Логические следствия из противоречия

[Sinoid]

provincialka в сообщении #1116936 писал(а):

Какой "скрип"? Какие нравятся,такие и берите Другое дело, получится ли что-нибудь полезное.

Так вот, чтобы получалось что-то полезное и принимают через неоднократные дискуссии.

arseniiv в сообщении #1116987 писал(а):

Иногда, чтобы избавиться от недоказуемых истинных формул, надо включить в число аксиом чуть ли не всё подряд

Не все подряд, а независимые от остальных. Каждая теория верна ровно до тех пор, пока не обнаружен факт, не могущий быть выведенный из ее аксиом, а дальше вплоть до объявления ее неверной. Новые аксиомы не берутся из воздуха, просто необъяснимые факты, в том числе и полученные косвенным путем, копятся, копятся, а потом хоп! А зачем нам иметь кучу необъяснимого, когда достаточно ввести одно новое предположение и все объяснено. И если потом окажется, что это новое предположение можно получить из остальных, вообще шикарно, ну а не окажется, и так хорошо, но со временем-то к этому новому предположению начинают относится как к само собой разумеющемуся (если, конечно, его не опровергнут). Главное, что за счет введения нового предположения становится объяснимой куча других фактов. А если на основе этой измененной (не говорю расширенной, потому что некоторые аксиомы могут просто заменяться другими или вообще исключаться) удается предсказать новые, еще никем невиданные явления, которые будут открыты на практике лет через 10, а лучше через 20, теория будет признана гениальной. Яркий пример этого- Эйнштейновская теория тяготения и ее предшественница (здесь я не про новые факты, а про систему аксиом).

arseniiv в сообщении #1116987 писал(а):

Такая система вывода будет неудобной

А об удобстве, по крайней мере, у меня, и в мыслях не было. Когда я скачал Гильберта, его анализ геометрии ага, думаю, сейчас почитаю. Открыл. Так там аксиомы группами и на нескольких страницах. Тоже, в общем-то штука труднообозримая, а труд, тем не менее, считается фундаментальным. Если уж ты строишь какую-то теорию, так будь добр держи все ее аксиомы в голове.

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1116936 писал(а):

Ведь здесь нужно не то что буквы приписать, нужно вообще букву удалить, а так выглядит как-то не по-русски Чего? Зачем удалять? А что не по-русски... так тут ещё и буквы латинские! Безобразие, право ...

ну ведь вот тут же

Sinoid в сообщении #1116930 писал(а):

упомянутые уважаемой provincialka

я должен был бы написать как минимум "упомянутые уважаемой provincialk'ой", то есть удалить последнюю букву а из вашего ника. Допустимо ли такое?

[Someone]

Sinoid в сообщении #1117024 писал(а):

Каждая теория верна ровно до тех пор, пока не обнаружен факт, не могущий быть выведенный из ее аксиом, а дальше вплоть до объявления ее неверной.

Вы путаете математику с физикой.

Sinoid в сообщении #1117024 писал(а):

Яркий пример этого- Эйнштейновская теория тяготения и ее предшественница (здесь я не про новые факты, а про систему аксиом).

За сто лет существования эйнштейновской теории гравитации никаких новых аксиом в неё не вводилось.
Да и ньютоновская теория гравитации развивалась вовсе не благодаря введению каких-то дополнительных аксиом.

Sinoid в сообщении #1117024 писал(а):

Когда я скачал Гильберта, его анализ геометрии ага, думаю, сейчас почитаю. Открыл. Так там аксиомы группами и на нескольких страницах. Тоже, в общем-то штука труднообозримая, а труд, тем не менее, считается фундаментальным. Если уж ты строишь какую-то теорию, так будь добр держи все ее аксиомы в голове.

Если уж Вас так заинтересовали основания геометрии, кто же мешает Вам держать все эти аксиомы в голове? Их всего-то двадцать штук — меньше, чем тригонометрических формул, которые изучают в школе.

