Перевод из одной сферической системы в другую сферическую

[sincoscircle]

Как перевести из одной сферической системы координат в другую сферическую систему координат, заданную относительно первой ?

Обсуждая эту тему с людьми, никто не смог предложить какое-то простое прямое преобразование, типа матриц в декартовой системе.
Все говорят, что прямого преобразования нет, поскольку начала координат двух систем не совпадают, а системы сферические, то нет и линейного закона преобразования между ними, поэтому придется переводить сферические координаты в декартовы и обратно через арктангенсы, арккосинусы и корни.
А хотелось бы использовать какой-то менее затратный и простой способ преобразования, если он конечно вообще существует.

Спасибо за любые советы!

[Pphantom]

sincoscircle в сообщении #1094010 писал(а):

Обсуждая эту тему с людьми, никто не смог предложить какое-то простое прямое преобразование, типа матриц в декартовой системе.
Все говорят, что прямого преобразования нет, поскольку начала координат двух систем не совпадают, а системы сферические, то нет и линейного закона преобразования между ними, поэтому придется переводить сферические координаты в декартовы и обратно через арктангенсы, арккосинусы и корни.
А хотелось бы использовать какой-то менее затратный и простой способ преобразования, если он конечно вообще существует.

Линейного преобразования и в самом деле не будет, тут "все" совершенно правы. С другой стороны, промежуточный перевод в декартовы координаты тоже не нужен, задача решается и без них (я надеюсь, что центры у ССК все же совпадают?).

С переводом расстояния все тривиально - оно сохраняется. С углами можно поступить так. Возьмите сферический треугольник, вершинами которого являются два полюса каждой из ССК и некоторая произвольная точка, выразите в этом треугольнике все стороны (это возможно) и два угла при полюсах (это тоже возможно), после чего запишите для него сферические теоремы косинусов и синусов. Это и будут искомые формулы преобразования. Останется только подобрать знаки при окончательном вычислении обратных тригонометрических функций, но это несложно.

[sincoscircle]

Pphantom в сообщении #1094016 писал(а):

Линейного преобразования и в самом деле не будет, тут "все" совершенно правы. С другой стороны, промежуточный перевод в декартовы координаты тоже не нужен, задача решается и без них (я надеюсь, что центры у ССК все же совпадают?).

С переводом расстояния все тривиально - оно сохраняется. С углами можно поступить так. Возьмите сферический треугольник, вершинами которого являются два полюса каждой из ССК и некоторая произвольная точка, выразите в этом треугольнике все стороны (это возможно) и два угла при полюсах (это тоже возможно), после чего запишите для него сферические теоремы косинусов и синусов. Это и будут искомые формулы преобразования. Останется только подобрать знаки при окончательном вычислении обратных тригонометрических функций, но это несложно.

Центры у ССК не совпадают. В этом то и дело...

[Pphantom]

sincoscircle в сообщении #1094040 писал(а):

Центры у ССК не совпадают. В этом то и дело...

Тогда вариант с переходом к декартовым координатам, последующим переносом и возвратом к сферическим в произвольном случае действительно будет проще, чем что-либо другое.

[sincoscircle]

Pphantom в сообщении #1094044 писал(а):

sincoscircle в сообщении #1094040 писал(а):

Центры у ССК не совпадают. В этом то и дело...

Тогда вариант с переходом к декартовым координатам, последующим переносом и возвратом к сферическим в произвольном случае действительно будет проще, чем что-либо другое.

Спасибо за ответ. Даже такие ответы очень для меня важны, поскольку вы подтверждаете, что задача действительно сложная.

Я вот читал про преобразование сферических координат в астрономии http://www.astronet.ru/db/msg/1190817/node16.html, но как я понял там только поворот, без переноса... Может я чего та не так понял...

Как вы считаете, возможно ли какое то прямое преобразование через матрицы большей размерности или тензоры большего порядка, и подобные методы, используемые в римановой геометрии (и Общей Теории Относительности) ? Там же тензорные методы преобразования нелинейных пространств (хотя я в этом плохо понимаю), там как раз часто используют типа сферических систем координат.

Или возможно, вы могли бы посоветовать к кому можно обратиться в Питере, чтобы уж точно понять, да или нет:) Я бы заплатил за красивое решение такой задачи.

