2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Формула Тейлора (Зорич 1)
Сообщение29.11.2015, 22:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
gefest_md, дайте ОПРЕДЕЛЕНИЕ символа О-большое! Иначе тема, в которой доказательство дать проще, чем сформулировать вопрос, никогда не кончится! :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Тейлора (Зорич 1)
Сообщение29.11.2015, 22:34 
Аватара пользователя


01/12/06
697
рм
Brukvalub в сообщении #1078119 писал(а):
gefest_md, дайте ОПРЕДЕЛЕНИЕ символа О-большое!
Функция $f$ называется "О"-большим от функции $g$ по базе $\mathcal{B}$ если существуют элемент $B\in\mathcal{B}$ и функция $\beta$ такие, что $\exists C\forall x\in B|f(x)|<C$ и также $\forall x\in B(f(x)=\beta(x)g(x)).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Тейлора (Зорич 1)
Сообщение29.11.2015, 22:37 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Тейлора (Зорич 1)
Сообщение29.11.2015, 22:41 
Аватара пользователя


01/12/06
697
рм
Возможно не обязательно, что $\beta$ ограничена на том же элементе базы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Тейлора (Зорич 1)
Сообщение29.11.2015, 22:43 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Зачем все это? Неужели трудно посмотреть определение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Тейлора (Зорич 1)
Сообщение29.11.2015, 22:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва

(Оффтоп)

Может, сегодня луна не в той фазе? Количество благоглупостей в ПРР зашкаливает, причем большинство этих благоглупостей вызвано нежеланием открыть книгу (википедию).

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Тейлора (Зорич 1)
Сообщение29.11.2015, 22:51 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Понятно. Это эффект Зорича. Он убеждённый антиоккамист и потому плодит абсолютно ненужные базы даже в столь тривиальных ситуациях, когда функция определена на интервале. Естественно, что читатель отключается; в этом-то и класс настоящего преподавателя!

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Тейлора (Зорич 1)
Сообщение29.11.2015, 23:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Я сам слушал лекции Зорича на 1-м и 2-м курсе. Потом я слушал много других лекторов: Кострикина, Мищенко, Алексеева, Маркова, Шабата, Вишика, Синая, Арнольда, Лупанова .....
Поэтому могу авторитетно сказать в защиту Зорича - более ясных, четко структурированных, с подробными объяснениями и неспешных лекций, чем у Зорича, я - не слушал! :twisted:

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Тейлора (Зорич 1)
Сообщение29.11.2015, 23:02 
Аватара пользователя


01/12/06
697
рм

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1078130 писал(а):
открыть книгу

Зорич
Цитата:
Определение 23. Условимся, что запись $f\underset{\mathcal{B}}{=}(g)$ или $f=O(g)$ при базе $\mathcal{B}$ (читается ... ) будет означать, что финально при базе $\mathcal{B}$ выполнено соотношение $f(x)=\beta(x)g(x)$, где $\beta(x)$ - финально ограниченная при базе $\mathcal{B}$ функция.
В однотомнике Кудрявцева не нашёл про "О"-большое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Тейлора (Зорич 1)
Сообщение29.11.2015, 23:03 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Ну и так кто там ограничен?

-- 30.11.2015, 01:06 --

(Оффтоп)

ЗЫ Путаются функции, а виноваты, конечно, базы. И называется это эффектом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Тейлора (Зорич 1)
Сообщение29.11.2015, 23:06 
Аватара пользователя


01/12/06
697
рм
gefest_md в сообщении #1078128 писал(а):
Возможно не обязательно, что $\beta$ ограничена на том же элементе базы.