[provincialka]

Sinoid
Вы рассуждаете так, как будто есть одна математическая теория с одной системой аксиом. Можно брать системы и пошире, и поуже, и противоречащие друг другу. Если уж вам нравится геометрия, подумайте, как соотносятся между собой, скажем, аффинная геометрия, евклидова и лобачевского. Да и аксиома выбора входит не во все аксиоматики.
Аксиомы не могут быть неверными. Система может быть противоречивой -- тогда надо что-то убрать.

[Sinoid]

Someone в сообщении #1117017 писал(а):

Sinoid в сообщении #1116930

писал(а):
А в матлогике такие, так скажем, наборы слов, про которые неизвестно, истинны они или нет, и предложениями-то не будут считаться, так что, соответственно, они и не могут служить посылками. Что-то абсурд какой-то написан. "Предложение", оно же "высказывание", в математической логике определяется чисто синтаксически, так что всегда можно проверить, является ли высказыванием данная последовательность символов.

Определение предложения:

Задание из задачника:

вывод: не каждая последовательность символов является высказыванием. Примите в качестве посылки, например, последовательность символов из б)

Someone в сообщении #1117017 писал(а):

Да, может быть, и такие случаи были.

Так и я говорю, что были, только напутал с названием, но вы в оффтопе меня исправили. Но дело не в названии, а дело в том, что, когда надо, то все бывает.

Someone в сообщении #1117017 писал(а):

За последующие 90 лет ни одной новой аксиомы к теории ZFC добавлено не было, несмотря на то, что в этой теории существует тьма интересных утверждений, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

Так потому и не было добавлено, что еще думают, что с ними делать, можно, неможно их как-то вывести, сколько, возможно, нужно добавить аксиом, чтобы добавить их как можно меньше. Подождите, вопросы-то еще открыты, откуда вы знаете, как они решатся.

Someone в сообщении #1117017 писал(а):

В конце XVIII — начале XIX века нашлись три математика, которые пришли к выводу, что доказать пятый постулат нельзя, и что, приняв за аксиому утверждение, что этот постулат неверен, можно построить другую геометрию, столь же последовательную и непротиворечивую, как и геометрия Евклида, и занялись успешным построением этой геометрии

Я это и имел ввиду, иначе зачем ее было добавлять? Просто вот здесь

Sinoid в сообщении #1116930 писал(а):

на следует

я, очевидно, вместо "е" нажал "а"

Someone в сообщении #1117017 писал(а):

Например, к системе аксиом теории множеств, сформулированных Эрнстом Цермело в 1908 году, позже (в 1922 году) Абрахамом Френкелем была добавлена схема аксиом замены, поскольку оказалось, что схема аксиом выделения, сформулированная Цермело, недостаточна для формализации некоторых широко используемых математиками рассуждений

и получили

Someone в сообщении #1117017 писал(а):

другую формальную теорию

не так ли? Которая

Someone в сообщении #1117017 писал(а):

не имеет никакого отношения к первоначальной теории.

А почему они начали строить новую формальную теорию? Не потому ли, что первоначальная теория их перестала удовлетворять? Впрочем, тут опять эта пресловутая "формальная теория", что это такое, я пока не знаю, так что, быть может, я и пишу глупость.

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1117060 писал(а):

не каждая последовательность символов является высказыванием

Это неформальное введение. Формально, высказывание (в исчислении высказываний) - это либо переменная, либо конъюнккция/дизъюнкция/отрицание высказываний(я).

Sinoid в сообщении #1117060 писал(а):

Подождите, вопросы-то еще открыты, откуда вы знаете, как они решатся.

Какие вопросы?
Изначально аксиомы добавлялись потому, что без них получалась слишком неинтересная теория. Теперь получили интересную (хотя никто не мешает изучать и исходную).
Да, может быть придумают и что-то более интересное. Но имеющиеся выводы от этого никуда не денутся.

[Sinoid]

Someone в сообщении #1117027 писал(а):

Если уж Вас так заинтересовали основания геометрии

Меня интересует намного больше, просто еще охватить не успел.

Someone в сообщении #1117027 писал(а):

Их всего-то двадцать штук — меньше, чем тригонометрических формул, которые изучают в школе.

