Бесконечный спуск для произвольных натуральных УФ

[lasta]

ishhan в сообщении #1121536 писал(а):

Вы хотите сказать, что вывод о том, что $f=3(a+b)(c-a)(c-b)$ является степенью $3$ можно сделать не используя разложение Тринома и без условия $E=0$?

Уважаемый ishhan! Конечно же разложение тринома на указанные делители рассматривается только при условии $E=0$. Но до этого шага и об этом уже говорилось, производится разложение степени натурального числа $a^p$ на разности и вторые разности степеней. Произвольной степени, но c натуральным основанием. Эта степень еще не приписана к УФ (уравнение Ферма). Такое же разложение производится для произвольной разности двух произвольных степеней натуральных чисел, также не связанных еще с УФ. Откуда здесь могут появиться иррациональные числа? Все числа разложения (4.W) натуральные. Следует также отметить, что количество столбцов во второй разности степеней $W$ равно $b$ (основание вычитаемой степени). Только после получения указанных натуральных разложений начинается их анализ. Возьмите произвольную разность кубов и заполните в (4.W) слагаемое $W$ вторыми разностями соседних кубов, начиная с $w_1=6$. Здесь нет места для иррациональных чисел. Основание степени $a_1^p$ является нвтуральным, так как исследуется составная степень $a^p=a_1^pa_2^p$, что согласуется с формулами Абеля.

[lasta]

lasta в сообщении #1121667 писал(а):

Следует также отметить, что количество столбцов во второй разности степеней $W$ равно $b$ (основание вычитаемой степени).

К этому можно добавить интересное свойство системы последовательностей $4.W$ вторых разностей соседних степеней:
- сумма вторых разностей соседних степеней любого столбца слагаемого $W$ в формуле $4.W$ делится на $c-b=d$
- сумма вторых разностей соседних степеней любой строки слагаемого $W$ в формуле $4.W$ делится на $b$.
Доказывается тем, что для всех $p$ сумма любого интервала последовательностей вторых разностей соседних степеней делится на их количество в данном интервале.

[ishhan]

Уважаемый lasta!
Возвращаясь к пройденному, хотелось бы дополнительных пояснений: из каких соображений появилось число $R$.
Можно ли на данном этапе считать его натуральным?

lasta в сообщении #1111729 писал(а):

$a,b,c$ - произвольные натуральные числа;
$V_i$ - первая разность степеней $V_f=a^p-f^p; \qquad V_b=c^p-b^p \qquad \e(1)$
$W_i$ - вторая разность сnепеней $W_f=V_b-V_f \qquad\qquad \qquad \qquad \e(2) $
$E$ - Если теорема верна, то $E=a^p+b^p-c^p\ne 0$.
$f$ - натуральное число,-$f=(a+b-c)\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\e(4)$
$R$ - натуральное число, - $R=f^p/[p(a+b)(c-a)(c-b) ]\qquad \e(3)$

И ещё раз поводу логической связи:

lasta в сообщении #1116405 писал(а):

В том то и дело, что эти тройки не имеют линейной связи, кроме одного числа $a$. Есть логическая связь. Смысл такой. Если существует степень $f^p$, то существует другая степень $f_n^p=f^p/a_1^p$. Новая степень состоит из тех же делителей, исключая $a_1^p$. Поэтому для них распространяется условие $E=0$ для исходной тройки чисел $a,b,c$. Новая степень определяет новую вторую разность степеней $W_{nf}$ . Существование второй разности степеней $W_{nf}$ определяет существование новой разности $V_{nf}$. То есть доказано, что степень $a_2^p$ равна разности степеней и только. Но этого достаточно, чтобы логически утверждать, что существует новая тройка чисел меньшая исходной. Более того, в новой тройке число $a_2$ может быть уже не составным, но тогда обязательно существует другое составное число, которое можно представить разностью степеней. Для степени и для разности степеней существуют отдельные разложения по разностям и вторым разностям степеней.

Пока остаюсь при своём мнении: в этом логическом доказательстве не достаточно аргументации для того, что бы считать новую тройку целочисленной.
Более того, те соображения которые приводятся в качестве аргументов, входят в перечень типичных ошибок в логических доказательствах, с которыми можно ознакомиться http://psylib.org.ua/books/ivina01/txt10.htm

[lasta]

Исправим опечатки по индексам в (4.W) Правильно

$$\begin{matrix} C^p-b^p=V_b=d^p+ \end{matrix} \begin{bmatrix} w_1+w_2+w_3+…+w_{b+0}\\ w_2+w_3+w_4+…+w_{b+1}\\ w_3+w_4+w_5+…+w_{b+2}\\ .........................................\\ w_d+w_{1+d}+.....+w_{b-1+d} \end{bmatrix}=d^p+W\quad (4.W)$$

ishhan в сообщении #1122085 писал(а):

в этом логическом доказательстве не достаточно аргументации для того, что бы считать новую тройку целочисленной.

