Бесконечный спуск для произвольных натуральных УФ

[ishhan]

lasta в сообщении #1116405 писал(а):

В том то и дело, что эти тройки не имеют линейной связи, кроме одного числа $a$. Есть логическая связь. Смысл такой. Если существует степень $f^p$, то существует другая степень $f_n^p=f^p/a_1^p$. Новая степень состоит из тех же делителей, исключая $a_1^p$. Поэтому для них распространяется условие $E=0$

Сходу в этом не просто разобраться, так что не судите строго.
Утверждение относительно того, что условие$ E=0$ распространяется на новую тройку, необходимо доказывать, и это можно было бы назвать леммой.
Именно этот момент требует подробного рассмотрения, так как возможен спуск до простого числа.
Далее вы утверждаете, что если это произойдёт, тогда найдётся другое составное число.
И кстати, у одного из чисел $a$ -линейная связь, а какая связь у $c$ и $b$

[lasta]

ishhan в сообщении #1116417 писал(а):

Утверждение относительно того, что условие$ E=0$ распространяется на новую тройку, необходимо доказывать, и это можно было бы назвать леммой.
Именно этот момент требует подробного рассмотрения, так как возможен спуск до простого числа.
Далее вы утверждаете, что если это произойдёт, тогда найдётся другое составное число.
И кстати, у одного из чисел $a$ -линейная связь, а какая связь у $c$ и $b$

Доказательство простое. Все делители $f^p$ строго определяются только числами $a,b,c$. Каждый делитель имеет свою зависимость от этих чисел. И если мы убираем один из делителей, то это никак не влияет на эти зависимости. Новая степень $f_n^p$ будет определяться только числами $(a,b,c)$ для которых $E=0.$ Далее. Доказанное утверждение о том, что новая степень имеет статус разности степеней, надо понимать, что мы имеем только число этой разности степеней. Какие конкретно степени представляет это число логический метод не определяет. Нам достаточно, что если есть число - разность степеней, то должны быть и степени.

[lasta]

lasta в сообщении #1116477 писал(а):

Какие конкретно степени представляет это число логический метод не определяет. Нам достаточно, что если есть число - разность степеней, то должны быть и степени.

Уважаемый ishhan! Рассмотрим на кубах.Произвольная $V_b$ разность кубов определяется разложением на вторые разности

$$V_b=1+6+12+18+24+30+.....+(V_b-V_{b-1})=V_f+W_f$$

То есть $V_b$ имеет произвольное разбиение на слагаемые суммы $(V_f+W_f)$ Если определить все числа через разности соседних кубов, то мы получим тождество $V_b=V_b$. То есть сумма чисел не определяет кубы, которые образуют $V_b$. Кубы определяются условиями УФ. Поэтому, сумма из вторых разностей, полученная с помощью $(W_f=f_n^3)$ лишь определяет статус числа как разность кубов, но не утверждает, что $f^3$ является одним из кубов $(c^3,\quad b^3)$. Сумма не может содержать числа большие, чем сама сумма.

[ishhan]

lasta в сообщении #1116477 писал(а):

Новая степень $f_n^p$ будет определяться только числами $(a,b,c)$ для которых $E=0.$

Уважаемый lasta!
Тем самым вы утверждаете то, что существует ещё столько новых чисел $(a,b,c)$ сколько делителей числа$ f^p$
Это очень сильное утверждение и мне раньше не приходилось встречать его в литературе по ВТФ.

Для того что бы понять, как искать ВТФ тройки отталкиваясь от исходной, для которой справедливо:$(a+b-c)^3-a^3-b^3+c^3=3^3f_1^3...f_i^3=T^3$
Имеет смысл рассмотреть $N$- число способов представления $T^3$ в виде суммы четырёх кубов левой части.
Число решений будет определятся числом способов представления степени в виде произведения трёх сомножителей каждый из которых определяет числа $a-b,c-b,c-a$
Возникают вопросы:
1)Среди всех возможных $N$ вариантов будет одна или несколько троек Ферма?
2) Можно ли считать одним из $N$ вариантов представления куба числа $T$ в виде суммы четырёх кубов такой вариант , который записывается как: $T^3=T^3 $ ?