Только тригонометрические формулы короче, их в голове проще крутить.

Someone в сообщении #1117027 писал(а):

Вы путаете математику с физикой.

а какая разница, если все в конце-концов сводится к формулам на бумаге? В том-то и прелесть математики, что система аксиом, объекты, допустимые с ними действия можно изменять.

[Someone]

Sinoid в сообщении #1117060 писал(а):

Определение предложения:

Я профессиональный математик, и для меня пособие для экономистов или психологов не является авторитетом. Моя область интересов лежит не очень далеко от математической логики, поэтому мне нужно знать, как на самом деле обстоят дела в этой области. Берёте учебник по математической логике и изучаете.

1) С. К. Клини. Математическая логика. "Мир", Москва, 1973.

Книга большая, но Вы можете сразу открыть § 38 и посмотреть, как там строится формальная арифметика. Хотя бы самое начало, до определения формулы включительно. ("Формула" в математической логике — это ещё одно название для "высказывания", "утверждения", "предложения".)

2) Джон Барвайс. Введение в логику первого порядка. В сборнике "Справочная книга по математической логике. Часть I. Теория моделей". "Наука", Москва, 1982.

К обсуждаемому вопросу имеет отношение § 3. Это небольшая статья.

3) Е. Расёва, Р. Сикорский. Математика метаматематики. "Наука", Москва, 1972.

Глава V, § 3. Но эта книга, на мой взгляд, сложнее.

Понятие истинности появляется уже после определения языка формальной теории, когда появляются модели (интерпретации) теории.

Sinoid в сообщении #1117060 писал(а):

Так потому и не было добавлено, что еще думают, что с ними делать, можно, неможно их как-то вывести, сколько, возможно, нужно добавить аксиом, чтобы добавить их как можно меньше. Подождите, вопросы-то еще открыты, откуда вы знаете, как они решатся.

Уже давно известно, как они решаются. Не включают их в список аксиом для того, чтобы не сужать теорию множеств. Уже имеющихся аксиом вполне достаточно для того, чтобы формализовать практически любое математическое доказательство. Если же математика интересуют следствия какого-нибудь утверждения, о котором известно, что его нельзя ни доказать, ни опровергнуть, то он имеет право использовать его в качестве дополнительного предположения, указав это в формулировке теоремы. Например, текст

Теорема ([MA]+[¬CH]). …

означает, что теорема доказывается в предположении, что аксиома Мартина справедлива, а континуум-гипотеза ложна.

Иногда таким образом используют и просто недоказанные утверждения, например, гипотезу Римана, о которой в настоящее время неизвестно, верна она или нет.
Но вообще, использование дополнительных гипотез без явной нужды рассматривается как дурной тон.

Sinoid в сообщении #1117060 писал(а):

А почему они начали строить новую формальную теорию? Не потому ли, что первоначальная теория их перестала удовлетворять?

Обычно потому, что захотели посмотреть, из каких дополнительных предположений можно вывести интересующее их утверждение. См. чуть выше.

Sinoid в сообщении #1117060 писал(а):

Впрочем, тут опять эта пресловутая "формальная теория", что это такое, я пока не знаю, так что, быть может, я и пишу глупость.

Ну, Вы всё-таки имейте в виду, что спорите с профессиональными математиками (не только со мной). Если Вы хотите чему-то научиться, то разумнее не спорить, а спрашивать.

-- Чт апр 21, 2016 00:33:27 --

Sinoid в сообщении #1117066 писал(а):

а какая разница, если все в конце-концов сводится к формулам на бумаге? В том-то и прелесть математики, что система аксиом, объекты, допустимые с ними действия можно изменять.

Но к физике это не относится. Поэтому не надо путать физику с математикой. У этих областей человеческого знания разные области исследования и разная методология.

[arseniiv]

Sinoid в сообщении #1117024 писал(а):

Если уж ты строишь какую-то теорию, так будь добр держи все ее аксиомы в голове.

