Поиски суслика в пустом множестве

[arseniiv]

anderlo в сообщении #1111321 писал(а):

А конкретно про это где можно почитать?

Например, я вам приводил выше ссылки на целых две темы с упоминаниями там более чем четырёх учебников по теории множеств.

Someone в сообщении #1111314 писал(а):

По-моему, Вам об этом уже писали.

Так и было:

arseniiv в сообщении #1110889 писал(а):

Видимо, новостью будет и то, что запись $s=\{x\mid P(x)\}$ эквивалентна $\forall x(x\in s\leftrightarrow P(x))$?

anderlo в сообщении #1110919 писал(а):

Да, действительно новость! Благодарю.

Видимо, новость ещё не усвоилась…

Теперь кажется, что anderlo пытается троллить. А если не пытается, ему стоит перечитать тему и посидеть с бумажкой и ручкой, не знаю.

[anderlo]

arseniiv в сообщении #1111325 писал(а):

Видимо, новость ещё не усвоилась…

Да виноват. не всегда улавливаю суть сразу.

arseniiv в сообщении #1111325 писал(а):

Теперь кажется, что anderlo пытается троллить.

Даже не думал. Если бы тему заново не подняли меня бы тут не было.

arseniiv в сообщении #1111325 писал(а):

А если не пытается, ему стоит перечитать тему и посидеть с бумажкой и ручкой, не знаю.

Обязательно так и сделаю!
А литературу имел ввиду популистическую, как выше уже написал.
Всем большое спасибо!

-- 02.04.2016, 02:38 --

arseniiv в сообщении #1111325 писал(а):

Например, я вам приводил выше ссылки на целых две темы с упоминаниями там более чем четырёх учебников по теории множеств.

Куратовского, Мостового взял на чтение вроде легко идет.

[Geen]

(Someone)

Someone в сообщении #1111314 писал(а):

anderlo в сообщении #1111311 писал(а):

Только не вижу в определении никаких импликативных суждений. В определении пустого множества.

Потому что конструкция $X=\{x:\Phi(x)\}$ — это сокращение высказывания $x\in X\Leftrightarrow\Phi(x)$. По-моему, Вам об этом уже писали.

Someone в сообщении #1111289 писал(а):

Anton_Peplov в сообщении #1111287 писал(а):

Но про двухтомник Фреге - это было, точно было. Известная история.

Я Фреге не читал, но, насколько я знаю, у него была неограниченная аксиома свёртывания, разрешавшая образование множества $\{x:\Phi(x)\}$ для любого высказывания $\Phi(x)$. Из этой аксиомы получить множество всех множеств — плёвое дело.

Немного напрягает...

[arseniiv]

anderlo в сообщении #1111331 писал(а):

А литературу имел ввиду популистическую, как выше уже написал.

«Рассказы о множествах» Виленкина provincialka, кажется, называла.

[provincialka]

arseniiv
Ну.. не в этой теме! И про ZFC там ничего нет!

[anderlo]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1111342 писал(а):

«Рассказы о множествах» Виленкина provincialka, кажется, называла.

Виленкина дочитываю. там точно нет такого

[arseniiv]

Ну, мне трудно представить книгу одновременно

anderlo в сообщении #1111331 писал(а):

популистическую

и при этом аккуратно описывающую ZFC, и, кажется, я такой не видел. Нет царского пути в геометрию!

provincialka в сообщении #1111343 писал(а):

Ну.. не в этой теме!

Ой.

[Lia]

(Оффтоп)

Может, все-таки "популярную"?

[anderlo]

(Оффтоп)

Lia в сообщении #1111349 писал(а):

Может, все-таки "популярную"?

Кто-то не хочет чтобы топик кончался

[Mikhail_K]

provincialka в сообщении #1111250 писал(а):

Множество корней уравнения $x^4+2x^3+2=0$. Это что за множество?

