Что же это - неопределенный интеграл?

[Dan B-Yallay]

Lia: Отделено от «Верхний предел интеграла переменная»

Anton_Peplov в сообщении #1101564 писал(а):

Однако же, как уже указывал Munin, для неопределенного интеграла запись

$$F(x) = \int f(x) dx + C$$

считается легитимной (константа $C$ там может стоять в левой или правой части в зависимости от вкуса). Я правильно понимаю, что так писать тоже нельзя,...

Я не помню, чтобы где-то еще встречал именно такую запись. Не утверждаю, что так вообще не пишут, но...

Munin в сообщении #1101091 писал(а):

Ещё хуже. Пишем $\displaystyle F(x)=\int f(x)\,dx+C.$

Otta в сообщении #1101096 писал(а):

Наоборот. $\displaystyle \int f(x)\,dx = F(x)+C$.

Munin в сообщении #1101118 писал(а):

Конечно же!

Если не ошибаюсь, общепринятая интерпретация записи во второй цитате от Otta приблизительно такова:

Неопределеннеым интегралом $\displaystyle \int f(x)\,dx$ от функции $f(x)$ называется семейство первообразных $F(x)+C$, где $F(x)$ является первообразной к $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Например, $F(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)\,dt$

Поясните, как понимается выражение $F(x)=\displaystyle \int f(x)\,dx+C$. После этого уже можно обсуждать правильность той или иной формы этого равенства.

[arseniiv]

Anton_Peplov в сообщении #1101564 писал(а):

запись

$$F(x) = \int f(x) dx + C$$

считается легитимной

Хочется возразить. Всё-таки эта (точнее, наоборот, не эта ) запись из числа тех несимметричных записей с $=$, в которых вместо него подразумевается $\in$.

[Dan B-Yallay]

arseniiv в сообщении #1101614 писал(а):

Всё-таки эта (точнее, наоборот, не эта ) запись из числа тех несимметричных записей с $=$, в которых вместо него подразумевается $\in$.

Добавлю к (a)симметрии еще аналогию (отдалённую):

$$\begin{align*}\forall a \in \mathbb R: \qquad \infty &= a +\infty\\ a &\ne \infty - \infty\end{align*}$$

[g______d]

Anton_Peplov в сообщении #1101564 писал(а):

считается легитимной

Скорее все-таки не считается.

А по поводу исходного вопроса — здесь в точности та же проблема, что и в равенстве $f(n)=\sum\limits_{n=1}^n g(n)$. Потому что не понятно, чем именно является последнее $n$: переменной, по которой идет суммирование, или величиной, до которой идет суммирование. Разница по существу, потому что получаются разные ответы.

Студентам лучше всего такое объяснять на примере программирования: нельзя объявлять переменной цикла уже использованную глобальную переменную.

-- Вт, 23 фев 2016 13:33:12 --

Dan B-Yallay в сообщении #1101617 писал(а):

Добавлю к (a)симметрии еще и аналогию:

Здесь нет никакой аналогии. Вы переходите от первого равенства ко второму, прибавляя к обеим частям $-\infty$. Это можно делать только если левая и правая части принадлежат области определения операции "прибавить $-\infty$". Ну так вот, не принадлежат. Все равно как если бы вы из равенства $1\cdot 0=2\cdot 0$ выводили $1=2$.

[Dan B-Yallay]

g______d в сообщении #1101618 писал(а):

Здесь нет никакой аналогии. Вы переходите от первого равенства ко второму, прибавляя к обеим частям $-\infty$.

Не вижу там никакого "второго равенства". Если же речь идет о неравенстве во второй строчке, то оно так и говорит: элемент $a$ нельзя получить формальным перенесением одной части равенства в другую. По крайней мере я вкладывал именно такой смысл в аналогию. Извиняюсь, что не пояснил сразу.

[g______d]

Dan B-Yallay в сообщении #1101624 писал(а):

элемент $a$ нельзя получить формальным перенесением одной части равенства в другую.

Если что, то операции "формальное перенесение" не бывает. Бывает операция "прибавить $-a$ к обеим частям и воспользоваться равенством $a+(-a)=0$".

В случае с интегралом под равенством понимается равенство двух множеств. В равенствах множеств "формально переносить" нельзя, ровно потому что $A-A=\{x-y\colon x,y\in A\}\neq \{0\}$.

[Dan B-Yallay]

g______d в сообщении #1101633 писал(а):

Если что, то операции "формальное перенесение" не бывает. Бывает операция "прибавить $-a$ к обеим частям и воспользоваться равенством $a+(-a)=0$".

Хорошо, тогда поясните, как из стандартного $\displaystyle \int f(x)\, dx = F(x) +C$ было получено обсуждаемое $F(x) = \displaystyle \int f(x)\,dx + C$.
Kакими операциями, если не "формальным перенесением" ?
Указать на нелегальность которого и была призвана аналогия.

[g______d]

Dan B-Yallay в сообщении #1101645 писал(а):

Kакими операциями, если не "формальным перенесением"?
Указать на нелегальность которого и была призвана аналогия.

Операцией "прибавить $-C$ к обеим частям", выполненной с ошибкой: на самом деле $F(x)+C-C=F(x)+C\neq F(x)$.

[Dan B-Yallay]

g______d в сообщении #1101646 писал(а):

Операцией "прибавить $-C$ к обеим частям",

На повседневном языке это называется "перенести из одной части равенства в другую". А если это делается механически и при этом не проверяется, имеет ли смысл такая операция, наверное можно назвать это "формальным переносом"? Так же как иногда формально дифференцируют функции, даже не зная заранее, степень их гладкости.
Ну, если Вам не нравится такой термин, предложИте свой. Будем пользоваться, я не против.