Ну и как удержать в голове неперечислимое множество аксиом? Ладно бы перечислимое — у нас будет алгоритм, с которым мы произведём рано или поздно любую из них; ладно бы разрешимое — у нас будет алгоритм получше, говорящий для любой формулы, аксиома перед нами или нет. Но с неперечислимым множеством никаких гарантий нет, что мы о них что-то сможем полезное узнать.

Ну ладно, это обсуждение далеко ушло от исходного; скажу что-нибудь, если будут какие-то конкретные вопросы.

[Someone]

Забыл кое на что ответить.

Sinoid в сообщении #1117060 писал(а):

Я это и имел ввиду, иначе зачем ее было добавлять? Просто вот здесь

Если Вы про Гаусса, Лобачевского и Бойяи, то они не добавляли, а заменяли постулат о параллельных его отрицанием. А цель у них состояла в том, чтобы продемонстрировать, что постулат о параллельных нельзя доказать, пользуясь другими аксиомами геометрии, потому что его отрицание приводит не к противоречию, а к новой геометрии, столь же логичной и последовательной, как и геометрия Евклида.

Sinoid в сообщении #1117060 писал(а):

А почему они начали строить новую формальную теорию? Не потому ли, что первоначальная теория их перестала удовлетворять?

Только сейчас обратил внимание, что Вы говорите о развитии аксиоматики ZFC.
Нет, дело не в том, что первоначальная аксиоматика перестала кого-то удовлетворять. Дело в том, что эта аксиоматика создавалась с определённой целью: построить основу для всей (или почти всей) математики. И в первоначальном варианте эта аксиоматика оказалась недостаточной. Ясно это стало только после накопления некоторого опыта. Поэтому аксиома замены была добавлена спустя некоторое время. Но я ведь об этом сразу написал.

Аксиому регулярности, наверное, можно было бы и не добавлять. Но она существенно упрощает некоторые рассуждения, исключая множества неестественной структуры, которые выглядят ненужными в математике. Впрочем, если кому-то такие множества нужны, он может эту аксиому исключить (К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств. "Мир", Москва, 1970).

[Sinoid]

С чего бы начать... Глаза разбегаются.

Someone в сообщении #1117107 писал(а):

Я профессиональный математик, и для меня пособие для экономистов или психологов не является авторитетом

Там, где обычно в начале на левой странице, мелким шрифтом:

так что ни о каких экономистах или психологах речи и близко нет.

Someone в сообщении #1117107 писал(а):

Если Вы хотите чему-то научиться, то разумнее не спорить, а спрашивать.

Так я это и сделал, спросил. Мне ответили:

provincialka в сообщении #1114825 писал(а):

Например, "всякий крокодил, живущий в Волге -- красный" -- верно!

Попытка понять, что означает эта фраза, почему оказались связанными несвязанные вещи и как это относится к формулировкам теорем и породила последующие посты. Вы поймите, мне вовсе не доставляет удовольствия говорить вам всем наперекор. То ли (что, скорее всего) у меня не хватает мозгов, то ли у вас не хватает слов. Someone, вы поймите, рекомендованные вами книги, несомненно, круты, но если вы по ним попытаетесь читать лекции первокурсникам, подавляющее большинство студентов вы будете вынуждены просто исключить за непонимание. Да чего греха таить, и преподаватели знают, что у них немало студентов, ставящих 0 и 1 в нужные места не потому, что понимают ну прям уж каждую букву в своих рассуждениях, а потому что так нужно, если они это не будут делать, их просто-напросто исключат из универа, а грант-то уже получен и его нужно отрабатывать . provincialka, скажите, пожалуйста, я не прав? Someone, скажите, пожалуйста, а вот вы логику изучать с чего начали? Сразу с рекомендованных вами мне по большей степени толстенных монографий, на детальное изучение которых даже у умудренного математика уйдет не один месяц или с

arseniiv в сообщении #1117109 писал(а):

пособией для экономистов или психологов

? И чем моя попытка уяснить непонятное мне понятие хуже введения в средней школе понятия о параллельных прямых, о котором заведомо известно, что оно неверно? Ну и давали бы сразу понятие о несобственных точках. Так нет же! То есть, всему свое время.

