2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10  След.
 
 Re: Бесконечный спуск для произвольных натуральных УФ
Сообщение06.05.2016, 21:38 


10/08/11
671
ishhan в сообщении #1121536 писал(а):
Вы хотите сказать, что вывод о том, что $f=3(a+b)(c-a)(c-b)$ является степенью $3$ можно сделать не используя разложение Тринома и без условия $E=0$?

Уважаемый ishhan! Конечно же разложение тринома на указанные делители рассматривается только при условии $E=0$. Но до этого шага и об этом уже говорилось, производится разложение степени натурального числа $a^p$ на разности и вторые разности степеней. Произвольной степени, но c натуральным основанием. Эта степень еще не приписана к УФ (уравнение Ферма). Такое же разложение производится для произвольной разности двух произвольных степеней натуральных чисел, также не связанных еще с УФ. Откуда здесь могут появиться иррациональные числа? Все числа разложения (4.W) натуральные. Следует также отметить, что количество столбцов во второй разности степеней $W$ равно $b$ (основание вычитаемой степени). Только после получения указанных натуральных разложений начинается их анализ. Возьмите произвольную разность кубов и заполните в (4.W) слагаемое $W$ вторыми разностями соседних кубов, начиная с $w_1=6$. Здесь нет места для иррациональных чисел. Основание степени $a_1^p$ является нвтуральным, так как исследуется составная степень $a^p=a_1^pa_2^p$, что согласуется с формулами Абеля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечный спуск для произвольных натуральных УФ
Сообщение08.05.2016, 07:36 


10/08/11
671
lasta в сообщении #1121667 писал(а):
Следует также отметить, что количество столбцов во второй разности степеней $W$ равно $b$ (основание вычитаемой степени).

К этому можно добавить интересное свойство системы последовательностей $4.W$ вторых разностей соседних степеней:
- сумма вторых разностей соседних степеней любого столбца слагаемого $W$ в формуле $4.W$ делится на $c-b=d$
- сумма вторых разностей соседних степеней любой строки слагаемого $W$ в формуле $4.W$ делится на $b$.
Доказывается тем, что для всех $p$ сумма любого интервала последовательностей вторых разностей соседних степеней делится на их количество в данном интервале.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечный спуск для произвольных натуральных УФ
Сообщение08.05.2016, 20:17 


21/11/10
530
Уважаемый lasta!
Возвращаясь к пройденному, хотелось бы дополнительных пояснений: из каких соображений появилось число $R$.
Можно ли на данном этапе считать его натуральным?

lasta в сообщении #1111729 писал(а):
$a,b,c$ - произвольные натуральные числа;
$V_i$ - первая разность степеней $V_f=a^p-f^p; \qquad V_b=c^p-b^p \qquad \e(1)$
$W_i$ - вторая разность сnепеней $W_f=V_b-V_f \qquad\qquad \qquad  \qquad  \e(2) $
$E$ - Если теорема верна, то $E=a^p+b^p-c^p\ne 0$.
$f$ - натуральное число,-$f=(a+b-c)\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\e(4)$
$R$ - натуральное число, - $R=f^p/[p(a+b)(c-a)(c-b) ]\qquad \e(3)$

И ещё раз поводу логической связи:
lasta в сообщении #1116405 писал(а):
В том то и дело, что эти тройки не имеют линейной связи, кроме одного числа $a$. Есть логическая связь. Смысл такой. Если существует степень $f^p$, то существует другая степень $f_n^p=f^p/a_1^p$. Новая степень состоит из тех же делителей, исключая $a_1^p$. Поэтому для них распространяется условие $E=0$ для исходной тройки чисел $a,b,c$. Новая степень определяет новую вторую разность степеней $W_{nf}$ . Существование второй разности степеней $W_{nf}$ определяет существование новой разности $V_{nf}$. То есть доказано, что степень $a_2^p$ равна разности степеней и только. Но этого достаточно, чтобы логически утверждать, что существует новая тройка чисел меньшая исходной. Более того, в новой тройке число $a_2$ может быть уже не составным, но тогда обязательно существует другое составное число, которое можно представить разностью степеней. Для степени и для разности степеней существуют отдельные разложения по разностям и вторым разностям степеней.

