Поиски суслика в пустом множестве

[arseniiv]

anderlo в сообщении #1110802 писал(а):

А разве здесь мне не пытались показать обратное?

Насколько понимаю остальные посты, нет. (Сам — точно нет.)

anderlo в сообщении #1110802 писал(а):

Ну вот эту самую неудачность я наверное на подсознательном уровне чувствую.

Только непонятно, из какого источника вы вообще почерпнули определение $\varnothing$ как $\{x\in A\mid x\ne x\}$.

anderlo в сообщении #1110802 писал(а):

Казалось бы: математика!!!! А стандартов нет. Ну как можно учиться. ужас! ужас!)

Так остальные определения логически эквивалентны $\forall x.\;x\notin\varnothing$. Видимо, новостью будет и то, что запись $s=\{x\mid P(x)\}$ эквивалентна $\forall x(x\in s\leftrightarrow P(x))$?

[anderlo]

Someone в сообщении #1110838 писал(а):

А Вы не могли бы говорить исключительно о себе, родимом? Это Вы "находите" в множестве $A$ элемент $x$, обладающий свойством $x\neq x$, другие этого не делают.

Я действительно ошибся вначале и согласен, что правильно вот так:$\varnothing = \{x\mid x\ne x\}$. Но относительно моего вопроса это ничего не меняет в корне...

-- 31.03.2016, 22:25 --

Я благодарен всем кто отвечал на мои вопросы. Вывод я сделал: нужно глубже вникать в терминологию, для правильного чтения логических конструкций. В общем без азов мат. логики в теории множеств делать нечего(серьезному человеку).


можно тему закрывать

-- 31.03.2016, 22:29 --

arseniiv в сообщении #1110889 писал(а):

Только непонятно, из какого источника вы вообще почерпнули определение $\varnothing$ как $\{x\in A\mid x\ne x\}$.

так определяется пустое подмножества любого множества... у зорича нашел. Уже сказал - это моя ошибка!

-- 31.03.2016, 22:31 --

arseniiv в сообщении #1110889 писал(а):

Видимо, новостью будет и то, что запись $s=\{x\mid P(x)\}$ эквивалентна $\forall x(x\in s\leftrightarrow P(x))$?

Да, действительно новость! Благодарю.

[epros]

arseniiv в сообщении #1110668 писал(а):

Пустое множество определяется аксиомой $\forall x.\;x\notin\varnothing$. Если уж и переводить её в нотацию $\{\ldots\mid\ldots\}$, это будет $\varnothing = \{x\mid x\ne x\}$. Без всяких $A$.

Насколько я понимаю, такая нотация запрещена с тех пор, как Расселом была продемонстрирована противоречивость аксиоматики Фреге (то, что иногда называется "наивной теорией множеств"). Т.е. перед вертикальной чертой обязательно наличие $x \in A$, где $A$ обозначает конкретное существующее множество. Эта нотация апеллирует к схеме выделения аксиоматики ZFC.

anderlo в сообщении #1110694 писал(а):

Ну а как я по вашему должен прочитать ее? Если сама нотация диктует фразу "множество $x$ таких, что они обладают свойством..." тра-ля-ля. После чего оказывается что нет там таких $x$, а значит и нет $x$ обладающих таким свойством

Я озадачен попытками понять, что Вас озадачивает в этом толковании. Объектов, обладающих таким свойством, действительно нет. Именно по этой причине пустому множеству ничто не принадлежит. В чём проблема?

[anderlo]

epros в сообщении #1111046 писал(а):

Я озадачен попытками понять, что Вас озадачивает в этом толковании. Объектов, обладающих таким свойством, действительно нет. Именно по этой причине пустому множеству ничто не принадлежит. В чём проблема?

Если Вы прочтете нотацию пустого множества обычными словами(без использования символики), то возможны два варианта: либо я пойму в чем конкретно я ошибаюсь, либо я укажу вам на те сомнения, которые будут вызваны у меня вашей трактовкой. Предложите ваш вариант!

[epros]

anderlo в сообщении #1111148 писал(а):

Если Вы прочтете нотацию пустого множества обычными словами(без использования символики)

Вы же сами изложили эту нотацию обычными словами: "множество $x$ таких, что они обладают свойством $x \ne x$". А потом почему-то удивились тому, что таких $x$ не существует. Что в этом удивительного? Да, пустое множество - это множество таких $x$, которые не существуют.

[arseniiv]

epros в сообщении #1111046 писал(а):

Насколько я понимаю, такая нотация запрещена с тех пор, как Расселом была продемонстрирована противоречивость аксиоматики Фреге (то, что иногда называется "наивной теорией множеств"). Т.е. перед вертикальной чертой обязательно наличие $x \in A$, где $A$ обозначает конкретное существующее множество. Эта нотация апеллирует к схеме выделения аксиоматики ZFC.

