Бесконечный спуск для произвольных натуральных УФ

[ishhan]

lasta в сообщении #1114622 писал(а):

В общем случае, вторая разность для шага между основаниями равным $a-f=c-b$ определяется выражением $W_f=V_b-V_f=[c^p-b^p]-[a^p-f^p]$. Если $E=0$ (ВТФ не верна), то не только для кубов, а для всех степеней - $W_f=f^p$

То что вы называете второй разностью степеней мне известно как разложение тринома для простых показателей $p$: $(a+b-c)^p=a^p+b^p-c^p+p(a+b)(a-c)(a-b)R^{p-3}(a,b,-c)$ причём это разложение справедливо только для простых показателей $p$. Для произвольных натуральных показателей это разложение не справедливо.
То же самое можно записать для простых $p$ как у вас:

$$(c^p-b^p)-[a^p-(a+b-c)^p]=p(a+b)(a-c)(a-b)R^{p-3}(a,b,-c)$$

где $R^{p-3}(a,b,-c)$ целочисленный многочлен от трёх переменных степени $p-3$, для тройки $R^{0}(a,b,-c)=1$
Пока не очень понял как у вас реализован метод бесконечного спуска.

[ishhan]

ishhan в сообщении #1114690 писал(а):

$(a+b-c)^p=a^p+b^p-c^p+p(a+b)(a-c)(b-c)R^{p-3}(a,b,-c)$

Исправил опечатку в формуле разложения о котором замечу следующее:
если вместо одного, любого из чисел $a,b,-c $подставить их сумму с обратным знаком $s=-a-b+c$, то алгебраический вид разложения не изменится.
Это справедливо для $R^{p-3}(a,b,-c)$ и для $(a+b)(a-c)(b-c)$ другими словами для числа которое вы называете $R$ справедливо:

$$ R(a,b,c)=R(s,b,c)=R(a,s,c)=R(a,b,s)$$

то есть число $R=R^{p-3}(a,b,-c)$ которое суть значение многочлена $R^{p-3}(a,b,-c)$ входящее в разложение числа $f$ будет одинаковым для четырёх троек.
Возможно этот факт можно применить для метода спуска, в котором задействовано разложение тринома или "вторая разность степеней", сумма оснований которых равна ноль.
Так как основания степеней равны $a+b-c,-a,-b,+c$
Как вам это удаётся использовать разложение тринома в методе спуска, пока не усёк

[lasta]

ishhan в сообщении #1114748 писал(а):

Как вам это удаётся использовать разложение тринома в методе спуска

Уважаемый ishhan!
Здесь важно понять одно замечательное свойство числа $f$. Пусть

$$f=[(a+d_f)+(b+d_f)-(c+d_f)]=(a+b-c+d_f),$$

где $d_f\in \mathbb N$. То есть при одновременном изменении всех чисел на величину $d_f$ будут охвачены все натуральные числа. Но нечетные значения образуются при двух четных чисел, что не возможно для натуральных решений УФ. Поэтому рассматриваем только четные $d_f$. Так как $d_f$ представляет все четные числа, то охвачены все четные степени $f^p$. Второе замечательное свойство $f$ то, что одновременное изменение тройки чисел на $d_f$ не изменяет числа $(c-a), (c-b)$. Теперь можно рассматривать массив чисел $k=(c-a)(c-b)$ со средним значением $p(a+b)R$. Числа ни что иное как вторые разности соседних степеней. И здесь важно понять, что произойдет с массивом при изменении среднего значения с $[p(a+b)R]$ на $[p(a+b)]$.

[ishhan]

lasta в сообщении #1115566 писал(а):

Так как $d_f$ представляет все четные числа, то охвачены все четные степени $f^p$

Уважаемый lasta!
Помимо словесных формул хотелось бы видеть побольше математических, так будет проще воспринимать материал.
И ещё, к сожалению, у вас не встречаются рассмотрения касающиеся взаимной простоты чисел $a,b,c,d_f$.
А так же взаимной простоты чисел $a+b,c-a,c-b, R$.
Так, возможно вам пригодится, могу сообщить, что для тройки $a,b,c$ натуральных чисел попарно взаимно простых
и удовлетворяющих уравнению Ферма следует взаимная простота чисел $(a+b),(c-a),(c-b)$ и числа $R$.
В противном случае $a,b,c$ не попарно взаимно простые.

lasta в сообщении #1115566 писал(а):

Теперь можно рассматривать массив чисел $k=(c-a)(c-b)$ со средним значением $p(a+b)R$.

Тем самым, в моём понимании, вы связываете равенством числа, которые должны быть взаимно простыми, если это не так, то возникают вопросы:
1)По поводу математической формулы.
2)По поводу взаимной простоты.

