в координатах разных исо будет разным, а мировая линия как и шестеренка - одна

Plotnik в сообщении #1122771 писал(а):

Чем хороша СТО? Тем, что можно взять и говорить от имени любой понравившейся ИСО. И тем "доказать" требуемую асимметрию

Относительно ЛЮБОЙ исо будет асимметрия, поэтому то и можно брать любую. Но одну ИСО. Пытаться из двух исо слепить систему отсчета, досюда рассматриваем относительно одной исо, а начиная отсюда относительно другой - это соорудить неинерциальную систему отсчета, относительно которой все тела во вселенной неожиданно без действия всяких сил изменили скорость.

Plotnik в сообщении #1122771 писал(а):

После излома картина противоположная. В восприятии Антона каждый следующий сигнал от надвигающегося с около световой скоростью Бориса будет "прижиматься" к предыдущему(поскольку источник гонится за предыдущим сигналом в направлении Антона), и Антон воспримет всю цепь этих сигналов как сжатую, то есть, в ускоренном времени. Подытожу: при удалении время Бориса в глазах Антона замедленное, а при приближении в той же степени ускоренное. Следовательно, при встрече близнецы будут одного возраста. Причём, при любом движении(как у Вовы), плавности разворота, остановках(как у Гаврилы) - это тонкости интегрирования.

Вот только продолжительность этого "видится замедленным" и "видится ускоренным" у них будет разной. Тот из них кто развернулся - сразу же при этом начинает видеть другого приближающимся а его видеоизображение ускоренным, то есть он ровно половину времени от расставания до встречи видит замедленное видео и ровно половину ускоренное. Второй же видит видеокартинку ускоренной и замедленной ровно в тех же пропорциях, но разной продолжительности, долгое время видит картинку замедленной и короткое время ускоренной, ведь начинает он ее видеть ускоренной не когда его брат развернулся, а когда до него добралось изображение этого разворота

Скажем если первый удаляется со скоростью 0.8c а через 6 секунд по своим часам разворачивается и еще через 6 секунд встречается с братом, то для него прошло 12 секунд. Когда он удалялся он в течение 6 секунд видел по видеоканалу часы брата замедленными в три раза (то есть на них прошло 2 секунды), а когда возвращался - в течение 6 секунд ускоренными в 3 раза (то есть на них прошло 18 секунд), итого он всего видел за время путешествия 20 секунд прошедших на часах брата. Второй же брат видел первого удаляющимся в течение 18 секунд по своим часам и замедленные в три раза 6 секунд на видеоизображении брата, приближающимся же он его видел всего 2 секунды по своим часам и ускоренные в три раза 6 секунд на часах брата. Соотношения то 3 и 1/3 между своими часами и изображением чужих часов у братьев на этапах наблюдаемого удаления и наблюдаемого сближения одинаковое, тут полная симметрия, а вот продолжительность этих этапов разная и тому есть явная объективная причина

И один брат считает часы другого замедленными не потому-что он видит видеоизображение замедленным, а потому на сколько оно замедленно или ускоренно. "Должно" быть наблюдается замедленным в 1.8 раз при удалении и в 5 раз ускоренным при сближении при измеренных скоростях, а наблюдается замедленным в целых 3 раза и ускоренным лишь в 3 раза, значит он совершенно обоснованно считает часы брата идущими медленнее на 40%

То есть асимметрия тут объективная, "приборная", явно наблюдаемая без каких либо специфических соглашениях о том как наблюдаемое следует описывать. Значит эта асимметрия будет наблюдаться и при любом способе описания происходящего, в том числе при описании относительно какой либо исо.

[Geen]

Plotnik в сообщении #1122771 писал(а):

Подытожу: при удалении время Бориса в глазах Антона замедленное, а при приближении в той же степени ускоренное.

Какие основания заявлять что ускоренно в той же степени?
И уж тем более откуда берётся вывод, что времена будут одинаковые?

Я на велосипеде выезжаю на горку со скорость 10 км/ч, а съезжаю со скоростью 50 км/ч - какова средняя скорость на пути туда-обратно?