[lasta]

ishhan в сообщении #1116550 писал(а):

Тем самым вы утверждаете то, что существует ещё столько новых чисел $(a,b,c)$ сколько делителей числа$ f^p$

Нет это не так.Это привело бы к конечному спуску, так как число делителей $f^p$ конечно. Еще раз обращаю внимание, что получив число со статусом разницы степеней, мы делаем логический вывод, что должны существовать новые степени $c_n^p, b_n^p$, образующие это число со статусом разницы степеней. Логически, не алгебраическими преобразованиями получаем новую тройку чисел $(a_2 , b_n ,c_n )$. Получаем новую $E_n=0$ и соответственно получаем новую $f_{n_1}^p$ уже на основе новой тройки чисел $(a_2,b_n,c_n)$. Эта новая степень отличается от $f_n^p$. То есть на первом шаге мы получаем новую тройку чисел со всеми свойствами исходной тройки, а это и есть главное условие бесконечного спуска.

[lasta]

ishhan в сообщении #1116550 писал(а):

тем самым вы утверждаете то, что существует ещё столько новых чисел $(a,b,c)$ сколько делителей числа$ f^p$

Уважаемый ishhan! Возможно я вас не правильно истолковал. Если речь идет о количестве возможных троек на первом шаге спуска, то мы можем выбирать только степени, которые выражаются через разности степеней. Сумму степеней также можно использовать, но организация спуска здесь немного сложнее для натуральных чисел. Добавлю только, что каждая из возможных троек первого шага является основой для дальнейшего бесконечного спуска.

-- 19.04.2016, 17:03 --

ishhan в сообщении #1116550 писал(а):

2) Можно ли считать одним из $N$ вариантов представления куба числа $T$ в виде суммы четырёх кубов такой вариант , который записывается как: $T^3=T^3 $ ?

То есть вы предлагаете рассмотреть вариант $E\ne 0$. ВТФ верна. Зачем рассматривать тождество для этого случая? И тем более для этой степени.Мы не можем применить метод строго использующий условие $E=0$.

[krestovski]

lasta в сообщении #1116618 писал(а):

.Мы не можем применить метод строго использующий условие $E=0$.

А вот тут Вы не правы. Можно применить метод. Но если Вы не умеете, то это совершенно не значит, что "Мы не можем..."

Что происходит.
Рассматривая первоначальное тождество $(a+b-c)^3=3(a+b)(c-a)(c-b)+a^3+b^3-c^3$, Вы предполагаете, что равенство Ферма имеет решения и принимаете условие, что $a^3+b^3-c^3=0=E$.
Что это влечёт?
Поскольку Вы определили чётности степеней, то, исходя из того, что $f,d,a$ чётные и $b,c$ нечётные, Вы определили чётности оставшихся членов тождества.
Но вот тут и кроется казус.
Посмотрим на всё без путанницы преобразований и переобозначений.
Поскольку $E=0$, то оставшаяся часть, а это $(a+b-c)^3=3(a+b)(c-a)(c-b)$, может быть записана как $(a+b-c)^3-3(a+b)(c-a)(c-b)=0$. И поскольку $c-b<a$, то $(a+b-c)^3$ это чётное число, так же как и $3(a+b)(c-a)(c-b)$ - чётное число. Вы ведь их уравняли.
Но первоначальная ошибка кроется в поспешном решении принять за тройку Ферма обозначенные автором члены равенства с $E$.
Это следует из равенства чётного чётному. А если быть точным, то $(a+b-c)^3=b^3-c^3$ и $3(a+b)(c-a)(c-b)=a^3$.
Или наоборот: $(a+b-c)^3=a^3$ и $3(a+b)(c-a)(c-b)=b^3-c^3$, но что совершенно не равнозначно. И на что тоже не обращено внимание.
Но, в любом случае, одно из составляющих первоначального тождества обращается в отрицательную величину, так как по определению $c^3>b^3$, потому как определена положительная величина $d=c-b$. В итоге принимает отрицательное значение и вторая часть тождества за знаком равенства.
Следовательно, после обнуления трёх кубов, обе оставшиеся части тождества обращаются в отрицательные величины.
Так что "мы" исследуем?
А вот рассуждения о том, что чётное и нечётное равно другому чётному и нечётному, - тут не уместны, потому как произошло обнуление части тождества и автор просто был обязан рассмотреть все возможные варианты изменений соотношения величин до начала рассуждений о бесконечном спуске.
И аргументы типа