Someone в сообщении #1117116 писал(а):

Если Вы про Гаусса, Лобачевского и Бойяи, то они не добавляли, а заменяли постулат о параллельных его отрицанием.

И при этом, наедине с собой, поддерживали, в первую очередь, себя же, свои доказательства следующими рассуждениями:

Someone в сообщении #1117107 писал(а):

Но к физике это не относится. Поэтому не надо путать физику с математикой. У этих областей человеческого знания разные области исследования и разная методология.

Еще как относится. Физика без математики вообще ничего не значит (я этим вообще никого не хочу обидеть). В советское время ни один физик не мог быть выпущен без знаний математики. Нет, я этим нисколько не умоляю значение физики. Физика иногда ставит перед математикой новые вопросы, чем способствует ее развитию. Но тем не менее физики во все времена стремились свести познанные ими закономерности к формулам на бумаге. Ковалевская исследовала кольцо Сатурна формулами, на бумаге. Планету (Уран, что ли) открыли на бумаге. Ньютона с его дифференциалами и интегралами оценили за что? Да за то, что он многие физические явления перевел на язык математики. Посчитать (если ты это можешь сделать) в подавляющем большинстве случаев проще и дешевле, чем измерить. Измерения продолжаются ровно до тех пор, пока не выявлена математическая закономерность. При этом эту закономерность стремятся как можно быстрее получить. Как только она получена все, никто ничего по большому счету измерять не будет. Физика свелась к математическим формулам. Все будут считать и ваять.

Someone в сообщении #1117027 писал(а):

Да и ньютоновская теория гравитации развивалась вовсе не благодаря введению каких-то дополнительных аксиом

А я имел ввиду не ее развитие, а появление: появилась-то она за счет введения трех законов Ньютона и закона тяготения- тех же самых новых аксиом.

Someone в сообщении #1117027 писал(а):

За сто лет существования эйнштейновской теории гравитации никаких новых аксиом в неё не вводилось

Я имел ввиду, что она появилась заменой аксиомы тяготения (полученной тоже не с потолка) представлением об орбите как о геодезической.

[Xaositect]

Sinoid в сообщении #1117328 писал(а):

Someone, скажите, пожалуйста, а вот вы логику изучать с чего начали?

Я не знаю, как Someone, а я начинал изучать логику с "Математической логики" Клини, которую он упоминает. Вполне себе хороший учебник, по-моему.

[Someone]

Sinoid в сообщении #1117328 писал(а):

Там, где обычно в начале на левой странице, мелким шрифтом:

так что ни о каких экономистах или психологах речи и близко нет.

Ну, не воспринимайте этих "экономистов и психологов" столь буквально. Я не знаю, что за пособие Вы цитируете, но то, что Вы процитировали, мне сильно не понравилось. В техническом или педагогическом ВУЗе (пусть даже он называется "университетом") на таком уровне, наверное, можно объяснять, но для нужд математики это совершенно неприемлемо. К тому же, Вас это настолько запутало, что Вы уже не различаете, где физика, а где математика.

Более приемлемо было бы, если бы автор определил высказывание как "повествовательное предложение", поскольку "высказывания" в математической логике действительно соответствуют повествовательным предложениям. Однако и такое "определение" плохое, поскольку апеллирует к естественному языку. Да и примеры там взяты из естественного языка. Поэтому это ничего не даёт для математики, в частности, совершенно не помогает понять, что такое формальная теория. А ссылаться на истинность или ложность вообще нельзя, поскольку в формальной теории самой по себе нет никакой истинности или ложности. Есть только выводимость (доказуемость). Истинность или ложность появляется только тогда, когда построена модель (интерпретация) теории.

