Бесконечный спуск для произвольных натуральных УФ

[ishhan]

lasta в сообщении #1117303 писал(а):

В этом случае невозможно утверждать, что новая тройка квадратов будет обладать теми же свойствами, что и исходная. А сохранение свойств главное в бесконечном спуске.

Уважаемый lasta!
Рассмотрим случай соседних кубов.
Положим $c-b=1$, $c-a=9(3^{3m})$, $a+b=2^{3k}$
Тогда $f=3^{m+1}2^k$.
Делаем первый шаг разделив $f$ на $2^k$ получим то, что новая степень не является степенью составного числа.
Таким образом свойство исходной тройки чисел изменяется.

[lasta]

ishhan в сообщении #1117320 писал(а):

Положим $c-b=1$, $c-a=9(3^{3m})$, $a+b=2^{3k}$
Тогда $f=3^{m+1}2^k$.
Делаем первый шаг разделив $f$ на $2^k$ получим то, что новая степень не является степенью составного числа.
Таким образом свойство исходной тройки чисел изменяется.

Уважаемый ishhan! Это очень интересный вопрос. Он может увести нас на путь доказательства частного случая, что $a+b$ не может быть степенью простого числа, и этот случай рассмотрен в ВТФ. Но именно этот случай поможет понять логический вывод о существовании новой тройки чисел. У нас предполагаемое доказательство для всех случаев ВТФ.
Итак, мы получили новую $f^p_n$ степень, которая не является составной. С помощью этой степени мы получили число $V_{nb}$, имеющее статус новой разности степеней. Степень $f_n^p$ сыграла свою роль.Теперь самый важный момент. Новую разность степеней $V_{nb}=a_2^p$ представим в виде суммы меньшей разности степеней $a_2^p-f^p_{n_1}$ и степени $f^p_{n_1}$. То есть $V_{nb}=[a_2^p-f^p_{n_1}]+f^p_{n_1}$, где $1<f^p_{n_1}<a^p_2$. Имеем право выбора $f^p_{n_1}$. Как это было сделано в начале доказательства, когда мы выбрали $f^p=(a+b-c)^p$. Так и в данный момент, когда доказано, что существует новая разность степеней, а следовательно и существуют степени $b_n^p, c_n^p$, мы выбираем $f_{n_1}^p=(a_2+b_n-c_n)^p$. Вот эта степень и будет составной. Об этом уже было сообщение.

lasta в сообщении #1116585 писал(а):

Логически, не алгебраическими преобразованиями получаем новую тройку чисел $(a_2 , b_n ,c_n )$. Получаем новую $E_n=0$ и соответственно получаем новую $f_{n_1}^p$ уже на основе новой тройки чисел $(a_2,b_n,c_n)$. Эта новая степень отличается от $f_n^p$. То есть на первом шаге мы получаем новую тройку чисел со всеми свойствами исходной тройки, а это и есть главное условие бесконечного спуска.

[binki]

Уважаемый lasta, не могли бы Вы улучшить сопроводительный текст. Сделать его лаконичным, но понятным в важных моментах доказательства.

[ishhan]

lasta в сообщении #1117384 писал(а):

Итак, мы получили новую $f^p_n$ степень, которая не является составной. С помощью этой степени мы получили число $V_{nb}$, имеющее статус новой разности степеней.

Уважаемый lasta!
Если степень не является составной, то возможно ли продолжать ваш метод бесконечного спуска, ведь эта тройка теряет первоначальные свойства.
Коме того, если каждый шаг в методе бесконечного спуска привязан к натуральному числу меньше предыдущего, то число шагов будет конечно и рано или поздно новая степень станет единицей.

lasta в сообщении #1117384 писал(а):

У нас предполагаемое доказательство для всех случаев ВТФ.

Коме квадратов.
Интересно, а как выглядит метод спуска для чётных степеней.

[lasta]

ishhan в сообщении #1117421 писал(а):

Коме квадратов.
Интересно, а как выглядит метод спуска для чётных степеней.