lasta в сообщении #1116585 писал(а):

Логически, не алгебраическими преобразованиями получаем новую тройку чисел $(a_2 , b_n ,c_n )$.

сродни только утвержению: если бы были "заданы нужные условия", то бабушка была бы дедушкой... - или логически, или хирургически.
Пустая трата времени. Изначально неверно выбран трином для $E=0$. Автор не ввёл в обнулённое им равенство Ферма куб, основание которого представлено тремя переменными, или куб с тремя утроенными множителями. Следовательно, не сохранена связь соотношения переменных первоначального равенства с членами равенства Ферма.
Так что, если что и удастся автору "слепить", то это не будет иметь никакого отношения к равенству Ферма, уравненому с нулём.

[lasta]

ishhan в сообщении #1116550 писал(а):

1)Среди всех возможных $N$ вариантов будет одна или несколько троек Ферма?

Уважаемый ishhan! Это хороший и интересный вопрос. Согласно (9), любую степень можно представить разложением в виде суммы разностей и вторых разностей степеней. Следовательно, это касается и степени простого число $p^{kp}$. Но мы учитываем только степени составных чисел. При этом степень $f^p$ содержит только часть делителей степеней. А именно $a_1^p,b^p_1,c_1^p$. Можно рассмотреть и случай степени $p^{kp}$. Но это будет излишним распылением, которое не внесет что-то новое в доказательство.

[ishhan]

Уважаемый lasta!
Могу вам сообщить то , что я с интересом слежу за тем, что связано с разложением Tринома или ноля характеристики L от трёх переменных, так как именно с этого разложения у меня появились сообщения на форуме.
Поскольку в вашем доказательстве присутствуют некие "логические операторы" то поясните, как у вас учитывается следующий факт:
Если выполнено условие:
$E=0 то$ ,то следует, что $W_f=f^p$,
но если положить:
$W_f=f^p$,то не следует, что$ E=0$
Это, если не ошибаюсь, условия необходимости и достаточности.
Так, для ВТФ3, существует $N$ различных вариантов решения в натуральных числах уравнения: $f^3-a^3-b^3+c^3=W^3$
где $f=a+b-c$
О множестве этих решений я уже упоминал и с интересом выслушаю замечания.

[ishhan]

ishhan в сообщении #1116813 писал(а):

но если положить:
$W_f=f^p$,то не следует, что$ E=0$

правильно будет :$W_f=f_1^p$.
Пардон. Не могу всё же понять вашу логику до конца, но предположительно с вами согласен по поводу "статусов чисел", но аргументов в математическом виде, в виде формул, которые описывают свойства статусов, для меня пока недостаточно.
И поясните пожалуйста момент связанный с чётными степенями.

[ishhan]

PS. Распишем подробно: если в тождестве $(a+b-c)^3-a^3-b^3+c^3=3(a-b)(c-b)(c-a)=T^3S^3$, положить $ -a^3-b^3+c^3=0$ то очевидно из алгебраического вида, что число $3(a-b)(c-b)(c-a)$ это куб кратный тройке с ребром $a+b-c=TS$, но если положить в уравнении $(a_1+b_1-c_1)^3-a_1^3-b_1^3+c_1^3=S^3$ то, опять же из алгебраического вида, не очевидно, что $-a_1^3-b_1^3+c_1^3=0$.
Для любого числа $S$ кратного тройке это уравнение имеет конечное множество решений и тройка (или тройки) ВТФ находится среди этого конечного множества решений. Для других показателей это уже не так.

