sincoscircleЯ тут размышлял, как можно было бы использовать векторы для записи преобразования координат, и вот о чём подумал. Декартовы координаты, конечно, необходимы для получения окончательной формулы преобразования. Но «пролазят» они в задачу не только поэтому. Они незримо присутствуют в самой сферической системе. И это я хочу показать.
Допустим, мы выбрали в пространстве начало координат

(пока что это единственный произвольный выбор), и теперь любую точку

можем представить радиус-вектором

. Совершенно не хочется выбирать какой-то базис, тем более декартов... Попробуем для данного вектора

записать его сферические координаты. Сначала всё идёт хорошо:

. Но уже на координате

обнаруживается, что необходимо какое-то выделенное направление, от которого мы будем отсчитывать угол. Так как у нас подход векторный, зададим направление вектором, назовём его

. Он может быть любой ненулевой длины, но для определённости пусть будет единичным. С его помощью запишем:

угол между векторами

и

, или

Теперь надо определить

. Мы можем найти проекцию

на плоскость

, перпендикулярную

:

Помимо проекции, нужен ещё один произвольный (ненулевой) вектор, лежащий в той же плоскости

, от которого мы будем отсчитывать угол

до проекции

. Можно назвать его как угодно, но Вы уже догадались, что я его назову

, и для определённости он будет единичным. И он перпендикулярен

, так как лежит в

. Итак,

угол между векторами

и

Далее оказывается, что для вычисления

удобно ввести вектор

, который по определению перпендикулярен уже введённым

и имеет единичную длину. Удобно потому, что

выражается через

и

с помощью функции

(что это такое и чем это лучше просто арктангенса, лучше всех может объяснить
arseniiv):

Таким образом, у нас получился ортонормированный базис

, хотя мы совершенно не стремились к декартовым координатам. Эти векторы появились исходя из построения сферических координат.
И в самом конце обнаруживается, что вспомогательные скалярные произведения (проекции

на базисные векторы)

— вещь гораздо более удобная при преобразованиях координат (в силу линейности), чем сами сферические координаты

.