Уважаемый ishhan! По квадратам сообщение уже было

lasta в сообщении #1117303 писал(а):

ishhan в сообщении #1117223

писал(а):
Существует похожее разложение Тринома и для второй степени:$(a+b-c)^2=2(c-a)(c-b)$
Алгоритм предложенного вами метода бесконечного спуска ведь можно применить и к нему, алгебраический вид и того и другого очень похожи.

lasta в сообщении #1117303 писал(а):

lasta в сообщении #1117223 Для степеней с простым показателем $p>2$ всегда существуют хотя бы две степени составного числа. У квадратов не всегда. Один из квадратов четный и показатель 2. Это все меняет. Например: - (3, 4, 5).
$f^2=(3+4-5)^2=2^2=2(5-3)(5-4)$ - квадрат не составного числа. Бесконечный спуск не возможен. В этом случае невозможно утверждать, что новая тройка квадратов будет обладать теми же свойствами, что и исходная. А сохранение свойств главное в бесконечном спуске.

Что здесь не так? Предполагаемое доказательство общее для всех случаев , а значит и для четных степеней.

-- 22.04.2016, 14:02 --

ishhan в сообщении #1117421 писал(а):

Если степень не является составной, то возможно ли продолжать ваш метод бесконечного спуска, ведь эта тройка теряет первоначальные свойства.
Коме того, если каждый шаг в методе бесконечного спуска привязан к натуральному числу меньше предыдущего, то число шагов будет конечно

На этот вопрос я уже тоже ответил в предыдущем сообщении. Где показано, что кроме степени $f_n^p$ существует составная степень $f_{n_1}^p=(a_2+b_n-c_n)^p$, удовлетворяющая условию $1<f_{n_1}^p<a_2^p$. Она то и используется для бесконечного спуска. И новая тройка имеет все свойства предыдущей. Мы всегда будем привязаны к составному числу. А это и есть бесконечный спуск. С помощью степени $f_n^p$ получено число со статусом новой разности степеней. И ее роль на этом исчерпывается, так как у нас существует выбор необходимой составной степени, согласно условию $1<f_{n_1}^p<a_2^p$

[ishhan]

lasta в сообщении #1117442 писал(а):

Предполагаемое доказательство общее для всех случаев , а значит и для четных степеней.

Но для чётных степеней разложение Тринома на множители не справедливо, и уже невозможно утверждать, что $(a+b-c)^{2p} -a^{2p}-b^{2p}+c^{2p}=W_f$ составное число.

[lasta]

ishhan в сообщении #1117462 писал(а):

Но для чётных степеней разложение Тринома на множители не справедливо, и уже невозможно утверждать, что $(a+b-c)^{2p} -a^{2p}-b^{2p}+c^{2p}=W_f$ составное число.

Я Вас здесь не так понял, полагая что речь идет о четном основании степени. В теме неоднократно подчеркивалось, что речь идет о простых показателях. И этого достаточно для того, чтобы доказательство было общим. Степени с четными показателями имеют простое доказательство. Переделывать его не имеет смысла.

[ishhan]

lasta в сообщении #1117152 писал(а):

То есть мы получили меньшую степень, равную разности степеней. Вспомним, что любую степень можно разложить в сумму любой меньшей степени и разности степеней $a^p=f^p+(a^p-f^p)$. Где меньшая степень должна удовлетворять условию $1<f^3<a^3$. Эта свобода выбора дает нам право на логический вывод (логический-главное условие бесконечного спуска)

Уважаемый lasta!
1)Вы при помощи деления числа $f^3$ строите бесконечное число новых троек удовлетворяющих ВТФ3, утверждая при помощи логических выводов, что они линейно не связаны с исходными.
2)И несмотря на то, что новая степень $f^3$ ограничена и сверху и снизу $1<f^3<a^3$, вы считаете ,что число новых троек бесконечно.
Эти моменты для моего восприятия пока не ясны.

[krestovski]