Пока остаюсь при своём мнении: в этом логическом доказательстве не достаточно аргументации для того, что бы считать новую тройку целочисленной.
Более того, те соображения которые приводятся в качестве аргументов, входят в перечень типичных ошибок в логических доказательствах, с которыми можно ознакомиться http://psylib.org.ua/books/ivina01/txt10.htm

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечный спуск для произвольных натуральных УФ
Сообщение09.05.2016, 06:48 


10/08/11
671
Исправим опечатки по индексам в (4.W) Правильно
$$\begin{matrix} 

C^p-b^p=V_b=d^p+
\end{matrix}
\begin{bmatrix}
w_1+w_2+w_3+…+w_{b+0}\\
w_2+w_3+w_4+…+w_{b+1}\\
w_3+w_4+w_5+…+w_{b+2}\\
.........................................\\
w_d+w_{1+d}+.....+w_{b-1+d}
\end{bmatrix}=d^p+W\quad (4.W)$$

ishhan в сообщении #1122085 писал(а):
в этом логическом доказательстве не достаточно аргументации для того, что бы считать новую тройку целочисленной.

Уважаемый ishhan!
Прежде чем ответить на ваши вопросы, представляю косвенный ответ
Выполняя условие $V_f=a^p-f^p$, разобьем по вертикали систему последовательностей $W$ в (4.W)
$$V_b=V_f+W_f=d^p+
\begin{bmatrix}
w_1+w_2+ …..+w_{f+0}\\
w_2+w_3+ …..+w_{f+1}\\
w_3+w_4+ …..+w_{f+2}\\
.......................................\\
w_d+w_{1+d}+...+w_{f-1+d}
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
w_{f+1}+w_{f+2}+ …+w_{b+0}\\
w_{f+2}+w_{f+3}+ …+w_{b+1}\\
w_{f+3}+w_{f+4}+ …+w_{b+2}\\
.........................................\\
w_{f+d}+w_{f+1+d}+...+w_{b-1+d}
\end{bmatrix}
\quad (5.W)$$
Где
$$V_f=d^p+
\begin{bmatrix}
w_1+w_2+ …..+w_{f+0}\\
w_2+w_3+ …..+w_{f+1}\\
w_3+w_4+ …..+w_{f+2}\\
.......................................\\
w_d+w_{1+d}+...+w_{f-1+d}
\end{bmatrix};
\qquad
W_f=
\begin{bmatrix}
w_{f+1}+w_{f+2}+ …+w_{b+0}\\
w_{f+2}+w_{f+3}+ …+w_{b+1}\\
w_{f+3}+w_{f+4}+ …+w_{b+2}\\
.........................................\\
w_{f+d}+w_{f+1+d}+...+w_{b-1+d}
\end{bmatrix}\quad (6.W)$$
Исходя из равенства $W=c^p-b^p-(c-b)^p$, справедливого для любого количества строк и столбцов, делаем вывод, что выражение в квадратных скобках для $V_f $ делится на $(c-b)=d$ на $f$ и на $p$, а $W_f$ делится на $d$ на $(b-f)=(c-a)$ и на $p$. Все числа в (6.W) натуральные. Вспомним, что степень можно выразить формулой $a^p=(a^p-f^p)+f^p=V_f+f^p$. Следовательно, если степень равна разности степеней, то $f^p=W_f$. В этом случае степень и разность степеней будут иметь одинаковые структуры чисел, определяемые (5.W). Это важный момент, поэтому пока остановимся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечный спуск для произвольных натуральных УФ
Сообщение13.05.2016, 10:51 


10/08/11
671
ishhan в сообщении #1117838 писал(а):
Вот если бы вы построили структуру элементы которой имеют свойства группы...