Или так, или $\{x\mid x\in A\wedge\text{что-нибудь}\}$. Или можно вообще вооружиться схемой аксиом подстановки и $\{f(x)\mid x\in A\wedge\text{что-нибудь}\}$. Точно так же, кстати, аксиома пары, например, позволяет запись $\{x\mid x=a\vee x=b\}$, и т. д..

-- Пт апр 01, 2016 22:28:10 --

Иначе говоря, если мы можем доказать $\exists! s.\forall x.\;x\in s\leftrightarrow P(x)$, мы можем использовать терм $\{x\mid P(x)\}$, зная, что формулы с ним всегда переписываемы в «базовый» язык без $\{\ldots\mid\ldots\}$. Ну, вы же это наверняка знаете…

[epros]

arseniiv в сообщении #1111180 писал(а):

Иначе говоря, если мы можем доказать $\exists! s.\forall x.\;x\in s\leftrightarrow P(x)$, мы можем использовать терм $\{x\mid P(x)\}$, зная, что формулы с ним всегда переписываемы в «базовый» язык без $\{\ldots\mid\ldots\}$.

То бишь, применяем нотацию только к "безопасным" формулам? Вот только проверка безопасности формулы - это уже не часть нотации, ибо нотация есть ни что иное, как всего лишь грамматика языка. Языки, вообще-то, разделяются на такие, на которых можно сформулировать ерунду, и на такие, на которых ерунду в принципе сформулировать нельзя. Это, вроде как, называется полнотой по Тьюрингу. Так что требование писать $x \in A$ перед вертикальной чертой происходит из желания определить такой язык, на котором ерунду написать в принципе невозможно. Ежели же мы хотим иметь дело с языком, на котором перед вертикальной чертой ставится $x$, то мы должны смириться с тем, на нём можно записать нечто вроде $\{x|x \notin x\}$, что является ерундой, доказательство чего может оказаться отдельной нетривиальной задачей.

[arseniiv]

epros в сообщении #1111189 писал(а):

То бишь, применяем нотацию только к "безопасным" формулам?

Ага.

epros в сообщении #1111189 писал(а):

Языки, вообще-то, разделяются на такие, на которых можно сформулировать ерунду, и на такие, на которых ерунду в принципе сформулировать нельзя. Это, вроде как, называется полнотой по Тьюрингу.

Опущеный переход, видать, не очень тривиальный, и лично у меня не восстанавливается.

epros в сообщении #1111189 писал(а):

Так что требование писать $x \in A$ перед вертикальной чертой происходит из желания определить такой язык, на котором ерунду написать в принципе невозможно. Ежели же мы хотим иметь дело с языком, на котором перед вертикальной чертой ставится $x$, то мы должны смириться с тем, на нём можно записать нечто вроде $\{x|x \notin x\}$, что является ерундой, доказательство чего может оказаться отдельной нетривиальной задачей.

Можно в некоторых случаях и смириться, почему нет?

[anderlo]

Вот откуда весь сырбор, если интересно (Зорич Мат.анализ 1-й том, стр. 27)

[Mikhail_K]

anderlo в сообщении #1111148 писал(а):

Если Вы прочтете нотацию пустого множества обычными словами(без использования символики), то возможны два варианта: либо я пойму в чем конкретно я ошибаюсь, либо я укажу вам на те сомнения, которые будут вызваны у меня вашей трактовкой. Предложите ваш вариант!

Да, я прочитаю эту нотацию так же, как epros:

epros в сообщении #1111158 писал(а):

"множество $x$ таких, что они обладают свойством $x \ne x$"

Сделаю ещё пояснение. Пусть $P(x)$ - некоторое свойство, которому любой $x$ может удовлетворять или не удовлетворять. Тогда мы можем определить множество $M=\{x\mid P(x)\}$ тех и только тех $x$, которые этому свойству удовлетворяют. Если $P(x)$ - свойство распространённое, то ему удовлетворяют многие $x$ и множество $M$ будет большим множеством. Если $P(x)$ - свойство редкое, то множество $M$ будет маленьким - в него будут входить только те немногие $x$, которые удовлетворяют этому свойству. Наконец, если $P(x)$ - свойство невозможное, как, например, $x\neq x$ - то множество $M$ будет пустым.
Вам кажется, что определение пустого множества через $x\neq x$ противоречит интуиции; однако для меня и для большинства участников форума, в этом определении нет совершенно ничего странного.