(Оффтоп)

Upd
Hасколько я понимаю, вот все это:

g______d в сообщении #1101633 писал(а):

В равенствах множеств "формально переносить" нельзя, ровно потому что $A-A=\{x-y\colon x,y\in A\}\neq \{0\}$

g______d в сообщении #1101646 писал(а):

на самом деле $F(x)+C-C=F(x)+C\neq F(x)$

должно быть возражением и пояснением не мне, а

Anton_Peplov в сообщении #1101564 писал(а):

константа $C$ там может стоять в левой или правой части в зависимости от вкуса

Я лишь пытался сделать то же самое другими словами:

Dan B-Yallay в сообщении #1101607 писал(а):

Поясните, как понимается выражение $F(x)=\displaystyle \int f(x)\,dx+C$. После этого уже можно обсуждать правильность той или иной формы этого равенства.

и, возможно, спорной аналогией.

[Munin]

Удивительная упёртость.

Всё-таки, в правиле "отвечать на вопросы ЗУ" должны быть свои исключения...

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Может, переименовать ЗУ в инквизиторов, и выдать каждому по комплекту инструментов для убеждения?

[Anton_Peplov]

Отлично. Убедили. Ставить константу в левую или правую часть в зависимости от вкуса нельзя, потому что под $F(x)$ понимается одна конкретная функция, а под $\int f(x) dx$ класс функций, и никогда наоборот. По части "никогда наоборот" у меня есть сомнения, но, поскольку они никого, в т.ч. меня самого, не интересуют, примем как данность, что правильна такая, и только такая, запись:

$$ \int f(x) dx = F(x) + C $$

Пока все правильно?
Теперь вернемся к тому, о чем говорили. Извините за объемное цитирование, но здесь оно необходимо, чтобы вернуться в контекст.

Dan B-Yallay в сообщении #1101559 писал(а):

Краткое содержание предыдущих серий:

Александрович в сообщении #1100976 писал(а):

$F(x)=\int\limits_{a}^{x} f(x)dx$.
Почему неправильно?

Александрович в сообщении #1100995 писал(а):

Одна буква потому что обозначает одну и ту же переменную.

Otta в сообщении #1100998 писал(а):

Дык вот так не делается. :)

Александрович в сообщении #1100999 писал(а):

Устав не позволяет?
$x$ в $f(x)$ и в $F(x)$, а также в верхнем пределе интегрирования это одна и та же $x$.

Otta в сообщении #1101001 писал(а):

Раз одна и та же, возьмите $x=1$. Чтобы $F(1)$ найти

На этом вопросе как то все оборвалось.
Поэтому, есть предложение заслушать внеуставную интерпретацию любой из записей

$$F(1)=\int_a^1 f(1)d1$$

$$F(1)=\int_a^1 f(1)dx$$

Так вот, если мы согласны, что запись

$$ \int f(x) dx = F(x) + C $$

легитимна, есть встречное предложение заслушать интерпретацию любой из записей

$$ \int f(1) d1 = F(1) + C $$

$$ \int f(1) dx = F(1) + C $$

при, скажем, $f(x) = 2x$.
Или, за неимением такой интерпретации, снять выдвинутый аргумент.

[Brukvalub]

Anton_Peplov в сообщении #1101774 писал(а):

Отлично. Убедили. Ставить константу в левую или правую часть в зависимости от вкуса нельзя, потому что под $F(x)$ понимается одна конкретная функция, а под $\int f(x) dx$ класс функций, и никогда наоборот.

Чтобы вот так не корячиться, некоторые лекторы используют слегка подкорректированное определение неопределенного интеграла: "Неопределенным интегралом от некоторой функции на промежутке называется произвольная первообразная этой функции на рассматриваемом промежутке."

[Toucan]

Munin в сообщении #1101684 писал(а):

Удивительная упёртость.

Munin, замечание за некорректные формы ведения дискуссии.

[Dan B-Yallay]

Anton_Peplov в сообщении #1101774 писал(а):

Так вот, если мы согласны, что запись

$$ \int f(x) dx = F(x) + C $$

легитимна, есть встречное предложение заслушать интерпретацию любой из записей

$$ \int f(1) d1 = F(1) + C $$

$$ \int f(1) dx = F(1) + C $$

Anton_Peplov,
Дело в том, что запись $\displaystyle\int f(x) dx = F(x) + C$ относится к определению обозначения. То есть это мы сами договариваемся, что тем значком, что слева мы будем обозначать то, что находится справа. И баста. Никаких правил манипулирования с частями этого "yравнения" мы не оговариваем. Поэтому любые арифметические действия с ним, подстановки и прочие манипуляции требуют дальнейшего пояснения. Следовательно интерпретировать написанное Вами я не могу. Это Вам надо вложить смысл в написанное.

В отличие от обсужденной только что ситуации, запись $F(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\, dt$ является определением функции $F(x)$ (а не определением обозначения "$F(x)$"). Необходимость (резонность, удобство) использования разных имён переменных уже была пояснена тут не раз. Для вычисления значения этой функции в точке (1) также есть установленный алгоритм. Зная всё это, ТС решил всё равно продолжить обсуждение использования одной и той же переменний в выражении $F(x)=\displaystyle\int_a^x f(x)\, dx$

Собственно поэтому и возникло предложение выслушaть его, (а не Вашу, Anton_Peplov) интерпретацию записи, полученной по вышеуказанным правилам подсчёта значения $F(1)$ и согласно его утверждению об идентичниости переменных. Но если хотите выступить с ним на одной площадке, то это Ваше право.

-- Wed Feb 24, 2016 09:14:41 --

Anton_Peplov в сообщении #1101774 писал(а):

Или, за неимением такой интерпретации, снять выдвинутый аргумент.

Аргумент по вышеуказанным причинам остаётся в силе.