Someone в сообщении #1111304 писал(а):

И будем жутко страдать из-за отсутствия пустого множества и одноэлементных множеств. Попробуйте догадаться, почему.

anderlo в сообщении #1111308 писал(а):

Я жутко страдаю от их присутствия))

Дело в том, что не про все множества сразу можно сказать, есть в них элементы или нет, и если есть то сколько. С условием $x\neq x$ сразу понятно, что ему не удовлетворяет ни один элемент вообще, но с другими условиями это может быть вовсе не ясно.
Вот в примере с корнями уравнения - сразу ведь не скажешь, сколько этих корней. Если запрещать пустое множество, то мы бы не смогли говорить о множестве корней уравнения до тех пор, пока точно не выяснили бы, что эти корни существуют. И о многих других множествах тоже не смогли бы говорить.

А если пустое множество мы не запрещаем, то можем говорить о множестве $\{x\in A\mid P(x)\}$, каким бы ни было условие $P(x)$, даже если про него мы пока не знаем, удовлетворяют ли ему какие-нибудь элементы или нет. Это удобно - каждому условию соответствует своё множество. (Парадоксов удаётся избежать явным указанием $x\in A$ - то есть новое множество строится на основе уже существующего множества $A$; но это детали.)

Я уж не говорю, что запретив пустое множество, мы не сможем определить простейшие операции теории множеств. Вот, например, пересечение двух множеств $A$ и $B$ - это множество, включающее те и только те элементы, которые содержатся в обоих множествах одновременно. Понятно, что таких элементов может и не быть - если $A$ и $B$ не имеют общих элементов, и тогда их пересечение пусто. А без пустого множества нам пришлось бы смириться с тем, что пересечение двух множеств иногда существует, иногда не существует - и это крайне неудобно.

[anderlo]

Mikhail_K в сообщении #1111394 писал(а):

А если пустое множество мы не запрещаем, то можем говорить о множестве $\{x\in A\mid P(x)\}$, каким бы ни было условие $P(x)$, даже если про него мы пока не знаем, удовлетворяют ли ему какие-нибудь элементы или нет. Это удобно - каждому условию соответствует своё множество. (Парадоксов удаётся избежать явным указанием $x\in A$ - то есть новое множество строится на основе уже существующего множества $A$; но это детали.)

Еще вчера я уже врубился окончательно. Помогли уточнения относительно того, что не следует читать все, что находится до вертикальной черты $\left\lbrace...|...\right\rbrace$, как высказывания, в которых что-то утверждается относительно существования каких либо объектов. Т.е. все, что стоит до нее нужно просто для обозначения(именования) тех объектов, которые будут использоваться в высказываниях стоящих после вертикальной черты. Я также понял, что наполнение множества происходит, или не происходит, после установления выполнимости свойства $P(x)$.
И учитывая все эти прозрения, я не против существования пустого множества т.к. теперь ясно, что это просто концентрированный смысл(обозначение) более громоздкого логического высказывания а именно: запись $s=\{x\mid P(x)\}$ эквивалентна $\forall x(x\in s\leftrightarrow P(x))$(с характерным для пустого множества условием). И да, согласен, что было-бы неудобно без него, как и без нуля в принципе.

[epros]

Mikhail_K в сообщении #1111394 писал(а):

С условием $x\neq x$ сразу понятно, что ему не удовлетворяет ни один элемент вообще

Предлагаю упростить до $\varnothing=\{x|\perp\}$.

[_Ivana]

Что-то у меня такое упрощение компилируется, но в рантайме выдает ошибку. Я уже показывал контрпример для такого наивного предиката, как x /= x, поэтому встречно предлагаю вместо боттома поставить просто False или const False x для пуристов.

[epros]

_Ivana в сообщении #1111531 писал(а):

Что-то у меня такое упрощение компилируется, но в рантайме выдает ошибку. Я уже показывал контрпример для такого наивного предиката, как x /= x

У меня хватило усидчивости для того, чтобы найти этот контрпример, но увы, не хватает её для того, чтобы разобраться без дополнительных пояснений.

_Ivana в сообщении #1111531 писал(а):

поэтому встречно предлагаю вместо боттома поставить просто False или const False x для пуристов.

Насколько я понимаю, в логике символ $\perp$ используется в том же смысле, что константа False в программизме.

[_Ivana]

epros в том примере я просто строю некоторое множество и определяю на нем бинарное отношение равенства всегда ложным для любых его элементов (вроде как имею право), вследствие чего его подмножество всех элементов, не равных самому себе, равно исходному множеству.

А насчет боттома и значения булевского типа, по крайней мере в программизме языка моего примера это совершенно разные вещи.