И всё же. Меня можно игнорировать, но бесконечно давать словесные пояснения своим персональным математическим логическим рассуждениям, граничащим с философией, нельзя. Нужно иногда остановиться и подкрепить свои рассуждения и выкладки численными методами. Ну хотя бы для того, чтобы участники верили в верность выбранного способа и метода решения задачи автором. Это, кстати, неотъемлемая часть расчётов. Ну право же. Если кто едет на автомобиле из Питера в Москву, то его конкретно интересует, хватит или нет ёмкости бака его автомобиля на поездку при конкретном расходе топлива и километраже между городами.
Тут же получается бесконечное философствоание на тему: если задали такой вот вопрос, - я его отпарирую вот так, ежели вот такой, - то вот так.
Но позвольте спросить: если автор оперирует правилами построения натурального ряда, - поскольку утверждает, что всё рассматривается в натуральных числах, - то по какой причине не подкрепляет свои рассуждения, преобразования и выкладки численными методами? Ведь сам Ферма не гнушался приводить конкретные примеры с числами, если что-то утверждал. Собственно как и Эйлер и многие другие математики.
Или "мы" настолько велики, что не опускаемся до уровня, когда конкретно нужно подтвердить численными методами, что, например, ракетоноситель не взорвётся на старте или во время взлёта? Так на кой тогда эти расчёты и разговоры, если нет конкретного численного подтверждения каждого шага расчётов и преобразований?
Я, пока что, вижу, что автор темы совершенно не представляет, как его математические манипуляции с буквенным обозначением связаны с реальными соотношениями числовых величин.
И, кстати, lasta, по условиям форума, на вопросы надо отвечать. А если я задал глупый вопрос, то нужно сделать одно из двух: или объяснить, что этот вопрос задан из моего непонимания, или, - подумать, - почему он был задан, и именно в такой форме.

[lasta]

ishhan в сообщении #1117517 писал(а):

1)Вы при помощи деления числа $f^3$ строите бесконечное число новых троек удовлетворяющих ВТФ3, утверждая при помощи логических выводов, что они линейно не связаны с исходными.
2)И несмотря на то, что новая степень $f^3$ ограничена и сверху и снизу $1<f^3<a^3$, вы считаете ,что число новых троек бесконечно.
Эти моменты для моего восприятия пока не ясны.

Уважаемый ishhan! Логически мы получаем каждый раз новую тройку и новый трином. И на каждом шаге мы делим ноый трином, а не остаток от тринома в предыдущем шаге. Каждый раз остаток заменяется на новый трином. А то, что для Вашего восприятия это пока не ясно, говорит лишь о том, что восприятие у Вас правильное. Бесконечный спуск как раз и утверждает, что этого не может быть при конечных начальных числах.

[ishhan]

krestovski в сообщении #1117529 писал(а):

Тут же получается бесконечное философствоание на тему: если задали такой вот вопрос, - я его отпарирую вот так, ежели вот такой, - то вот так.
Но позвольте спросить: если автор оперирует правилами построения натурального ряда, - поскольку утверждает, что всё рассматривается в натуральных числах, - то по какой причине не подкрепляет свои рассуждения, преобразования и выкладки численными методами? Ведь сам Ферма не гнушался приводить конкретные примеры с числами, если что-то утверждал. Собственно как и Эйлер и многие другие математики.
Или "мы" настолько велики, что не опускаемся до уровня, когда конкретно нужно подтвердить численными методами, что, например, ракетоноситель не взорвётся на старте или во время взлёта? Так на кой тогда эти расчёты и разговоры, если нет конкретного численного подтверждения каждого шага расчётов и преобразований?

Уважаемый krestovski!
Согласен с вами, и кроме того, тема по разностям степеней давным-давно уже поднималась на форуме в теме Petern1 под названием: "Фундаментальные свойства степеней", но в данной теме об этом ничего не говорится. В отличии от прошлых лет, заслуженные участники перестали "баловать" нас своим вниманием, а то бы здесь уже давно бы стоял штамп уважаемой Shwedka:"не доказано"

-- Пт апр 22, 2016 18:29:18 --

lasta в сообщении #1117533 писал(а):

А то, что для Вашего восприятия это пока не ясно, говорит лишь о том, что восприятие у Вас правильное. Бесконечный спуск как раз и утверждает, что этого не может быть при конечных начальных числах.

Уважаемый lasta!
Мне бы очень хотелось что бы ваше доказательство признали верным.
Я не смог в своё время продвинуться дальше численной проверки делимости $R$ на показатель степени $p$, хотя мне интуитивно было ясно, что алгебраический вид разложения Тринома говорит о верности утверждения Пьера Ферма.

[krestovski]

Уважаемый ishhan!
Я просмотрел внимательно

ishhan в сообщении #1117539 писал(а):

тема по разностям степеней давным-давно уже поднималась на форуме в теме Petern1 под названием: "Фундаментальные свойства степеней", но в данной теме об этом ничего не говорится.