Уважаемый ishhan!
Прежде чем ответить на ваши вопросы, представляю косвенный ответ
Выполняя условие $V_f=a^p-f^p$, разобьем по вертикали систему последовательностей $W$ в (4.W)

$$V_b=V_f+W_f=d^p+ \begin{bmatrix} w_1+w_2+ …..+w_{f+0}\\ w_2+w_3+ …..+w_{f+1}\\ w_3+w_4+ …..+w_{f+2}\\ .......................................\\ w_d+w_{1+d}+...+w_{f-1+d} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} w_{f+1}+w_{f+2}+ …+w_{b+0}\\ w_{f+2}+w_{f+3}+ …+w_{b+1}\\ w_{f+3}+w_{f+4}+ …+w_{b+2}\\ .........................................\\ w_{f+d}+w_{f+1+d}+...+w_{b-1+d} \end{bmatrix} \quad (5.W)$$

Где

$$V_f=d^p+ \begin{bmatrix} w_1+w_2+ …..+w_{f+0}\\ w_2+w_3+ …..+w_{f+1}\\ w_3+w_4+ …..+w_{f+2}\\ .......................................\\ w_d+w_{1+d}+...+w_{f-1+d} \end{bmatrix}; \qquad W_f= \begin{bmatrix} w_{f+1}+w_{f+2}+ …+w_{b+0}\\ w_{f+2}+w_{f+3}+ …+w_{b+1}\\ w_{f+3}+w_{f+4}+ …+w_{b+2}\\ .........................................\\ w_{f+d}+w_{f+1+d}+...+w_{b-1+d} \end{bmatrix}\quad (6.W)$$

Исходя из равенства $W=c^p-b^p-(c-b)^p$, справедливого для любого количества строк и столбцов, делаем вывод, что выражение в квадратных скобках для $V_f $ делится на $(c-b)=d$ на $f$ и на $p$, а $W_f$ делится на $d$ на $(b-f)=(c-a)$ и на $p$. Все числа в (6.W) натуральные. Вспомним, что степень можно выразить формулой $a^p=(a^p-f^p)+f^p=V_f+f^p$. Следовательно, если степень равна разности степеней, то $f^p=W_f$. В этом случае степень и разность степеней будут иметь одинаковые структуры чисел, определяемые (5.W). Это важный момент, поэтому пока остановимся.

[lasta]

ishhan в сообщении #1117838 писал(а):

Вот если бы вы построили структуру элементы которой имеют свойства группы...

Уважаемый ishhan! Системы последовательностей вторых разностей соседних степеней (4.W), (5.W), (6.W) базируется на использовании свойств двух групп степеней $(1^p,...b^p)$ и $(1^p,...,c^p)$. С помощью всех значений степеней в этих двух группах определяются вторые разности соседних степеней $w$, которые формируют вторые разности степеней для шага $(d=c-b)$. Эти вторые разности образуют столбцы в квадратных скобках (4.W), (5.W), (6.W).

[ishhan]

lasta в сообщении #1123293 писал(а):

Системы последовательностей вторых разностей соседних степеней (4.W), (5.W), (6.W) базируется на использовании свойств двух групп степеней $(1^p,...b^p)$ и $(1^p,...,c^p)$.

Уважаемый lasta!
Необходимые сведения по группам, кольцам и полям можно посмотреть http://mathhelpplanet.com/static.php?p=gruppy-koltsa-polya-v-matematike
По поводу "Бесконечного спуска для произвольных натуральных УФ", лично моё мнение, это ветвь лабиринта ВТФ по которой прошли многие и в которую не имеет смысла погружаться ещё дальше.
Удачи в новых темах.

[lasta]

ishhan в сообщении #1123455 писал(а):

это ветвь лабиринта ВТФ по которой прошли многие и в которую не имеет смысла погружаться ещё дальше.