Sinoid в сообщении #1117328 писал(а):

И при этом, наедине с собой, поддерживали, в первую очередь, себя же, свои доказательства следующими рассуждениями:

В XIX веке геометрия считалась частью физики, изучающей физическое пространство, что и вызвало столь негативную реакцию на работы Лобачевского. И именно работы Лобачевского дали толчок пересмотру взаимоотношений физики и математики и их разделению. Ещё раз повторю: математика изучает логические конструкции, существующие лишь в человеческой психике. В физическом мире нет никакого евклидова (или какого-нибудь другого) пространства как физического объекта.

Sinoid в сообщении #1117328 писал(а):

Еще как относится. Физика без математики вообще ничего не значит (я этим вообще никого не хочу обидеть). В советское время ни один физик не мог быть выпущен без знаний математики. Нет, я этим нисколько не умоаляю значение физики.

Видите ли, математика — это язык, используемый физикой (и не только физикой) для описания тех или иных явлений и объектов мира, в котором мы живём. В свою очередь, потребности физики и других наук способствуют развитию математики. Но это не надо рассматривать как повод всё перепутать и свалить в одну кучу. В частности, внутренние проблемы математики решаются не физическими экспериментами, а анализом логических конструкций (возможно, даже с использованием компьютеров). А проблемы физики далеко не всегда могут быть решены анализом логических конструкций, моделирующих какое-то физическое явление.
Поэтому, в частности, проблемы аксиоматизации какой-нибудь математической теории к физике отношения не имеют.

Sinoid в сообщении #1117328 писал(а):

Я имел ввиду, что она появилась заменой аксиомы тяготения (полученной тоже не с потолка) представлением об орбите как о геодезической.

Извините, это бред.

-- Пт апр 22, 2016 00:28:32 --

Sinoid в сообщении #1117328 писал(а):

Someone, вы поймите, рекомендованные вами книги, несомненно, круты, но если вы по ним попытаетесь читать лекции первокурсникам, подавляющее большинство студентов вы будете вынуждены просто исключить за непонимание. Да чего греха таить, и преподаватели знают, что у них немало студентов, ставящих 0 и 1 в нужные места не потому, что понимают ну прям уж каждую букву в своих рассуждениях, а потому что так нужно, если они это не будут делать, их просто-напросто исключат из универа,

Ладно, не рассказывайте это преподавателю с сорокалетним стажем. Я хорошо понимаю, что моим студентам можно рассказывать, а что нельзя. Разумеется, моим студентам нужно чего-нибудь попроще и понагляднее. Ну так сейчас у меня в основном экономисты и психологи. А раньше были механики, энергетики или будущие специалисты по компьютерам (на уровне продвинутых пользователей). Ну так я им и не рассказывал никогда про формальные теории.

Sinoid в сообщении #1117328 писал(а):

Someone, скажите, пожалуйста, а вот вы логику изучать с чего начали?

Э-э-э… Пожалуй, систематически я её вообще не изучал. К десятому классу (тогда среднее образование было десятилетним), разобравшись с учебниками Киселёва, я уже рассуждал весьма аккуратно. Когда поступил на мехмат МГУ и в курсе математического анализа столкнулся с логической символикой и формальной записью некоторых утверждений, я счёл это совершенно естественным и понятным. Курса математической логики у нас вообще не было, но потом я кое-какую литературу выборочно читал.

[Sinoid]

Someone в сообщении #1117359 писал(а):

Я не знаю, что за пособие Вы цитируете

Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов

Someone в сообщении #1117359 писал(а):

Пожалуй, систематически я её вообще не изучал

Someone в сообщении #1117359 писал(а):

потом я кое-какую литературу выборочно читал.

Ну так все-таки читали. Пусть даже для подтверждения уже имеющихся убеждений. Это хорошо, что вы к тому моменту уже имели правильное понятие. Но если бы вы встретили в тех книгах что-то расходящееся с уже имеющимися у вас представлениями, вы бы свои взгляды начали пересматривать (я не говорю, что вы бы их обязательно изменили, но пересмотрели бы - это точно).