и там, действительно, ничего нет. Абсолютно нет ничего интересного или нового. Всё это можно было услышать в рассуждениях выпускников физматшкол при университетах в 80-е годы. Не понимаю, для чего Вы меня адресовали к этой теме?
А по поводу заслуженных участников могу сказать только одно, - в отличе от них, я ещё трачу своё время и надеюсь, что появится зравомыслящий, который кроме аналитических методов анализа, ещё не забыл элементарную арифметику.
У нас же как? - Каждый второй - гений, но из объёма школьных задач решает, в лучшем случае, 70-80 процентов. Это издержки узкой специализации. И Вы, конечно, должны об этом знать.
Не надо микроскопом забивать гвозди, - для этого есть молоток. - Если Вы меня понимаете...
А пока что, лидерство в забивании гвоздей микроскопом держит Эндрю. И - должен сказать - заслуженно. - Он просто профи!
Кстати, я пытался, но так и не нашёл, тут на форуме, самый первый и элементарный метод доказательства. Ну тот, что использовал Эвклид для доказательства множественности пифагоровых троек. Просто. Эффективно. И, главное, - признано в качестве доказательства! - А ведь для случая $n=3$ большего и не надо.
Вот как-то так я вижу и понимаю проблему.

[lasta]

krestovski в сообщении #1116799 писал(а):

Это следует из равенства чётного чётному. А если быть точным, то $(a+b-c)^3=b^3-c^3$ и $3(a+b)(c-a)(c-b)=a^3$.
Или наоборот: $(a+b-c)^3=a^3$ и $3(a+b)(c-a)(c-b)=b^3-c^3$, но что совершенно не равнозначно. И на что тоже не обращено внимание.

Уважаемый krestovski! В ваших сообщениях или грубые ошибки, или глубокие заблуждения. О чем Вам неоднократно сообщалось. Так и здесь, Вы глубоко заблуждаетесь, хотя равенства в теме содержат как правило три слагаемых. $(a^p=(a^p-f^3) + f^3)$. Как из этого равенства Вы умудрились сделать такой вывод, что $(f^3=a^3)$? Стоит ли после этого разбирать остальное.

-- 22.04.2016, 23:57 --

binki в сообщении #1117398 писал(а):

Уважаемый lasta, не могли бы Вы улучшить сопроводительный текст. Сделать его лаконичным, но понятным в важных моментах доказательства.

Уважаемый binki! Ваша просьба сделать доказательство лаконичным, но понятным не простая задача. Введением дополнительного обозначения степени, участвующей в спуске, возможно облегчит задачу.
1.Произвольную степень $(a^p)$ выразим через степень $(m^p)$ при условии $(1<m^p<a^p)$ и разность степеней $(V=a^p-m^p)$. То есть

$$a^p= V+m^p$$

Степень $(m^p)$ может быть любой составной или не составной. Есть возможность выбора. Выбираем составную $(f^p=(a+b-c)^p=p(a+b)(c-a)(c-b)R+E) $ и другую разность степеней $(V_f=a^p-f^p)$ . Тогда

$$a^p=V_f+p(a+b)(c-a)(c-b)R+E ,\qquad \e (1.e) $$

где все числа - произвольные, натуральные, с условием $(a>(c-b))$ и $(E=a^p+b^p-c^p)$, а $(R=r(a,b,c))$
2.Произвольную разность степеней $V_b$ выразим через разность степеней $(V)$ при условии $(1<V<a^p)$ и вторую разность степеней $(W=V_b-V)$. Есть возможность выбора. Пусть $(V=V_f)$. Тогда

$$V_b=V_f+(V_b-V_f)=V_f+W_f \qquad \e (2.e) $$

Если $E=0$ (ВТФ не верна), то степень равняется разности степеней. Пусть $(a^p= V_f +f^p =V_b= V_f+W_f )$ Откуда

$$f^p=p(a+b)(c-a)(c-b)R=W_f\qquad \e (3.e) $$

Здесь мы лишний раз показали, что алгебраическое выражение за счет сокращения $(f^p)$ переходит в тождество. Но если разность степеней представлена числом $(V_f)$, то этого не происходит.
Далее. Не важно какой из делителей делится на $(p)$. Поэтому можем записать