Уважаемый ishhan! Полностью согласен с Вами при условии, что истина, лежащая на поверхности, не является истиной.
Доказательство бесконечного спуска в данной теме основано на утверждении, что существует новая разность степеней меньшая исходной. Поэтому важно оценить только верность доказательства этого утверждения, изложенного ниже.
1. Для непрерывных функций, составная степень в виде произведения двух степеней с равными показателями, геометрически имеют одинаковый порядок параболы, с параболами для составляющих ее степеней.
2. Вторые разности степеней (W) и (W_f) в формуле (6.W) можно также представить геометрически в виде последовательности вторых разностей степеней с шагом $d$ (значений составляющих ее столбцов). При этом значения вторых разностей степеней с шагом $d$ будут принадлежать параболе определенного порядка. Для кубов она вырождается в прямую.
3. Если ВТФ не верна то $W_f=f^p=m^p_1a^p_1$. То есть степень $f^p$ геометрически выражается через последовательность вторых разностей степеней с шагом $d$ для $W_f$, значения которых принадлежат параболе.
4. Но согласно п.1 последовательность вторых разностей степеней с шагом $d$ составляющая степень $m^p_1$, будет принадлежать параболе такого же порядка, как и парабола для $f^p$.
5. Часть параболы, к которой принадлежат точки последовательности вторых разностей степеней с шагом $d$ для $(W_f)$, является частью параболы для последовательности вторых разностей степеней с шагом $d$ для второй разности степеней (W) в формуле (4.W).
6. Если ВТФ не верна, то предполагаемая новая разность степеней согласно п.1,….,п.5 будет иметь формулу разложения на вторые разности соседних степеней $V_{nb}=d_1^p+W_1$, где $d_1=(c-b)^p/a_1^p$, а $W_1$ является аналогом $W$ в формуле (4.W) с изменением лишь пределов разложения. То есть предполагаемая новая разность степеней будет иметь все свойства разности степеней $V_b$ и действительно будет иметь статус разности степеней.
7.Следовательно, существует новая тройка решения, со всеми свойствами исходной тройки. А именно, числа тройки будут составными, что обеспечивает бесконечный спуск.

[ishhan]

Уважаемый lasta!
Вы так и не дали никаких пояснений по поводу появления в теме натурального числа $R$, и его принадлежности к натуральным числам.

ishhan в сообщении #1123455 писал(а):

Возвращаясь к пройденному, хотелось бы дополнительных пояснений: из каких соображений появилось число $R$.
Можно ли на данном этапе считать его натуральным?

lasta в сообщении #1111729

писал(а):
$a,b,c$ - произвольные натуральные числа;
$V_i$ - первая разность степеней $V_f=a^p-f^p; \qquad V_b=c^p-b^p \qquad \e(1)$
$W_i$ - вторая разность сnепеней $W_f=V_b-V_f \qquad\qquad \qquad \qquad \e(2) $
$E$ - Если теорема верна, то $E=a^p+b^p-c^p\ne 0$.
$f$ - натуральное число,-$f=(a+b-c)\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\e(4)$
$R$ - натуральное число, - $R=f^p/[p(a+b)(c-a)(c-b) ]\qquad \e(3)$

С этого важного момента начинается "предполагаемое доказательство".

[lasta]

lasta в сообщении #1123657 писал(а):

1. Для непрерывных функций,

Не корректно. Правильно - для дискретных функций.

ishhan в сообщении #1123736 писал(а):

хотелось бы дополнительных пояснений: из каких соображений появилось число $R$.
Можно ли на данном этапе считать его натуральным?

Уважаемый ishhan !
Если ВТФ не верна, то $R$ является одним из делителей степени $f^p$. Степень рассматривается в виде следующего произведения $f^p=m_1^pa_1^p$. Делитель $R$ в составе степени $m_1^p$. Все делители натуральные числа, так как числа тройки $a,b,c$ степени $f^p=(a+b-c)^p$ - натуральные. Рассматривать отдельно свойства числа $R$, равного сумме слагаемых определенного многочлена, нет необходимости.

[ishhan]

lasta в сообщении #1123880 писал(а):

Рассматривать отдельно свойства числа $R$, равного сумме слагаемых определенного многочлена, нет необходимости.

Уважаемый lasta!
Конкретный вид многочлена $R$ можно и не рассматривать, но то, что $f^p$ делится на$ (a+b)(c-b)(c-a)$ нужно доказывать или указывать ссылку откуда это взято. А взято это из разложения Тринома.
В том виде, в котором записана в формула (3), без предположения $E=0$ это не верно, возможно это неисправленная опечатка.
Но собака зарыта глубже.