Уважаемый ishhan! Системы последовательностей вторых разностей соседних степеней (4.W), (5.W), (6.W) базируется на использовании свойств двух групп степеней $(1^p,...b^p)$ и $(1^p,...,c^p)$. С помощью всех значений степеней в этих двух группах определяются вторые разности соседних степеней $w$, которые формируют вторые разности степеней для шага $(d=c-b)$. Эти вторые разности образуют столбцы в квадратных скобках (4.W), (5.W), (6.W).

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечный спуск для произвольных натуральных УФ
Сообщение13.05.2016, 23:18 


21/11/10
530
lasta в сообщении #1123293 писал(а):
Системы последовательностей вторых разностей соседних степеней (4.W), (5.W), (6.W) базируется на использовании свойств двух групп степеней $(1^p,...b^p)$ и $(1^p,...,c^p)$.

Уважаемый lasta!
Необходимые сведения по группам, кольцам и полям можно посмотреть http://mathhelpplanet.com/static.php?p=gruppy-koltsa-polya-v-matematike
По поводу "Бесконечного спуска для произвольных натуральных УФ", лично моё мнение, это ветвь лабиринта ВТФ по которой прошли многие и в которую не имеет смысла погружаться ещё дальше.
Удачи в новых темах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечный спуск для произвольных натуральных УФ
Сообщение15.05.2016, 10:25 


10/08/11
671
ishhan в сообщении #1123455 писал(а):
это ветвь лабиринта ВТФ по которой прошли многие и в которую не имеет смысла погружаться ещё дальше.

Уважаемый ishhan! Полностью согласен с Вами при условии, что истина, лежащая на поверхности, не является истиной.
Доказательство бесконечного спуска в данной теме основано на утверждении, что существует новая разность степеней меньшая исходной. Поэтому важно оценить только верность доказательства этого утверждения, изложенного ниже.
1. Для непрерывных функций, составная степень в виде произведения двух степеней с равными показателями, геометрически имеют одинаковый порядок параболы, с параболами для составляющих ее степеней.
2. Вторые разности степеней (W) и (W_f) в формуле (6.W) можно также представить геометрически в виде последовательности вторых разностей степеней с шагом $d$ (значений составляющих ее столбцов). При этом значения вторых разностей степеней с шагом $d$ будут принадлежать параболе определенного порядка. Для кубов она вырождается в прямую.
3. Если ВТФ не верна то $W_f=f^p=m^p_1a^p_1$. То есть степень $f^p$ геометрически выражается через последовательность вторых разностей степеней с шагом $d$ для $W_f$, значения которых принадлежат параболе.
4. Но согласно п.1 последовательность вторых разностей степеней с шагом $d$ составляющая степень $m^p_1$, будет принадлежать параболе такого же порядка, как и парабола для $f^p$.
5. Часть параболы, к которой принадлежат точки последовательности вторых разностей степеней с шагом $d$ для $(W_f)$, является частью параболы для последовательности вторых разностей степеней с шагом $d$ для второй разности степеней (W) в формуле (4.W).
6. Если ВТФ не верна, то предполагаемая новая разность степеней согласно п.1,….,п.5 будет иметь формулу разложения на вторые разности соседних степеней $V_{nb}=d_1^p+W_1$, где $d_1=(c-b)^p/a_1^p$, а $W_1$ является аналогом $W$ в формуле (4.W) с изменением лишь пределов разложения. То есть предполагаемая новая разность степеней будет иметь все свойства разности степеней $V_b$ и действительно будет иметь статус разности степеней.
7.Следовательно, существует новая тройка решения, со всеми свойствами исходной тройки. А именно, числа тройки будут составными, что обеспечивает бесконечный спуск.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечный спуск для произвольных натуральных УФ
Сообщение15.05.2016, 19:10 


21/11/10
530
Уважаемый lasta!
Вы так и не дали никаких пояснений по поводу появления в теме натурального числа $R$, и его принадлежности к натуральным числам.
ishhan в сообщении #1123455 писал(а):
Возвращаясь к пройденному, хотелось бы дополнительных пояснений: из каких соображений появилось число $R$.
Можно ли на данном этапе считать его натуральным?