[Munin]

Plotnik в сообщении #1122771 писал(а):

Я пытаюсь отладить свои представления, чтобы уверенней идти по этому пути.

Увы, ваши самодеятельные попытки вам только вредят. Вы забегаете вперёд.

Plotnik в сообщении #1122771 писал(а):

Чем хороша СТО? Тем, что можно взять и говорить от имени любой понравившейся ИСО.

Вам пока рано рассуждать, чем хороша СТО. Честно.

Plotnik в сообщении #1122771 писал(а):

Возможно я достаточно коряво выразился в присутствии опытных математиков, но по моему мнению Ваш интеграл описывает случай, когда Борис и после точки излома линии продолжает удаляться от Антона с той же скоростью, а не возвращаться к нему.

Проблема не в том, что вы выражаетесь в присутствии опытных математиков. Проблема в том, что вы не думаете, ровно в том месте, где вы должны думать, причём сами. Не высказывать мнение, а думать.

Один и тот же интеграл (в смысле, одно и то же число в результате интегрирования) может описывать разные случаи.

Plotnik в сообщении #1122771 писал(а):

Поскольку Борис удаляется от Антона со сравнимой со световой скоростью, то каждый следующий сигнал(по линии до излома) будет, действительно, доходить до Антона с некоторым запозданием, чем предыдущий, и, действительно, до точки излома в восприятии Антона(в его ИСО) видимое время Бориса растянется, станет медленнее.

Вот только замедление времени - это не запоздание сигналов. Это другое явление. Это принципиально важно!

Замедление времени - это не запоздание сигналов.

И вам это говорили, но вы пропустили мимо ушей.

Именно в этом вред вашего непоследовательного метания от одного к другому.

-- 11.05.2016 13:16:59 --

Cos(x-pi/2)
У меня к вам просьба, если вам ещё доступно рисование на этой замечательной клетчатой бумаге.

Изобразите большим планом начальный участок линии Б и соответствено линии А.

Сделайте два рисунка:
- на первом, жирными точками отметьте моменты отсчёта собственных часов наблюдателя А и наблюдателя Б;
- на втором, жирными точками отметьте моменты отсчёта собственных часов наблюдателя Б, и пунктиром - радиосигналы от этих моментов, идущие до наблюдателя А.

Чтобы была ясно видна разница между замедлением времени Б в ИСО А, и замедлением сигналов, получаемых А.

[Dmitriy40]

Plotnik в сообщении #1122771 писал(а):

Чем хороша СТО? Тем, что можно взять и говорить от имени любой понравившейся ИСО. И тем "доказать" требуемую асимметрию.

Если она реально есть. Получить асимметрию там где её реально нет - нельзя, в любой ИСО. Как и наоборот, получить симметрию там где на самом деле всё несимметрично. Так что разницу собственных времён для таких близнецов не нивелировать выбором любой ИСО (т.е. в симметрию не превратить).
Ну и слово "доказать" тут не к месту, выбором ИСО ничего доказать нельзя, от такого выбора просто вообще ничего не изменится для самих объектов, изменятся лишь наши выкладки (числа в формулах), могут измениться некоторые результаты (например скорости объектов), но некоторые величины останутся ровно теми же (отношение возрастов близнецов к примеру).

Кроме того, если с неподвижным близнецом и можно связать ИСО, то вот с улетевшим и вернувшимся - НЕТ! Потому что в момент разворота у него движение не инерциальное (в любой ИСО) и значит ИСО к нему не привяжешь. Вот вам и асимметрия.

[casualvisitor]

Plotnik,
позвольте напомнить Вам разговор полуторагодовой давности: post950537.html#p950537. Вы разобрались со смыслом фразы "С точки зрения одной ИСО, в другой время замедляется"? В чем этот смысл? (Если захотите, можете уточнить саму эту фразу, но потом все же объясните, пожалуйста, ее точный смысл.)

Dmitriy40,
по поводу симметрии и асимметрии см. : post680926.html#p680926

[Cos(x-pi/2)]

Plotnik в сообщении #1122771 писал(а):

Давайте рассмотрим на Вашем рисунке линию Бориса(Б) в ИСО Антона(А).