При помощи разложения Тринома, которое появилось у вас непонятно из каких соображений, делается главный вывод о том, что правая часть Тринома является степенью $f^p$при условии $E=0$.
Действительно, этот факт можно использовать для доказательства первого случая ВТФ3 по схеме от противного.
То есть, предполагается верность антитезиса, который в данном случае звучит как: для натуральных чисел $a,b,c$ не кратных показателю степени 3 существует решение уравнения $a^3+b^3=c^3$.
Но из алгебраического вида Тринома для третьей степени и условий целостности его правой части вытекает следствие противоположное антитезису: одно из чисел $a,b,c$ должно делиться на $3$.
Следствие из антитезиса о том, что существует степень меньшая чем $f^3$ уже никак не противоречит антитезису и поэтому является ложным, поскольку базируется на ложном предположении.
В дальнейшем ссылаться на следствие о существовании меньшей целой степени уже нельзя.
Так рассуждения о том что, если существует меньшая целая степень $f_1^p$, то существует и разность степеней уже базируется на ложном аргументе и поэтому не имеют смысла.
Цитирую ссылку по поводу ошибок в логических доказательствах, которую я присылал ранее:
"Избежать ошибок, связанных с аргументами доказательства, помогает выполнение следующих трех простых требований:

1)в качестве аргументов следует использовать только истинные утверждения;
2)их истинность должна устанавливаться независимо от тезиса;
3)в своей совокупности аргументы должны быть достаточными для того, чтобы из них с логической необходимостью вытекал тезис."

[lasta]

ishhan в сообщении #1123922 писал(а):

но то, что $f^p$ делится на$ (a+b)(c-b)(c-a)$ нужно доказывать или указывать ссылку откуда это взято. А взято это из разложения Тринома.
В том виде, в котором записана в формула (3), без предположения $E=0$ это не верно,

Уважаемый ishhan! Очевидность, что $f^p$ делится на$ (a+b)(c-b)(c-a)$ при $E=0$ была показана ранее и не один раз. Без предположения $E=0$ это не верно. Правильно, но зачем нам рассматривать этот вариант, сразу подтверждающий справедливость ВТФ.

lasta в сообщении #1116389 писал(а):

Я уже приводил эти соотношения по справедливости указанного равенства.
$E=0$, то

$$((a+b)-c)^p=(a-(c-b))^p=(b-(c-a))^p=p(a+b)(c-a)(c-b)R$$

Не понятно также, зачем необходимо рассматривать первый и второй случаи теоремы. Показатель степени даже не показан в качестве делителя $f$. Степень рассматривается в виде произведения всего двух множителей$f^p=m_1^pa_1^p$. Об этом тоже говорилось неоднократно.

[ishhan]

Уважаемый lasta!
В своём первом сообщении по этой теме, в самом начале его вы пишете:

lasta в сообщении #1111729 писал(а):

В предыдущей теме отсутствуют новый подход к проблеме, который основательно меняет прежнюю попытку применить бесконечный спуск в ВТФ.
Бесконечный спуск на первый взгляд является простым методом доказательств сложных утверждений. Но его создал Ферма.
Поэтому введем несколько правил прежде, чем запустить этот механизм в дело.
Правило 1. Изначально не делать предположения о существовании тройки решения уравнения Ферма, для создания каких либо формул по соотношениям между числами. Сначала формулы, а потом выводы.
Правило 2. Работать только с натуральными числами. Не допускать в формулах неопределенные числа типа,- может быть натуральным, либо иррациональным.
Обозначения и определения:
$a,b,c$ - произвольные натуральные числа;
$V_i$ - первая разность степеней $V_f=a^p-f^p; \qquad V_b=c^p-b^p \qquad \e(1)$
$W_i$ - вторая разность сnепеней $W_f=V_b-V_f \qquad\qquad \qquad \qquad \e(2) $
$E$ - Если теорема верна, то $E=a^p+b^p-c^p\ne 0$.
$f$ - натуральное число,-$f=(a+b-c)\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\e(4)$
$R$ - натуральное число, - $R=f^p/[p(a+b)(c-a)(c-b) ]\qquad \e(3)$
Степени:
$a^p=[a^p-(a+b-c)^p]+ (a+b-c)^p; \quad \text {с учетом (1),(5)}\quad a^p=V_f+f^p \quad \e(5)$
$f^p= p(a+b)(c-a)(c-b)R+E \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\e(6)$
$\text {(с учетом (5),(6))}a^p =V_f+ p(a+b)(c-a)(c-b)R+E \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\e(7) $
Теорема верна, если $E\ne 0$. Если $E= 0$, то теорема неверна и $a$ принадлежит тройки решения уравнения Ферма.
Разность степеней
$ V_b=V_f+[V_b-V_f]\text {с учетом (2)}\qquad V_b=V_f +[W_f] \qquad\e(8) $.
Исходное равенство
$ a^p=V_b+E; \qquad \text {с учетом (8)} \qquad a^p=V_f+W_f+E \qquad\e(9)$
Если теорема верна, то $E\ne 0$. И обратное если $E= 0$ то теорема неверна