lasta в сообщении #1111729

писал(а):
$a,b,c$ - произвольные натуральные числа;
$V_i$ - первая разность степеней $V_f=a^p-f^p; \qquad V_b=c^p-b^p \qquad \e(1)$
$W_i$ - вторая разность сnепеней $W_f=V_b-V_f \qquad\qquad \qquad  \qquad  \e(2) $
$E$ - Если теорема верна, то $E=a^p+b^p-c^p\ne 0$.
$f$ - натуральное число,-$f=(a+b-c)\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\e(4)$
$R$ - натуральное число, - $R=f^p/[p(a+b)(c-a)(c-b) ]\qquad \e(3)$

С этого важного момента начинается "предполагаемое доказательство".

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечный спуск для произвольных натуральных УФ
Сообщение16.05.2016, 11:55 


10/08/11
671
lasta в сообщении #1123657 писал(а):
1. Для непрерывных функций,

Не корректно. Правильно - для дискретных функций.
ishhan в сообщении #1123736 писал(а):
хотелось бы дополнительных пояснений: из каких соображений появилось число $R$.
Можно ли на данном этапе считать его натуральным?

Уважаемый ishhan !
Если ВТФ не верна, то $R$ является одним из делителей степени $f^p$. Степень рассматривается в виде следующего произведения $f^p=m_1^pa_1^p$. Делитель $R$ в составе степени $m_1^p$. Все делители натуральные числа, так как числа тройки $a,b,c$ степени $f^p=(a+b-c)^p$ - натуральные. Рассматривать отдельно свойства числа $R$, равного сумме слагаемых определенного многочлена, нет необходимости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечный спуск для произвольных натуральных УФ
Сообщение16.05.2016, 14:33 


21/11/10
530
lasta в сообщении #1123880 писал(а):
Рассматривать отдельно свойства числа $R$, равного сумме слагаемых определенного многочлена, нет необходимости.


Уважаемый lasta!
Конкретный вид многочлена $R$ можно и не рассматривать, но то, что $f^p$ делится на$ (a+b)(c-b)(c-a)$ нужно доказывать или указывать ссылку откуда это взято. А взято это из разложения Тринома.
В том виде, в котором записана в формула (3), без предположения $E=0$ это не верно, возможно это неисправленная опечатка.
Но собака зарыта глубже.

При помощи разложения Тринома, которое появилось у вас непонятно из каких соображений, делается главный вывод о том, что правая часть Тринома является степенью $f^p$при условии $E=0$.
Действительно, этот факт можно использовать для доказательства первого случая ВТФ3 по схеме от противного.
То есть, предполагается верность антитезиса, который в данном случае звучит как: для натуральных чисел $a,b,c$ не кратных показателю степени 3 существует решение уравнения $a^3+b^3=c^3$.
Но из алгебраического вида Тринома для третьей степени и условий целостности его правой части вытекает следствие противоположное антитезису: одно из чисел $a,b,c$ должно делиться на $3$.
Следствие из антитезиса о том, что существует степень меньшая чем $f^3$ уже никак не противоречит антитезису и поэтому является ложным, поскольку базируется на ложном предположении.
В дальнейшем ссылаться на следствие о существовании меньшей целой степени уже нельзя.
Так рассуждения о том что, если существует меньшая целая степень $f_1^p$, то существует и разность степеней уже базируется на ложном аргументе и поэтому не имеют смысла.
Цитирую ссылку по поводу ошибок в логических доказательствах, которую я присылал ранее:
"Избежать ошибок, связанных с аргументами доказательства, помогает выполнение следующих трех простых требований:

1)в качестве аргументов следует использовать только истинные утверждения;
2)их истинность должна устанавливаться независимо от тезиса;
3)в своей совокупности аргументы должны быть достаточными для того, чтобы из них с логической необходимостью вытекал тезис."