Могу предположить, что ошибка в том, что Вы приучились читать фрагменты определения как отдельные утверждения. И если сказано $\varnothing=\{x\in A\mid x\neq x\}$, Вы выделяете отсюда фрагмент $x\in A\mid x\neq x$ и читаете его так: мы берём $x\in A$ такое, что $x\neq x$. (Вы так писали в одном из своих постов.) Но это совершенно неверно - мы ничего не "берём", и в этом фрагменте вовсе не утверждается, что такое $x$ существует. Это просто фрагмент определения, он не является утверждением, в нём не утверждается совершенно ничего. Читать можно только всё определение целиком: и в нём говорится, что в множестве $\varnothing$ присутствуют те и только те $x\in A$, для которых $x\neq x$. Если бы таких $x$ было много, все они содержались бы в $\varnothing$. Если их нет, значит, в $\varnothing$ ничего не содержится. Сколько их на самом деле, есть ли они - само определение по этому поводу ничего не говорит.

-- 01.04.2016, 22:32 --

В свою очередь, эта ошибка с прочтением фрагментов определения как отдельных утверждений может происходить от недостаточного опыта чтения определений. Вы их читаете как бы "по слогам". И если видите фрагмент $x\in A$, то думаете, что здесь утверждается существование некоторого элемента $x\in A$.
Но отдельные слоги могут быть бессмысленными, а вот слово, из них составленное - при этом иметь смысл. Так же с математическими определениями.

[provincialka]

Множество корней уравнения $x^4+2x^3+2=0$. Это что за множество?

[anderlo]

provincialka в сообщении #1111250 писал(а):

Множество корней уравнения $x^4+2x^3+2=0$. Это что за множество?

Это то же самое что спросить что за множество - множество летающих крокодилов...
Дело в том, что по мне так математика не должна походить на Буддизм. Для меня остается тайной, как из летающих крокодилов вообще можно организовать множество. Множество это - совокупность там, или по другому как-нибудь назовите.
Мне непонятна сама идея совокупности объектов, которых не существует.
Давайте с точки зрения Буддизма - все есть пустота. Но каким-то образом по кантору из этой пустоты можно еще и совокупность составить. А именно - множество ничего. По мне так даже множество с одним элементом не имеет право на существование.
Чисто с точки зрения языка и терминологии я бы говорил, что такой объект, как корень, для данного уравнения не существует. А еще лучше - данное уравнение не обладает свойством иметь корни, а потому мы не можем составить их совокупность. Но еще важнее то, что на языке теории множеств это не должно выражаться как {$x|x\ne x$}
Давайте другую теорию множеств придумаем

-- 02.04.2016, 01:15 --

Mikhail_K в сообщении #1111240 писал(а):

Могу предположить, что ошибка в том, что Вы приучились читать фрагменты определения как отдельные утверждения.

возможно Вы правы.
Дело в том что вот эти скобки ( {...} )в моем сознании уже рождают множество. Читаем дальше {x|....} - тут я думаю ага! значит там "что-то" есть, а вертикальная черта(...|...) обещает мне еще и раскрыть особенности этого "чего-то", то есть у этого "чего-то" есть свойство ( $P(x)$ ) . Но особенность этого "чего-то" совершенно буддийским образом заключается в том, что этого "чего-то" нет.
Вот я вам говорю: -У меня в доме живет единорог. А вы меня спрашиваете: - Да, ну!? А какой он? А я вам: - А он такой, что его и нет. После чего вдали послышались звуки приближающихся сирен со стороны ковалевки! Если только вы не захотите прикупить себе тоже парочку, что бы потом хвастать друзьям, что у вас дома множество единорогов.

[Aritaborian]

anderlo в сообщении #1111283 писал(а):

Для меня остается тайной, как из летающих крокодилов вообще можно организовать множество.

Скажу больше: я могу с уверенностью утверждать, что каждый летающий крокодил умеет водить трамвай! (Это я на полном серьёзе говорю: первое апреля у нас уж полчаса как закончилось.)

-- 02.04.2016, 00:32 --

anderlo в сообщении #1111283 писал(а):

Но каким-то образом по кантору из этой пустоты можно еще и совокупность составить. А именно - множество ничего.

Вы ужаснётесь, но затем из этого ничего можно построить натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные числа и вообще все два тома Фихтенгольца. И всё законным образом!

[Anton_Peplov]

Ну вот от сформулированного на естественном языке тезиса "каждый элемент пустого множества обладает всеми наперед заданными свойствами" действительно мозг выламывается. Какой элемент, если их там нет? Тут скорее просто удобное соглашение, за которым не стоит искать содержания. Как, например, соглашение $0! = 1$.

(Оффтоп)

Кстати, интересно было бы собрать коллекцию таких соглашений.

[Red_Herring]

provincialka в сообщении #1111250 писал(а):

Множество корней уравнения $x^4+2x^3+2=0$. Это что за множество?

Состоящее из 4х элементов которые даже найти можно:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4%2B2x%5E3%2B2%3D0
Правда, все невещественные