[lasta]

vasili в сообщении #1114451 писал(а):

Вы пишете "Следует помнить также, что степенью при $p>3$ может быть $pR$"

Это ошибка. Для 2 случая ВТФ $(R,p) = 1$.

Для 1 случая ВТФ $(R,p) = P$, где $R = p^{mP}R_1^p$ и m - число натуральное.

Уважаемый vasili! Спасибо за замечание. В теме не рассматриваются отдельно первый и второй случай теоремы. Имелось в виду, что в общем случае $pR$ может быть степенью.

-- 16.04.2016, 18:36 --

ishhan в сообщении #1115582 писал(а):

возникают вопросы:
1)По поводу математической формулы.
2)По поводу взаимной простоты.

Уважаемый ishhan!
По поводу математической формулы.
Рассмотрим на кубах

$$c^3=1+7+19+37+...+[b^3-(b-1)^3]+...+[(b+1)^3-b^3]+...+[c^3-(c-1)^3]$$

$$c^3=1+\sum_{i=1}^c{V_i}$$

$$b^3=1+\sum_{i=1}^b{V_i}$$

$$V_b=c^3-b^3=[1+\sum_{i=1}^c{V_i}]-[1+\sum_{i=1}^b{V_i}]=\sum_{i=b+1}^c{V_i}$$

Аналогично для $V_f$

$$V_f=a^3-f^3=[1+\sum_{i=1}^a{V_i}]-[1+\sum_{i=1}^f{V_i}]=\sum_{i=f+1}^a{V_i}$$

Тогда

$$W_f=V_b-V_f=\sum_{i=b+1}^c{V_i}-\sum_{i=f+1}^a{V_i}=\sum_{i=b+1}^c[{V_i-V_{i-(c-a)}}],$$

где $V_i$ - разности соседних кубов. Так как любая разность кубов выражается через вторые разности соседних кубов формулой

$$V_j=1+\sum_{i=1}^j{W_i},$$

то

$$W_f=\sum_{i=b+1}^c[{V_i-V_{i-(c-a)}}]=\sum_{j=b+1}^c[\sum_{i=1}^j{W_i}-\sum_{i=1}^j{W_{i-(c-a)}}],\quad \e(13)$$

формула (13) как раз и показывает, что количество вторых разностей соседних кубов $k=(c-a)(c-b)$
По поводу взаимной простаты
Взаимная простата указанных чисел является общеизвестным фактом, поэтому на нем не акцентировалось внимание. Что касается установления взаимной простоты произвольного $d_f$ с другими числами, то устанавливать этот факт не имеет смысла. В числах $(c-a), (c-b)$ число $d_f$ сокращается. А фиксированные числа $(a+b),R$ и произвольное $d_f$ дают любые соотношения.

[krestovski]

lasta в сообщении #1115690 писал(а):

$$c^3=1+\sum_{i=1}^c{V_i}$$

Считаем для $5^3$:

$$5^3=1+\sum_{i=1}^5{V_i}=1+(1+7+19+37+61)=126$$

- И тут я формулы перекручиваю?

lasta в сообщении #1115690 писал(а):

Так как любая разность кубов выражается через вторые разности соседних кубов формулой

$$V_j=1+\sum_{i=1}^j{W_i},$$

Поскольку ряд вторых разностей кубов начинается с числа 6:

$W_1=V_2-V_1=(x^3_3-x^3_2)-(x^3_2-x^3_1)=(8-1)-(1-0)=7-1=6$,

а второе число в ряду первых разностей кубов равно $7$, то я и попробую определить его по предложенной формуле:

$$V_2=1+\sum_{i=1}^2{W_i}=1+(6+12)=19$$

Но число $19$ - это первая разность между двумя соседними кубами: $x^3_4-x^3_3=27-8=19$, - между четвёртым и третьим кубами.

И небольшое замечание: вторых разностей у соседних кубов не бывает.

[krestovski]

(первая часть вопроса снята. удалил. была моя ошибка)
Но вот это остаётся.
Вы пишете:

lasta в сообщении #1115566 писал(а):

Здесь важно понять одно замечательное свойство числа $f$. Пусть

$$f=[(a+d_f)+(b+d_f)-(c+d_f)]=(a+b-c+d_f),$$

где $d_f\in \mathbb N$. То есть при одновременном изменении всех чисел на величину $d_f$ будут охвачены все натуральные числа.