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечный спуск для произвольных натуральных УФ
Сообщение29.05.2016, 10:25 


10/08/11
671
ishhan в сообщении #1123922 писал(а):
но то, что $f^p$ делится на$ (a+b)(c-b)(c-a)$ нужно доказывать или указывать ссылку откуда это взято. А взято это из разложения Тринома.
В том виде, в котором записана в формула (3), без предположения $E=0$ это не верно,

Уважаемый ishhan! Очевидность, что $f^p$ делится на$ (a+b)(c-b)(c-a)$ при $E=0$ была показана ранее и не один раз. Без предположения $E=0$ это не верно. Правильно, но зачем нам рассматривать этот вариант, сразу подтверждающий справедливость ВТФ.
lasta в сообщении #1116389 писал(а):
Я уже приводил эти соотношения по справедливости указанного равенства.
$E=0$, то $$((a+b)-c)^p=(a-(c-b))^p=(b-(c-a))^p=p(a+b)(c-a)(c-b)R$$

Не понятно также, зачем необходимо рассматривать первый и второй случаи теоремы. Показатель степени даже не показан в качестве делителя $f$. Степень рассматривается в виде произведения всего двух множителей$f^p=m_1^pa_1^p$. Об этом тоже говорилось неоднократно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечный спуск для произвольных натуральных УФ
Сообщение02.06.2016, 00:34 


21/11/10
530
Уважаемый lasta!
В своём первом сообщении по этой теме, в самом начале его вы пишете:
lasta в сообщении #1111729 писал(а):
В предыдущей теме отсутствуют новый подход к проблеме, который основательно меняет прежнюю попытку применить бесконечный спуск в ВТФ.
Бесконечный спуск на первый взгляд является простым методом доказательств сложных утверждений. Но его создал Ферма.
Поэтому введем несколько правил прежде, чем запустить этот механизм в дело.
Правило 1. Изначально не делать предположения о существовании тройки решения уравнения Ферма, для создания каких либо формул по соотношениям между числами. Сначала формулы, а потом выводы.
Правило 2. Работать только с натуральными числами. Не допускать в формулах неопределенные числа типа,- может быть натуральным, либо иррациональным.
Обозначения и определения:
$a,b,c$ - произвольные натуральные числа;
$V_i$ - первая разность степеней $V_f=a^p-f^p; \qquad V_b=c^p-b^p \qquad \e(1)$
$W_i$ - вторая разность сnепеней $W_f=V_b-V_f \qquad\qquad \qquad  \qquad  \e(2) $
$E$ - Если теорема верна, то $E=a^p+b^p-c^p\ne 0$.
$f$ - натуральное число,-$f=(a+b-c)\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\e(4)$
$R$ - натуральное число, - $R=f^p/[p(a+b)(c-a)(c-b) ]\qquad \e(3)$
Степени:
$a^p=[a^p-(a+b-c)^p]+ (a+b-c)^p; \quad \text {с учетом (1),(5)}\quad a^p=V_f+f^p \quad \e(5)$
$f^p= p(a+b)(c-a)(c-b)R+E \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\e(6)$
$\text {(с учетом (5),(6))}a^p =V_f+ p(a+b)(c-a)(c-b)R+E \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\e(7) $
Теорема верна, если $E\ne 0$. Если $E= 0$, то теорема неверна и $a$ принадлежит тройки решения уравнения Ферма.
Разность степеней
$ V_b=V_f+[V_b-V_f]\text {с учетом (2)}\qquad V_b=V_f +[W_f] \qquad\e(8) $.
Исходное равенство
$ a^p=V_b+E; \qquad \text {с учетом (8)} \qquad a^p=V_f+W_f+E  \qquad\e(9)$
Если теорема верна, то $E\ne 0$. И обратное если $E= 0$ то теорема неверна