$$V_b=a^p=V_f+p(a+b)(c-a)(c-b)R=V_f+c_1^p a_1^p b_1^p r_1^p\qquad \e (4.e) $$

Пусть $a_1^p\ne 1$. Это не нарушает общности, так как у нас остается выбор вместо $a^p$ взять другую степень $b^p$.
Разделим правую и левую части (4.е) на $(a_1^p)$,

$$\frac{V_b}{a_1^p}=\frac{a^p}{a_1^p}=\frac{ a_1^pa_2^p}{a_1^p}=[\frac{V_f}{a_1^p}]+\frac{ c_1^p a_1^p b_1^p r_1^p }{a_1^p} =[\frac{a^p-f^p}{a_1^p}]+\frac{ c_1^p a_1^p b_1^p r_1^p }{a_1^p}$$

получим

$$V_{nb}=a_2^p=(a^p_2- c_1^p b_1^p r_1^p )+ c_1^p a_1^p b_1^p r_1^p \qquad \e (5.e)$$

Вывод, что существует степень $(m_n^p= c_1^p b_1^p r_1^p<f^p )$.
И существует новая разность степеней

$$ V_{nb}=V_{nm}+(V_{nb}-V_{nm})=V_{nm}+W_{nm}=(a^p_2-m_n^p)+m_n^p\qquad \e (6.e)$$

Если существует разность степеней (число со статусом разности степеней), то должна существовать тройка чисел $(a_2,b_n,c_n)$ и $(E_n=0)$.
В (6.е) степень $(m_n^p)$ с неопределенными свойствами (составная или не составная). Но так как существует тройка чисел $(a_2,b_n,c_n)$, то существует другая вместо $m_n^p$ степень $(f_n^p=(a_2+b_n-c_n)^p)$, с необходимыми нам свойствами и другая разность степеней $(V_{nf}=a_2^p-f_n^p)$, удовлетворяющая условию $(1<f_n^p<a^p)$, разложения степени через меньшую степень и разность степеней. Тогда

$$ V_{nb}=(a^p_2-f_n^p)+f_n^p\qquad \e (7.e)$$

Следует обратить, внимание, что $( f_n^p) $ не может быть одной из степеней $b_n^p, c_n^p$, так как (7.е) не может содержать слагаемое больше самой суммы.
Итак, новая тройка имеет все свойства исходной тройки. Первый шаг бесконечного спуска доказан. Этого достаточно, чтобы утверждать, что ВТФ верна.

[lasta]

krestovski в сообщении #1117529 писал(а):

Нужно иногда остановиться и подкрепить свои рассуждения и выкладки численными методами.... Это, кстати, неотъемлемая часть расчётов. ...
... автор ..по какой причине не подкрепляет свои рассуждения, преобразования и выкладки численными методами? ..нужно подтвердить численными методами... если нет конкретного численного подтверждения каждого шага расчётов и преобразований?
Я, пока что, вижу, что автор темы совершенно не представляет, как его математические манипуляции с буквенным обозначением связаны с реальными соотношениями числовых величин.

Уважаемый krestovski! Это сокращенная суть Вашего длинного послания.
Для $(E=0)$ во всем мире и во все времена ни кто не смог привести числовых примеров (кроме Вас). Поэтому могу привести примеры только для $(E\ne 0)$. Хотя в таких простейших формулах трудно не увидеть числа вместо букв.
$12^3=(12^3-4^3)+4^3=1664+64$
$12^3=(12^3-5^3)+5^3=1603+125$
Зто для $(m^3)$ (степень введенная в моем последнем сообщении). Но необходимо показать для $(f^3)$. Пусть $(f^3=(10+9-12)^3=7^3)$ В этом случае $(E=1)$. Получим
$12^3=(12^3-7^3)+7^3=1385+343=1385+3(10+9)(12-9)(12-10)+1$.
Это пример со всеми разложениями для случая когда теорема верна. Мы видим, что $[3(10+9)(12-9)(12-10)]$ не является разложением на кубы, потому что $(E=1)$. Но привести пример для $(E=0)$ еще ни кто не смог.

[binki]

lasta в сообщении #1117633 писал(а):

Мы видим, что $[3(10+9)(12-9)(12-10)]$ не является разложением на кубы, потому что $(E=1)$. .

Уважаемый lasta, у Вас опечатка. Правильно, -"Мы видим, что $[3(10+9)(12-9)(12-10)+1]$ не является разложением на кубы, потому что $(E=1).