Я косвенно исправился.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Тейлора (Зорич 1)
Сообщение29.11.2015, 23:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
gefest_md, теперь переформулируете определение О-большого для базы проколотых окрестностей точки и воспользуйтесь им.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Тейлора (Зорич 1)
Сообщение30.11.2015, 01:05 


20/03/14
12041
 i  Обсуждение, чья шаурма лучше, по традиции отделено в форум "Вопросы преподавания",
«Об определении О большого»

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Тейлора (Зорич 1)
Сообщение30.11.2015, 06:02 
Аватара пользователя


01/12/06
697
рм
(Л) $\forall f\forall x_0\in\mathbb{R}\forall x\in\mathbb{R}\forall n\in\mathbb{N}\left(A_1(f;n;x_0;x)\to\exists\xi(x_0,x)\left(f(x)-P_n(x_0;x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\right)\right)$

(О) $\forall f\forall x_0\in\mathbb{R}\forall n\in\mathbb{N}\exists\mathcal{B}\left(A_2(f;n;x_0;U)\wedge A'\to (f(x)-P_n(x_0;x))\underset{\mathcal{B}}{=}O\left(\left(x-x_0\right)^{n+1}\right)\right)$

$A_1(f;n;x_0;x) : =\ $ на отрезке с концами $x_0, x$ функция $f$ непрерывна вместе с первыми $n$ своими производными, а во внутренних точках этого отрезка она имеет производную порядка $n+1$.
$A_2(f;n;x_0;U) : =\ $ в обычной окрестности $U$ точки $x_0$ функция $f$ непрерывна вместе с первыми $n$ своими производными, где она также имеет производную порядка $n+1$.
$A':=$ функция $f^{(n+1)}(x)$ ограничена в некоторой окрестности точки $x_0.$


Докажем (О)
Пусть $f$ - функция, $x_0\in\mathbb{R}$, $n\in\mathbb{N}$. Пусть $\mathcal{B}$ это $x\to x_0$. Пусть $A_2(f;n;x_0;U)$. И пусть $A'$, т.е. функция $f^{(n+1)}(x)$ ограничена в некоторой окрестности $B$ точки $x_0$ числом $c_1$. Докажем заключение выражения (О). Для этого запишу определение О большого в удобном виде.

$\exists B_1\in\mathcal{B}\exists B_2\in\mathcal{B}\exists\beta\left(\exists C\forall x\in B_1|\beta(x)|<C\wedge\forall x\in B_2(f(x)-P_n(x_0;x)=\beta(x)(x-x_0)^{n+1})\right)$

Пусть $B_1=B_2=(B\cap U)\setminus\{x_0\}.$ Пусть $\beta(x)=\frac{f(x)-P_n(x_0;x)}{(x-x_0)^{n+1}}$, определенная на $(B\cap U)\setminus\{x_0\}.$

1. Пусть $C=\frac{c_1}{(n+1)!}.$ Пусть $x\in B_1.$ Тогда из (Л) имеем $f(x)-P_n(x_0;x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$, где $\xi$ лежит между $x_0$ и $x\ne x_0.$ Тогда $|\beta(x)|=\left|\frac{f(x)-P_n(x_0;x)}{(x-x_0)^{n+1}}\right|=\left|\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\right|<\frac{c_1}{(n+1)!}=C$.

2. Пусть $x\in B_2.$ Тогда $x\ne x_0.$ Поэтому $f(x)-P_n(x_0;x)=\frac{f(x)-P_n(x_0;x)}{(x-x_0)^{n+1}} (x-x_0)^{n+1}=\beta(x) (x-x_0)^{n+1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула Тейлора (Зорич 1)
Сообщение01.12.2015, 04:16 
Аватара пользователя


01/12/06
697
рм
ewert в сообщении #1077987 писал(а):
gefest_md в сообщении #1077807 писал(а):
Сразу после этого Зорич пишет: "Так что ... формула (35) [Лагранж] содержит в себе локальную формулу (36) ["о"-малое]". Это я надеюсь понять, если отвечу на первый вопрос.
если Вы его точно процитировали
Действительно, я что-то важное пропустил
Цитата:
Так что для бесконечно дифференцируемых функций, ..., формула (35) [Лагранж] содержит в себе локальную формулу (36) ["о"-малое]"
Теперь понятно, если функция дифференцируема в точке, то она ограничена в некоторой её окрестности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group