Формула Тейлора (Зорич 1)

[gefest_md]

Здравствуйте! Читаю первый том Зорича, 2012. На странице 266 говорится, что, при ограниченности $f^{(n+1)}(x)$ в окрестности $x_0$, из формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа вытекает асимптотическая формула (с "О"-большим)

Пытаясь это доказать, я сформулировал задачу таким образом.

Пусть $\forall x\in\mathbb{R}\forall n\in\mathbb{N}\exists\xi(x_0,x)\left(f(x)-P_n(x_0;x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\right)$ и $f^{(n+1)}(x)$ ограничена в некоторой окрестности $x_0$. Тогда $\forall n\in\mathbb{N}\left(f(x)-P_n(x_0;x)\underset{x\to x_0}{=}O\left(\left(x-x_0\right)^{n+1}\right)\right)$, где $P_n(x_0;x)$ - полином Тейлора.

У меня не получается это доказать. Должно ли получаться? Может быть я неверно сформулировал задачу.

Сразу после этого Зорич пишет: "Так что ... формула (35) [Лагранж] содержит в себе локальную формулу (36) ["о"-малое]". Это я надеюсь понять, если отвечу на первый вопрос.

[Otta]

Непонятно, что не получается. Это сразу следует из определения О большого.

[gefest_md]

Доказываю заключение. Пусть $n\in\mathbb{N}$. У меня есть $f^{(n+1)}(x)$ - ограниченная функция в некоторой окрестности точки $x_0$. Беру произвольный $x$ из этой окрестности. Подставляю $x$ и $n$ в посылку. Получаю $f(x)-P_n(x_0;x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$. И кажется нужна какая-то другая ограниченная функция, чтобы $f(x)-P_n(x_0;x)=\beta(x)(x-x_0)^{n+1}$.

[Otta]

А чем Вам плоха та, что есть?

[gefest_md]

Otta в сообщении #1077814 писал(а):

А чем Вам плоха та, что есть?

Для той $\beta(x)$, что есть не могу доказать $f(x)-P_n(x_0;x)=\beta(x)(x-x_0)^{n+1}$.

[Otta]

Так. :) А какая у Вас есть?

[gefest_md]

Честно говоря, уже нет никакой. Мне сразу показалось, читая учебник, что это может быть $f^{(n+1)}(x)$ или $\frac{f^{(n+1)}(x)}{(n+1)!}$.

[ewert]

gefest_md, возможно, что проблемы у Вас из-за неполноценности записи: к $\exists\xi(x_0,x)$ надо бы кое-что добавить. И тогда никакой беты вообще не понадобится.

[gefest_md]

Цитата:

Если $f$ имеет производную порядка $n+1$ в интервале с концами $x_0,\ x$, то

$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\ldots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$,

где $\xi$ - точка, лежащая между $x_0$ и $x$.

Это я запишу так: $\forall f\forall x_0\in\mathbb{R}\forall x\in\mathbb{R}\forall n\in\mathbb{N}\left(A(f;n;x_0;x)\to\exists\xi(x_0,x)\left(f(x)-P_n(x_0;x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\right)\right)$
В этой записи $A(f;n;x_0;x) : =\ $ на отрезке с концами $x_0, x$ функция $f$ непрерывна вместе с первыми $n$ своими производными, а во внутренних точках этого отрезка она имеет производную порядка $n+1$.

ewert в сообщении #1077924 писал(а):

возможно, что проблемы у Вас из-за неполноценности записи: к $\exists\xi(x_0,x)$ надо бы кое-что добавить.

Немножко изменил свою запись: добавил предикат $A$. Но что-нибудь ещё поменять существенное, я не согласен.

[ewert]

gefest_md в сообщении #1077981 писал(а):

Немножко изменил свою запись: добавил предикат $A$.

Совершенно ненужный предикат. А вот что необходимо было безусловно и без чего доказательство разваливается -- так это указать в этой цепочке, где $\xi$ расположен.

И, кстати:

gefest_md в сообщении #1077807 писал(а):

Сразу после этого Зорич пишет: "Так что ... формула (35) [Лагранж] содержит в себе локальную формулу (36) ["о"-малое]". Это я надеюсь понять, если отвечу на первый вопрос.

Вряд ли Вам удастся это понять. Т.к. Зорич (если Вы его точно процитировали) глубоко не прав: формула Лагранжа сама по себе никакого о-маленького не содержит. Его содержит теорема Лагранжа в целом, и совершенно независимо от ограниченности старшей производной.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #1077987 писал(а):

формула Лагранжа сама по себе никакого о-маленького не содержит. Его содержит теорема Лагранжа в целом, и совершенно независимо от ограниченности старшей производной.

Речь идет не о формуле Лагранжа, а о формуле Тейлора с ост. членом в форме Лагранжа.

[ewert]

Brukvalub в сообщении #1078025 писал(а):

формуле Тейлора с ост. членом в форме Лагранжа.

Вот он-то и не содержит никаких о-маленьких. Ели не привлекать дополнительной информации.

[Brukvalub]

Так есть очевидная доп. информация:

gefest_md в сообщении #1077813 писал(а):

есть $f^{(n+1)}(x)$ - ограниченная функция в некоторой окрестности точки $x_0$.

[ewert]

Brukvalub в сообщении #1078050 писал(а):

Так есть очевидная доп. информация:

Но речь-то шла о том, что следует из формулы. А это уже увы.

[gefest_md]

Не понятно вот ещё по какой причине. Формула Тейлора с "О"-большим справедлива, если функция имеет хотя бы $n$ производных в точке $x_0$. Тогда она сразу следует из теоремы о локальной формуле Тейлора ("о"-малое). А касательно формулы Тейлора в форме Лагранжа, для её выполнения требуется чтобы функция имела ещё производную $n+1$ где-то вблизи $x_0.$ Поэтому до точки $\xi$ я не доберусь, даже если она хочет сильно мне помочь.