Someone в сообщении #1117359 писал(а):

А проблемы физики далеко не всегда могут быть решены анализом логических конструкций, моделирующих какое-то физическое явление

А я и не говорил, что все проблемы физики могут быть решены анализом логических конструкций, моделирующих какое-то физическое явление. Я говорил, что если в математике найдется такая модель (непротиворечивая, хотя и не уверен в удачности использования этого термина), у физиков появится очень большой соблазн изучить в первую очередь эту модель, а не ставить опыты. Впрочем, это уже зависит от предпочтений самого исследователя: если ему нравится возится в лаборатории, то он и не будет сидеть с формулами, но это уже я отошел далеко от логики. Вот смотрите. Вот аксиоматизация уже имеющейся математической теории, как я ее понимаю. Берут теорию, выявляют, так сказать, костяк теории - утверждения, из которых могут быть выведены все остальные теоремы теории. Теоремы этого костяка стремятся объяснить через другие понятия. Именно так происходит, например, в книге Б.В. Гнеденко Курс теории вероятностей. Там сначала "доказывается" теорема сложения вероятностей, а затем, при переходе построения этой теории к аксиоматическому, эта самая теорема объявляется аксиомой, а в придачу формулируется еще и расширенная аксиома сложения.

Someone в сообщении #1117359 писал(а):

Sinoid в сообщении #1117328

писал(а):
Я имел ввиду, что она появилась заменой аксиомы тяготения (полученной тоже не с потолка) представлением об орбите как о геодезической. Извините, это бред

Что бред? Что орбита-это геодезическая в четырехмерном пространстве? Я просто читал про это в научно-популярной книге С. Лилли Теория относительности для всех. Конечно, знаю я это все в общих чертах. Но вот эта мысль, что Эйнштейн вот заменил аксиому постулат о силе тяготения и получил новую, более совершенную теорию, потому что он использовал для этого на один постулат меньше, там сформулирована. И что, это неправильно? Я просто по этому вопросу читал только эту книгу, сравнивать просто не с чем. Да, системы аксиом можно выбирать разные и получать разные теории, в том числе и существующие исключительно на бумаге, только мне сейчас это вообще не к чему: я рассматриваю пока теоремы, как правило, теоремы фиксированной теории (евклидовой геометрии, даже не Лобачевского), школьник не может на первом же уроке геометрии усвоить идею про несобственные точки, должно пройти какое-то время, он должен порешать задачи, будучи при этом в состоянии заблуждения. Скажите, а вот после прочтения рекомендованных мне книг вопросов вообще не остается? Неужели там дано идеальное построение матлогики?

[Sinoid]

Xaositect в сообщении #1117334 писал(а):

Я не знаю, как Someone, а я начинал изучать логику с "Математической логики" Клини, которую он упоминает. Вполне себе хороший учебник, по-моему.

Нашел я эту книгу, к примеру, здесь. Не знаю, аннотация точно такая же, как и у Игошина:

Цитата:

Книга может быть использована как учебное пособие по курсу математической логики в университетах и пединститутах

Не знаю, что там внутри но описание, фантик книжки уже стандартный.

[Someone]

Sinoid в сообщении #1117490 писал(а):

Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов

Спасибо, скачал. И задачник заодно.

Sinoid в сообщении #1117060 писал(а):

Определение предложения:

Я понял. Речь идёт об исчислении высказываний. Но то, что Вы процитировали — это не определение. Это апелляция к интуитивному пониманию. А до определения Вы не дочитали, оно на странице 24. Причём, оно ориентировано именно на исчисление высказываний (фактически в каждой формальной теории имеется своё определение). И оно именно такое, как я говорил, то есть, чисто синтаксическое, не апеллирующее ни к какой истинности или ложности. Для того, чтобы можно было говорить об истинности высказывания, нужна интерпретация. Для исчисления высказываний такая интерпретация (в двухэлементной булевой алгебре) задаётся функцией истинности. У Игошина об этом речь идёт на странице 16. Поскольку он в качестве примера берёт атомарные высказывания из естественного языка, получается некоторая естественная интерпретация. В случае формальной теории с этим несколько сложнее. В любом случае, прежде чем можно будет говорить об интерпретации, теория должна быть полностью определена.