Сразу бросается в глаза, что $R$-натуральное число, появляется самым неестественным способом и раньше времени.
Сначала необходимо было привести "тождество":

$(x+y-z)^p-x^p-y^p+z^p=p(x+y)(z-x)(z-y)W^{p-3}(x,y,-z)$

где $p$-простое число
и отметить, что $W^{p-3}(x,y,-z)$ -симметрический многочлен от трёх переменных, с целочисленными коэффициентами, степени $p-3$, содержания единица.
И указать ссылку на то, что этот широко известный факт упомянут там-то и там-то. Так как, вовсе не очевидно, что: $(x+y-z)^p-x^p-y^p+z^p$-разлагается в произведение таких алгебраических сомножителей. В алгебре формулу $(x+y+z)^p-x^p-y^p-z^p$ называют: "ноль характеристики p от трёх переменных" и её мультипликативный вид или разложение на множители мало где упоминается.
У Вас же появляется то, что я называю "тождеством" , как следствие формул $(5) и (6)$ при этом формула $(3)$ не упоминается, почему-то?
Кстати, заметим немаловажный момент: значение $R$- всегда натуральное число. Выполняется ВТФ или нет-совершенно не важно.
Так как, при натуральных значениях $x=a, y=b, z=c$
R=W^{p-3}(a,b,-c), а $W^{p-3}(a,b,-c)$- симметрический многочлен от трёх переменных с целочисленными коэффициентами чётной степени.
Так можно привести два примера:

$x=a, y=0, z=0 $число $ R=W^{p-3}(a,0,0)=a^{p-3}$

$x=a, y=-a, z=0$ число $ R=W^{p-3}(a,-a,0)=a^{p-3}$

в которых число R принимает одно и то же значение, так как у $W^{p-3}(a,b,c)$ имеется свойство:

$ W^{p-3}(a,b,c)=W^{p-3}(s,b,c)=W^{p-3}(a,s,c)=W^{p-3}(a,b,s)$

где $s=-a-b-c$
Из формулы $(3)$ совсем не следует, что $R=a^{p-3}$ при этих значениях $a,b,c$, причём во втором примере тройка чисел $a,-a,0 $-удовлетворяет уравнению Ферма, а в первом примере тройка $a=a,b=0,c=0$- не удовлетворяет уравнению Ферма.
Дальше больше.

[lasta]

ishhan в сообщении #1128137 писал(а):

Сначала необходимо было привести "тождество": $(x+y-z)^p-x^p-y^p+z^p=p(x+y)(z-x)(z-y)W^{p-3}(x,y,-z)$
где $p$-простое число

Уважаемый ishhan! Спасибо за подробный анализ числа $R$. Но это число является одним из делителей $m_1^p$ и в доказательстве отдельно от этой степени не рассматривается

$$(a-(c-b))^p=a_1^pm_1^p$$

Это очевидно, так как $a=a_1a_2$. А разность $c-b$ при $E=0$ всегда делиться на $a_1$. Указанной ранее перегруппировкой доказывается существование всех делителей степени $f^p$. Но используется в доказательстве только равенство

$$f^p=a_1^pm_1^p$$

[ishhan]

Уважаемый lasta!
Что можно сказать о применимости метода бесконечного спуска к похожему уравнению:

$$a^3+b^3-c^3=a+b-c$$

Или с учётом тождества:

$3(a+b)(c-b)(c-a)+a+b-c=(a+b-c)^3$

В этом уравнении содержатся те же алгебраические числа и "статусы" этих чисел так же определяются через разность и вторую разность степеней.
Напишите пару определений, если не затруднит, про "статус" степени.

[doktor BTF]

ishhan в сообщении #1133207 писал(а):

Что можно сказать о применимости метода бесконечного спуска к похожему уравнению:

$$a^3+b^3-c^3=a+b-c$$

Ничего - он здесь неприменим, так как ур-ние имеет бесконечно много решений.