[Pphantom]

sincoscircle в сообщении #1094047 писал(а):

Я вот читал про преобразование сферических координат в астрономии http://www.astronet.ru/db/msg/1190817/node16.html , но как я понял там только поворот, без переноса... Может я чего та не так понял...

Это как раз тот случай, который я предполагал сначала. Но бывают и варианты со сменой центра ССК, просто нужно лезть в более специальную литературу.

sincoscircle в сообщении #1094047 писал(а):

Как вы считаете, возможно ли какое то прямое преобразование через матрицы большей размерности или тензоры большего порядка, и подобные методы, используемые в римановой геометрии (и Общей Теории Относительности) ? Там же тензорные методы преобразования нелинейных пространств (хотя я в этом плохо понимаю), там как раз часто используют типа сферических систем координат.

Или возможно, вы могли бы посоветовать к кому можно обратиться в Питере, чтобы уж точно понять, да или нет:) Я бы заплатил за красивое решение такой задачи.

Вы, по-видимому, меня не совсем поняли. Я не предполагаю, я знаю, что в общем случае эта задача более красивым образом, чем промежуточным переходом к декартовым координатам, не решается. Так что, если хотите, можете считать, что уже обратились и получили ответ.

[sincoscircle]

Pphantom в сообщении #1094048 писал(а):

Вы, по-видимому, меня не совсем поняли. Я не предполагаю, я знаю, что в общем случае эта задача более красивым образом, чем промежуточным переходом к декартовым координатам, не решается. Так что, если хотите, можете считать, что уже обратились и получили ответ.

Тогда я так и сделаю
Спасибо!

[svv]

В цепочку
переход от сферических к декартовым, параллельный перенос, переход от декартовых к сферическим
— я бы добавил ещё поворот вокруг начала координат. Его можно включить, конечно, в один из переходов, но тогда формулы этого перехода не будут привычными стандартными.

Если, конечно, обе сферических системы имеют разное «направление».

[Pphantom]

svv в сообщении #1094129 писал(а):

я бы добавил ещё поворот вокруг начала координат.

Само собой.

[sincoscircle]

Pphantom

А если нельзя использовать декартову систему, ну вот представим, что нет её в природе, а значит и синусов/косинусов нет, можно как то тогда преобразования сделать ? вопрос конечно чисто теоретический, и по сути сводится к тому, можно ли обходится без эвклидовых геометрий? P.s. не судите строго вопрос и его постановку, это просто любопытство:)

[Pphantom]

sincoscircle в сообщении #1094177 писал(а):

А если нельзя использовать декартову систему, ну вот представим, что нет её в природе, а значит и синусов/косинусов нет, можно как то тогда преобразования сделать ?

А смысл? Естественно, какое-то преобразование будет существовать, просто, например, не будет выражаться в элементарных функциях.

[sincoscircle]

Pphantom

Я кажется понял в чем подвох, я ожидаю соотношения этих сферических систем друг к другу так, как если бы они были заданы в общем эвклидовом пространстве, поэтому без транзита и нельзя, я сам себя пытался обмануть:)

[svv]

sincoscircle
Возможно, на часть Ваших вопросов можно ответить, рассмотрев более простой случай преобразования между двумя полярными системами координат на плоскости (с несовпадающими центрами).

[sincoscircle]

svv в сообщении #1094193 писал(а):

sincoscircle
Возможно, на часть Ваших вопросов можно ответить, рассмотрев более простой случай преобразования между двумя полярными системами координат на плоскости (с несовпадающими центрами).

Я с этого и начинал, там всё тоже самое получается.

-- 25.01.2016, 19:56 --

Решением на практике могло бы стать "создание" такого преобразования между двумя сферическими системами, которое давало бы приблизительно такой же результат, что и транзит, но выполнялось бы намного проще. Я имею ввижу скажем решение для компьютерной визуализации, где достаточно приметного результата (чтобы глаз не резало), но более производительное в плане скорости расчета. Понятно, что математически такие сферические системы координат уже не будет связаты декартовой системой.

[svv]

Посмотрите на всякий случай эту тему, вдруг пригодится.