(Давайте рассмотрим)

Ниже на рисунке, для ясности, стёрты прочие близнецы, а оставлены только прежние Антон (А) и Борис (Б). Обозначил там ещё событие "P3" - разворот Бориса обратно к Антону:



Интервал времени между событиями Р1 и Р3 по часам ИСО-А (т.е. интервал времени, отсчитываемый вдоль вертикальных прямых на координатной сетке "карты пространства-времени" ИСО-А), как видно из рисунка, равен пяти годам (ибо в указанных на рисунке единицах длины это пять световых лет):

$c\,\Delta t_{p3,p1}=ct_{p3}-ct_{p1}=5 \, \text{св. лет}$

При этом разность пространственных координат событий Р1 и Р3, отсчитываемых по линейкам ИСО-А вдоль горизонтальных прямых на координатной сетке "карты пространства-времени" ИСО-А, как видно из рисунка, есть:

$\Delta x_{p3,p1}=x_{p3}-x_{p1}=-3 \, \text{св. года}$

Мировая линия Бориса между событиями Р1 и Р3 на "карте ИСО-А" выглядит прямолинейной; в нашем одномерном примере это означает, что Борис на этом участке своей мировой линии двигался с постоянной скоростью относительно Антона, и, значит, легко найти здесь эту его скорость (можно сразу в долях от константы $c)$ просто-напросто разделив $\Delta x$ на $c \, \Delta t:$

$\dfrac{v}{c}=\dfrac{\Delta x_{p3,p1}}{c \, \Delta t_{p3,p1}} = -\dfrac{3}{5}$

Тот факт, что эта скорость получилась отрицательной, означает попросту, что Борис здесь движется в направлении, противоположном направлению оси $x:$ координата Бориса $x(t)$ на участке его мировой линии между событиями Р1 и Р3 убывает с ростом $t.$



Вычислим интервал собственного времени Бориса между Р1 и Р3. Раз скорость Бориса на данном участке постоянна, то и корень квадратный под знаком интеграла постоянен, и поэтому его можно вынести из-под интеграла; так что, на этом участке мировой линии Бориса интервал его собственного времени есть (записываю его в единицах длины):

$$c \, \Delta \tau_{p3,p1}=\sqrt {1-\left ( \frac{v}{c} \right )^2} \int_{t_{p1}}^{t_{p3}} c \, dt \, .$$

Интегрирование здесь, как видно, даёт:

$$\int_{t_{p1}}^{t_{p3}} c \, dt=ct_{p3}-ct_{p1}=c \, \Delta t_{p3,p1}=5 \, \text{св. лет} \, .$$

Корень квадратный тоже легко вычисляется:

$$\sqrt {1-\left ( \frac{v}{c} \right )^2}=\sqrt {1-\left ( -\frac{3}{5} \right )^2}=\sqrt {1- \frac{9}{25}}=\sqrt {\frac{16}{25}}=\frac{4}{5} \, .$$

Таким образом:

$$\Delta \tau_{p3,p1} = \frac{4}{5} \cdot \Delta t_{p3,p1} = 4 \, \text{года} \, .$$

Другими словами, представим себе, что Антон и Борис делают топором зарубки на дверях кают в своих космических кораблях: по одной зарубке через каждый прошедший год, отсчитанный по своим собственным часам после события Р1 (т.е. они стали отсчитывать года сразу после расставания; на рисунке выше каждое такое событие - появление ежегодной зарубки у Бориса и у Антона - изображено чёрной точкой на мировых линиях Бориса и Антона. Иными словами, точки это годовые "тики" их собственных часов). Тогда к моменту события Р3 у Бориса по его часам пройдёт 4 года, и он поставит у себя четвёртую зарубку.

Plotnik в сообщении #1122771 писал(а):

по моему мнению Ваш интеграл описывает случай, когда Борис и после точки излома линии продолжает удаляться от Антона с той же скоростью, а не возвращаться к нему.