Sinoid в сообщении #1117490 писал(а):

Вот аксиоматизация уже имеющейся математической теории, как я ее понимаю.

Да, при разработке новой формальной или неформальной теории, как правило, имеют в виду определённую интерпретацию. Потому что просто сочинять что попало совершенно не интересно.

Sinoid в сообщении #1117490 писал(а):

Ну так все-таки читали.

Естественно. А как ещё получить упорядоченную информацию? Я очень много почерпнул информации о математической логике и теории множеств из обсуждения разных вопросов с другими студентами и аспирантами, но этого недостаточно.

Sinoid в сообщении #1117490 писал(а):

Пусть даже для подтверждения уже имеющихся убеждений.

Нет. Для систематического ознакомления с вопросом.

Sinoid в сообщении #1117490 писал(а):

Но если бы вы встретили в тех книгах что-то расходящееся с уже имеющимися у вас представлениями, вы бы свои взгляды начали пересматривать (я не говорю, что вы бы их обязательно изменили, но пересмотрели бы - это точно).

Да. Если в разговоре с кем-то или при изучении литературы я обнаруживал, что что-то понимаю неправильно, я немедленно вносил коррекцию в свои знания.

Sinoid в сообщении #1117490 писал(а):

Я говорил, что если в математике найдется такая модель (непротиворечивая, хотя и не уверен в удачности использования этого термина), у физиков появится очень большой соблазн изучить в первую очередь эту модель, а не ставить опыты.

Как было бы хорошо, если бы Вы перестали говорить о том, чего не знаете. Каким образом без опытов можно узнать, что какая-то математическая теория хорошо описывает некую область физических явлений? Даже если предположить, что такая теория действительно существует. Математическая теория является абстрактной, поскольку её объектами являются не какие-то реальные вещи, а логические конструкции, существующие только в человеческой психике. Каким образом без опытов с реальными объектами узнать, что их свойства похожи на свойства логических конструкций?

Sinoid в сообщении #1117490 писал(а):

Что бред? Что орбита-это геодезическая в четырехмерном пространстве?

Разумеется. Например, орбита Земли в Солнечной системе — это никакая не геодезическая в четырёхмерном пространстве. Это, в первом приближении, эллипс в трёхмерном пространстве. А в четырёхмерном пространстве-времени (а не в пространстве) имеется мировая линия. Вот она — также в первом приближении — является геодезической (но это первое приближение очень хорошее, хотя и не абсолютно точное).

Sinoid в сообщении #1117490 писал(а):

Но вот эта мысль, что Эйнштейн вот заменил аксиому постулат о силе тяготения и получил новую, более совершенную теорию, потому что он использовал для этого на один постулат меньше, там сформулирована.

Нет, это ерунда. Не надо слишком серьёзно относиться к научно-популярной литературе. Там пытаются что-то объяснять неспециалистам "на пальцах", и часто получается какая-нибудь ерунда. Если хотите действительно разобраться в физической или математической теории, её надо серьёзно изучать. Если хотите просто ознакомится на популярном уровне, покопайтесь в теме "Ищу литературу по…", какую там физики рекомендуют научно-популярную литературу.

Sinoid в сообщении #1117490 писал(а):

Скажите, а вот после прочтения рекомендованных мне книг вопросов вообще не остается? Неужели там дано идеальное построение матлогики?

Я не знаю, что такое "идеальное построение". Если Вы, допустим, разберётесь в книге Клини (а это не просто, поскольку она рассчитана вовсе не на школьников), то Вы будете понимать, что такое математическая логика и как она работает. "Справочная книга по математической логике" — это вообще не учебник, а сборник обзоров по различным вопросам математической логики и теории множеств (в четырёх томах). Попробуйте читать Игошина, только не спешите и не путайте предварительные разъяснения и аналогии с определениями и теоремами.

Советую также почитать книгу Рэймонда М. Смаллиана "Как же называется эта книга?" Там куча логических задачек, решая которые, можно незаметно для себя доказать теорему Гёделя о неполноте. Никакого формализма нет, но можно познакомиться с весьма серьёзными вещами.