Сразу бросается в глаза, что $R$-натуральное число, появляется самым неестественным способом и раньше времени.
Сначала необходимо было привести "тождество":
$(x+y-z)^p-x^p-y^p+z^p=p(x+y)(z-x)(z-y)W^{p-3}(x,y,-z)$
где $p$-простое число
и отметить, что $W^{p-3}(x,y,-z)$ -симметрический многочлен от трёх переменных, с целочисленными коэффициентами, степени $p-3$, содержания единица.
И указать ссылку на то, что этот широко известный факт упомянут там-то и там-то. Так как, вовсе не очевидно, что: $(x+y-z)^p-x^p-y^p+z^p$-разлагается в произведение таких алгебраических сомножителей. В алгебре формулу $(x+y+z)^p-x^p-y^p-z^p$ называют: "ноль характеристики p от трёх переменных" и её мультипликативный вид или разложение на множители мало где упоминается.
У Вас же появляется то, что я называю "тождеством" , как следствие формул $(5) и (6)$ при этом формула $(3)$ не упоминается, почему-то?
Кстати, заметим немаловажный момент: значение $R$- всегда натуральное число. Выполняется ВТФ или нет-совершенно не важно.
Так как, при натуральных значениях $x=a, y=b, z=c$
R=W^{p-3}(a,b,-c), а $W^{p-3}(a,b,-c)$- симметрический многочлен от трёх переменных с целочисленными коэффициентами чётной степени.
Так можно привести два примера:
$x=a, y=0, z=0 $число $ R=W^{p-3}(a,0,0)=a^{p-3}$

$x=a, y=-a, z=0$ число $ R=W^{p-3}(a,-a,0)=a^{p-3}$

в которых число R принимает одно и то же значение, так как у $W^{p-3}(a,b,c)$ имеется свойство:
$ W^{p-3}(a,b,c)=W^{p-3}(s,b,c)=W^{p-3}(a,s,c)=W^{p-3}(a,b,s)$

где $s=-a-b-c$
Из формулы $(3)$ совсем не следует, что $R=a^{p-3}$ при этих значениях $a,b,c$, причём во втором примере тройка чисел $a,-a,0 $-удовлетворяет уравнению Ферма, а в первом примере тройка $a=a,b=0,c=0$- не удовлетворяет уравнению Ферма.
Дальше больше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечный спуск для произвольных натуральных УФ
Сообщение11.06.2016, 06:58 


10/08/11
671
ishhan в сообщении #1128137 писал(а):
Сначала необходимо было привести "тождество": $(x+y-z)^p-x^p-y^p+z^p=p(x+y)(z-x)(z-y)W^{p-3}(x,y,-z)$
где $p$-простое число

Уважаемый ishhan! Спасибо за подробный анализ числа $R$. Но это число является одним из делителей $m_1^p$ и в доказательстве отдельно от этой степени не рассматривается
$$(a-(c-b))^p=a_1^pm_1^p$$ Это очевидно, так как $a=a_1a_2$. А разность $c-b$ при $E=0$ всегда делиться на $a_1$. Указанной ранее перегруппировкой доказывается существование всех делителей степени $f^p$. Но используется в доказательстве только равенство $$f^p=a_1^pm_1^p$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечный спуск для произвольных натуральных УФ
Сообщение21.06.2016, 19:14 


21/11/10
530
Уважаемый lasta!
Что можно сказать о применимости метода бесконечного спуска к похожему уравнению:
$$a^3+b^3-c^3=a+b-c$$

Или с учётом тождества:
$3(a+b)(c-b)(c-a)+a+b-c=(a+b-c)^3$

В этом уравнении содержатся те же алгебраические числа и "статусы" этих чисел так же определяются через разность и вторую разность степеней.
Напишите пару определений, если не затруднит, про "статус" степени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечный спуск для произвольных натуральных УФ
Сообщение22.06.2016, 13:16 


22/06/16

1
ishhan в сообщении #1133207 писал(а):
Что можно сказать о применимости метода бесконечного спуска к похожему уравнению:
$$a^3+b^3-c^3=a+b-c$$



Ничего - он здесь неприменим, так как ур-ние имеет бесконечно много решений.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 149 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group