Нет, это не так. В формулу с упомянутым интегралом входит скорость $v=\frac{dx}{dt},$ которая может быть хоть положительная, хоть отрицательная, т.е. тело Б может двигаться хоть "направо" хоть "налево" относительно ИСО-А, это не влияет на применимость формулы. Тот факт, что скорость входит в квадрате, означает просто, что собственное время Б одинаково будет отличаться от собственного времени А вне зависимости от того "направо" или "налево" по оси $x$ летит тело Б. Расстояние же до А вообще не входит в формулу (только скорость входит); т.е. тело Б может, например, с одной и той же скоростью приближаться к А, проскочить дальше, и затем удаляться от А; формула будет одинаково пригодна для всех этапов одномерного движения Б относительно ИСО-А.

Короче говоря, совершенно аналогично предыдущему вычисляется интервал собственного времени Бориса и на отрезке его мировой линии от события P3 к событию Р2, т.е. - от момента разворота к моменту встречи обоих близнецов. Разница лишь в том, что на этом участке координата Бориса $x(t)$ увеличивается, и поэтому его скорость положительная; как видно из рисунка, в долях от $c$ она составляет $v/c=3/5.$ Подчеркну ещё раз: в формулу для собственного времени скорость входит в квадрате, и поэтому знак скорости не влияет на ответ. Таким образом:

$$\Delta \tau_{p2,p3} = \frac{4}{5} \cdot \Delta t_{p2,p3} = 4 \, \text{года} \, .$$

Наконец, полный интервал собственного времени Бориса от момента расставания (событие Р1) до момента встречи (событие Р2) получаем просто как сумму интервалов на рассмотренных частях мировой линии Бориса, т.е.:

$$\Delta \tau_{p2,p1}=\Delta \tau_{p3,p1}+\Delta \tau_{p2,p3} = 4+4=8 \, \text{лет} \, .$$

Интервал собственного времени Антона вычисляется аналогично по той же общей формуле - через интеграл вдоль мировой линии Антона. В данном примере координата Антона $x(t)$ оставалась постоянной, так что скорость Антона в ИСО-A (т.е. относительно самого Антона) была постоянно равна нулю: $v=\frac{dx}{dt}=0.$ Поэтому корень квадратный в формуле для интервала собственного времени Антона равен единице, и интегрирование даёт простой ответ:

$$\int_{t_{p1}}^{t_{p2}} dt=t_{p2}-t_{p1}=\Delta t_{p2,p1}=10 \, \text{лет} \, .$$

Другими словами, встретившись, Борис и Антон сравнят количество сделанных ими зарубок и обнаружат, что за время полёта Борис сделал 8 ежегодных зарубок, а Антон сделал 10 ежегодных зарубок (при том, что оба близнеца пользовались одинаковыми экземплярами часов с календарями).

Кроме того, сделав очередную ежегодную зарубку, Борис ведь мог сразу нажимать кнопку передатчика и тем самым посылать Антону импульсный (короткий) радиосигнал.

Ниже на рисунке такие события - ежегодные посылки Борисом радио-импульсов - изображены красными точками на мировой линии Бориса. А мировые линии радио-импульсов показаны красными прямыми - они наклонены к горизонтали и к вертикали на "карте" пространства-времени под одним и тем же углом, т.е. таким линиям соответствует скорость $\frac{dx}{dt}$ движения радио-импульса точно равная $c$ (точно равная $1$, если говорить о скорости в долях от константы $c.)$



Видно, что к моменту встречи Антон получает 8 "ежегодных сигналов Бориса" (восьмой сигнал отправляется Борисом и приходит к Антону практически в момент встречи: событие P2).

Антон замечает также, что интервалы времени (по часам Антона) между принятыми сигналами среди первых четырёх сигналов и последних четырёх сильно различаются, и не совпадают с интервалом в один год по его собственным часам. "Это эффект Доплера!" - догадывается вдумчивый Антон, и узнаёт тем самым, что поначалу Борис постоянно удалялся от Антона, а затем Борис развернулся и стал с постоянной скоростью приближаться.

Munin в сообщении #1122784 писал(а):

Изобразите большим планом начальный участок линии Б и соответствено линии А.

К моменту, когда я увидел Ваше пожелание, рисунки были уже готовы; переделывать не стал... Если они мелковаты, то можно скачать рисунки и увеличить; вроде, нормально будет видно.