[lasta]

Желая показать, что делителей много, мы упоминали, что существует четная степень, кроме того $f^p$ делится на показатель. Желая показать, что составных чисел, используемых в доказательстве, также не одно, мы определили, что количество вторых разностей – составное число. При этом не рассматриваются известные частные случаи доказательств, так как наше предполагаемое доказательство является общим для всех случаев. Но не было обращено внимание, что все это порождено одним условием
Если ВТФ не верна, то хотя бы две степени являются степенями составных чисел и одна из них равна разности степеней.
Далее возвращаемся к изначальному доказательству. Лишь немного разъяснив некоторые места. Которые, согласно поступившим вопросам, не совсем понятны.
Разложим сначала произвольный куб в сумму разностей кубов

$$a^3=1+7+19+37+...+[a^3-(a-1)^3]$$

или в виде двух сумм

$$a^3=\sum_{i=0}^{a-1}{V_i}=\sum_{i=0}^f{V_i}+\sum_{i=(f+1)}^{a-1}{V_i}=f^3+(a^3-f^3)=f^3+V_f$$

где $1<f<a$ Как видим $f^3$ -может быть любым кубом, удовлетворяющий условию $1<f^3<a^3$. Поэтому выбираем куб, определяемый тройкой $f^3=(a+b-c)^3$ с условием $a>(c-b)$. Здесь мы лишний раз показали, что алгебраическое выражение за счет сокращения $f^3$ переходит в тождество. Но если разность кубов $a^3-f^3$ представлена числом $V_f$, то этого не происходит. И мы можем использовать свойства разностей кубов и точно также других разностей степеней с простым показателем. Поэтому оставляем кубы и рассматриваем общий случай, так как доказательство для кубов приведено в начале темы.
Приходим к выражению

$$a^p=V_f+p(a+b)(c-a)(c-b)R+E \qquad \e (1.d) $$

Отдельно составляется разложение произвольной разности степеней $V_b$ в сумму любой меньшей разности степеней и второй разности степеней. Выбираем меньшую разность равной $V_f$. Получаем

$$V_b=V_f+(V_b-V_f)=V_f+W_f \qquad \e (2.d) $$

Если ВТФ не верна, то степень равняется разности степеней. Сравнивая (1.d) и (2.d), приходим к выводу
$E=0$, то

$$W_f=3(a+b)(c-a)(c-b) \qquad \e (3.d) $$

И получаем главное равенство

$$a^3=V_b=V_f+(V_b-V_f)=V_f+W_f \qquad \e (4.d) $$

Пусть $(c-b)\ne 1$ и не делится на $p$. Тогда $a_1^p=c-b$. Имеем

$$\frac{(a+b-c)^p}{c-b}=p(a+b)(c-a)R$$

Как видим в правой части равенстве нет слагаемого $E$. Мы еще ни чего не сказали о появлении новой тройки чисел. Мы только сделали вывод, что существует меньшая степень $f_n^p=p(a+b)(c-a)R$.
Итак,

$$\frac{a^p}{c-b}=[\frac{ a_1^pa_2^p}{a_1^p}- \frac{f^p}{c-b}]+\frac{p(a+b)(c-a)(c-b)R}{c-b}$$