Всё верно, - числа будут охвачены, но нарушены пропорции. Вы нарушаете соотношения величин.
Вот пример:
$6+9-15=0$, но $(6+6) + (9+6) - (15+6) = 6$ или
$8+9-13=4$, но $(8+4) + (9+4) - (13+4) = 8$
В итоге Вы будете оперировать случайными величинами, а ведь у Вас есть строгое требование $E=0$, - от чего зависит значение $f$ и, следовательно, значения $a,b,c$. Вы сами ввели это первоначальное условие.
Что, кстати, имеет и обратную связь. - А будет ли сохраняться условие $E=0$, - после каждого вводимого Вами изменения в расчётах, - для обеспечения "чистоты Вашего исследования равенства без слагаемого $(a^3+b^3-c^3)$?

[ishhan]

lasta в сообщении #1112001 писал(а):

Количество слагаемых, при представлении разности степеней в виде суммы вторых разностей степеней при $E=0$ всегда больше составного числа.

Уважаемый lasta!
Можно ли записать формулу, в которой это количество слагаемых-$K$ выражено через числа $a,b,c $ и заодно записать алгебраический вид составного числа $F$ для которых справедливо $K>F$.
И возможно ли найти при помощи метода спуска другие решения в числовом примере:

$$188^3-180^3-63^3+55^3=90^3$$

в котором вторая разность степеней равна $90^3$
Основная ваша идея понятна, но хорошо бы обрисовать общий план доказательства разбив его на пункты.

[lasta]

ishhan в сообщении #1115920 писал(а):

Основная ваша идея понятна, но хорошо бы обрисовать общий план доказательства разбив его на пункты.

Уважаемый ishhan ! Новую степень $f_n^p$ можно получить из существующей $f^p$ либо одновременным уменьшением всех чисел тройки $(a,b,c)$ на одно и то же число $d_f$, либо сокращением числа делителей степени $f^p$. Второй способ (в отличие от первого) имеет преимущество в том, что оставшиеся после сокращения делители степени $f^p$ не изменяют свою зависимость от начальной тройки чисел $a,b,c$, поэтому условие $E=0$ сохраняется для $f_n^p$.
Далее. Всегда существует составная степень $a^p=a_1^p a_2^p $, которую можно представить через разность степеней, при условии $E=0$. То есть

$$a_1^pa^p_2=V_f+f^p$$

Разделим правую и левую часть на $a_1^p$. Получим

$$ a^p_2=V_{nf}+f_n^p $$

где

$$V_{nf}=\frac {V_f}{a_1^p}=\frac {a^p-f^p}{a_1^p}=a_2^p-f_{n}^p$$

Имеем степень $a_2^p<a^p$, равную разности степеней удовлетворяющей неравенству

$$( V_{nf}+W_{nf})<(V_f+W_f)$$

Где $W_{nf}=f^p_n ;W_f=f^p$ То есть имеем новую тройку степеней меньшую исходной, но в которой также существует составная степень, определяемая разностью степеней(это не обязательно $a_2^p$). Шаг бесконечного спуска получен.

-- 18.04.2016, 07:58 --

ishhan в сообщении #1115920 писал(а):

И возможно ли найти при помощи метода спуска другие решения в числовом примере:

$$188^3-180^3-63^3+55^3=90^3$$

Ваш числовой пример не удовлетворяет условию $E=0$. Бесконечный спуск не возможен. То есть ВТФ верна.

[ishhan]

lasta в сообщении #1116219 писал(а):

Новую степень $f_n^p$ можно получить из существующей $f^p$ либо одновременным уменьшением всех чисел тройки $(a,b,c)$ на одно и то же число $d_f$

Уважаемый lasta!
Рассмотрим ВТФ3, тройка чисел $a-d_f,b-d_f,c-d_f$ подставленная в разложение:
$ (a+b-c)^3-a^3-b^3+c^3=3(a+b)(c-b)(c-a)$ изменит правую и левую часть.
В правой части получим $3(a+b-2d_f)(c-a)(c-b) $, правая часть должна быть кубом для новых чисел поэтому
$a+b-2d_f =q^3$ а было $(a+b)=p^3$ поэтому $p^3-2d_f=q^3$ можно ли рассчитывать, что таким образом получится бесконечное количество новых троек.
Рано или поздно число $q$ станет отрицательным.
Даже если получится найти такое $d_f $ , что $3(a+b-2d_f)(c-a)(c-b)=t^3 $, то это не означает что новые числа $a-d_f,b-d_f,c-d_f$ будут решениями уравнения ВТФ3, это нужно доказать.

[lasta]

ishhan в сообщении #1116236 писал(а):

Рассмотрим ВТФ3, тройка чисел $a-d_f,b-d_f,c-d_f$ подставленная в разложение:
$ (a+b-c)^3-a^3-b^3+c^3=3(a+b)(c-b)(c-a)$ изменит правую и левую часть.