Или, учитывая, что $V_f=a^p-p(a+b)(c-a)(c-b)R$, получим

$$a_2^p=(a^p_2-p(a+b)(c-a)R)+p(a+b)(c-a)R\qquad \e (5.d)$$

Но тогда существует и разность степеней

$$ V_b=V_f+(V_b-V_f)=V_f+W_f=(a^p_2-p(a+b)(c-a)R)+p(a+b)(c-a)R\qquad \e (6.d)$$

То есть мы получили меньшую степень, равную разности степеней. Вспомним, что любую степень можно разложить в сумму любой меньшей степени и разности степеней $a^p=f^p+(a^p-f^p)$. Где меньшая степень должна удовлетворять условию $1<f^3<a^3$. Эта свобода выбора дает нам право на логический вывод (логический-главное условие бесконечного спуска). Если существует разность степеней (число со статусом разности степеней), то должны существовать и какие-то степени. Вот здесь и появляется, наконец, тройка чисел $a_2,b_n,c_n$, имеющая все свойства исходной тройки. А именно, хотя бы две степени являются степенями составного числа и одна из них является разностью степеней. Следует обратить, внимание, что $f^p$ не может быть одной из степеней $b^p, c^p$, так как разность степеней $V_b=a^p=V_f+f^p$ не может содержать слагаемое больше самой суммы. Первый шаг бесконечного спуска доказан. Этого достаточно, чтобы утверждать, что ВТФ верна.

[lasta]

lasta в сообщении #1117152 писал(а):

Но тогда существует и разность степеней

$$ V_b=V_f+(V_b-V_f)=V_f+W_f=(a^p_2-p(a+b)(c-a)R)+p(a+b)(c-a)R\qquad \e (6.d)$$

Следует читать: -но тогда существует новая разность степеней

$$ V_{nb}=V_{nf}+(V_{nb}-V_{nf})=V_{nf}+W_{nf}=(a^p_2-p(a+b)(c-a)R)+p(a+b)(c-a)R\qquad \e (6.d)$$

-- 21.04.2016, 14:49 --

lasta в сообщении #1117152 писал(а):

приходим к выводу
$E=0$, то

$$W_f=3(a+b)(c-a)(c-b) \qquad \e (3.d) $$

И получаем главное равенство

$$a^3=V_b=V_f+(V_b-V_f)=V_f+W_f \qquad \e (4.d) $$

Выражения для кубов. Для показателя $p$, $E=0$, то

$$W_f=p(a+b)(c-a)(c-b)R \qquad \e (3.d) $$

$$a^p=V_b=V_f+(V_b-V_f)=V_f+W_f \qquad \e (4.d) $$

-- 21.04.2016, 15:08 --

lasta в сообщении #1117152 писал(а):

То есть мы получили меньшую степень, равную разности степеней.

Следует читать: - То есть мы получили новую степень, равную новой разности степеней.

[ishhan]

Уважаемый lasta!
Существует похожее разложение Тринома и для второй степени:

$(a+b-c)^2-a^2-b^2+c^2=2(c-a)(c-b)$

Алгоритм предложенного вами метода бесконечного спуска ведь можно применить и к нему, алгебраический вид и того и другого очень похожи.
Из этого следует, что выводы можно сделать одни и те же. Отличаются только количеством алгебраических сомножителей в выражении для $W_f$.
Но для метода бесконечного спуска не важен показатель степени $p$ главное что бы $W_f$ было составным числом, а это выполняется и там и там.

[lasta]

ishhan в сообщении #1117223 писал(а):

Существует похожее разложение Тринома и для второй степени:$(a+b-c)^2=2(c-a)(c-b)$
Алгоритм предложенного вами метода бесконечного спуска ведь можно применить и к нему, алгебраический вид и того и другого очень похожи.

Уважаемый ishhan! Хороший вопрос. Спасибо. Для степеней с простым показателем $p>2$ всегда существуют хотя бы две степени составного числа. У квадратов не всегда. Один из квадратов четный и показатель 2. Это все меняет. Например: - (3, 4, 5).
$f^2=(3+4-5)^2=2^2=2(5-3)(5-4)$ - квадрат не составного числа. Бесконечный спуск не возможен. В этом случае невозможно утверждать, что новая тройка квадратов будет обладать теми же свойствами, что и исходная. А сохранение свойств главное в бесконечном спуске.