Уважаемый ishhan! Как я уже отметил этот вариант образования бесконечного спуска имеет особенности, которые предстоит объяснить. И он рассматривался как дополнительный к основному, где изначально спуск обеспечивался делением на один из делителей степени $f^p$ . Поэтому предлагаю рассматривать основной вариант, показанный более подробно в последнем сообщении. Хочу обратить Ваше внимание, что все первые и вторые разности степеней рассматриваются как число. Например: - для кубов $V_1=8-1=7; \qquad W_1=(27-8)-(8-1)=12$. Производим все операции с числами $7;\quad 12$. Иначе не возможно получить разложения применяемые в доказательстве из- за сокращения составляющих слагаемых первых и вторых разностей степеней.

[ishhan]

lasta в сообщении #1116219 писал(а):

либо сокращением числа делителей степени $f^p$. Второй способ (в отличие от первого) имеет преимущество в том, что оставшиеся после сокращения делители степени $f^p$ не изменяют свою зависимость от начальной тройки чисел $a,b,c$, поэтому условие $E=0$ сохраняется для $f_n^p$.

Уважаемый lasta!
Рассмотрим другой случай:
$(a+b-c)^3=3(a+b)(c-a)(c-b)=3^3p_1^3p_2^3q^3$
делим правую и левую часть на $p_1^3$ получим:
$ (\frac{a+b-c}{p_1})^3=3^3p_2^3q^3$
пусть $a+b=p_1^3p_2^3$, тогда и $c$ должно делиться на $p_1$ и это очевидно так.
Но как всегда есть одно "но", числа $a$ и $b$, к сожалению, на $p_1$ не делятся.
Таким образом, после первого шага в методе бесконечного спуска мы начинаем использовать рациональные числа, в то время, как обещали иметь дело только с натуральными.
Это одна из ловушек ВТФ в которую попадались многие из нас

[lasta]

ishhan в сообщении #1116379 писал(а):

пусть $a+b=p_1^3p_2^3$, тогда и $c$ должно делиться на $p_1$ и это очевидно так.
Но как всегда есть одно "но", числа $a$ и $b$, к сожалению, на $p_1$ не делятся.

1.Сумма $a+b$ и $c$ не взаимно простые.Имеют общий делитель. При чем здесь числа $a,b$? Они и не должны делиться на делитель составного числа $c$
2.Вы проверяете делимость правой и левой частей справедливого равенства. А в справедливом равенстве, согласно основной теоремы арифметики, все делители в правой части присутствуют и в левой. Я уже приводил эти соотношения по справедливости указанного равенства.
$E=0$, то

$$((a+b)-c)^p=(a-(c-b))^p=(b-(c-a))^p=p(a+b)(c-a)(c-b)R$$

Так, что ни какой ловушки пока не наблюдается. В доказательстве используется делитель составного числа $a$, так как для него определена разность степеней.

[ishhan]

lasta в сообщении #1116389 писал(а):

Так, что ни какой ловушки пока не наблюдается.

Но когда мы делим правую и левую часть тождества $(a+b-c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(c-a)(c-b)$ на число $p^3$, то имеем дело с
числами $\frac{a}{p}, \frac{b}{p},\frac{c}{p}$.
Вот если бы исходная и первая в методе спуска тройки не были линейно связаны, тогда другое дело.
Если, по-вашему, исходная и последующая тройка связаны не линейно, то поясните как, а лучше, напишите формулу из которой это станет ясно.

[lasta]

ishhan в сообщении #1116396 писал(а):

Вот если бы исходная и первая в методе спуска тройки не были линейно связаны, тогда другое дело.

В том то и дело, что эти тройки не имеют линейной связи, кроме одного числа $a$. Есть логическая связь. Смысл такой. Если существует степень $f^p$, то существует другая степень $f_n^p=f^p/a_1^p$. Новая степень состоит из тех же делителей, исключая $a_1^p$. Поэтому для них распространяется условие $E=0$ для исходной тройки чисел $a,b,c$. Новая степень определяет новую вторую разность степеней $W_{nf}$ . Существование второй разности степеней $W_{nf}$ определяет существование новой разности $V_{nf}$. То есть доказано, что степень $a_2^p$ равна разности степеней и только. Но этого достаточно, чтобы логически утверждать, что существует новая тройка чисел меньшая исходной. Более того, в новой тройке число $a_2$ может быть уже не составным, но тогда обязательно существует другое составное число, которое можно представить разностью степеней. Для степени и для разности степеней существуют отдельные разложения по разностям и вторым разностям степеней.