Формула Тейлора (Зорич 1)

[Brukvalub]

gefest_md, дайте ОПРЕДЕЛЕНИЕ символа О-большое! Иначе тема, в которой доказательство дать проще, чем сформулировать вопрос, никогда не кончится!

[gefest_md]

Brukvalub в сообщении #1078119 писал(а):

gefest_md, дайте ОПРЕДЕЛЕНИЕ символа О-большое!

Функция $f$ называется "О"-большим от функции $g$ по базе $\mathcal{B}$ если существуют элемент $B\in\mathcal{B}$ и функция $\beta$ такие, что $\exists C\forall x\in B|f(x)|<C$ и также $\forall x\in B(f(x)=\beta(x)g(x)).$

[Otta]

Неверно.

[gefest_md]

Возможно не обязательно, что $\beta$ ограничена на том же элементе базы.

[Otta]

Зачем все это? Неужели трудно посмотреть определение?

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Может, сегодня луна не в той фазе? Количество благоглупостей в ПРР зашкаливает, причем большинство этих благоглупостей вызвано нежеланием открыть книгу (википедию).

[ewert]

Понятно. Это эффект Зорича. Он убеждённый антиоккамист и потому плодит абсолютно ненужные базы даже в столь тривиальных ситуациях, когда функция определена на интервале. Естественно, что читатель отключается; в этом-то и класс настоящего преподавателя!

[Brukvalub]

Я сам слушал лекции Зорича на 1-м и 2-м курсе. Потом я слушал много других лекторов: Кострикина, Мищенко, Алексеева, Маркова, Шабата, Вишика, Синая, Арнольда, Лупанова .....
Поэтому могу авторитетно сказать в защиту Зорича - более ясных, четко структурированных, с подробными объяснениями и неспешных лекций, чем у Зорича, я - не слушал!

[gefest_md]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1078130 писал(а):

открыть книгу

Зорич

Цитата:

Определение 23. Условимся, что запись $f\underset{\mathcal{B}}{=}(g)$ или $f=O(g)$ при базе $\mathcal{B}$ (читается ... ) будет означать, что финально при базе $\mathcal{B}$ выполнено соотношение $f(x)=\beta(x)g(x)$, где $\beta(x)$ - финально ограниченная при базе $\mathcal{B}$ функция.

В однотомнике Кудрявцева не нашёл про "О"-большое.

[Otta]

Ну и так кто там ограничен?

-- 30.11.2015, 01:06 --

(Оффтоп)

ЗЫ Путаются функции, а виноваты, конечно, базы. И называется это эффектом.

[gefest_md]

gefest_md в сообщении #1078128 писал(а):

Возможно не обязательно, что $\beta$ ограничена на том же элементе базы.

Я косвенно исправился.

[Brukvalub]

gefest_md, теперь переформулируете определение О-большого для базы проколотых окрестностей точки и воспользуйтесь им.

[Lia]

Обсуждение, чья шаурма лучше, по традиции отделено в форум "Вопросы преподавания",
«Об определении О большого»

[gefest_md]

(Л) $\forall f\forall x_0\in\mathbb{R}\forall x\in\mathbb{R}\forall n\in\mathbb{N}\left(A_1(f;n;x_0;x)\to\exists\xi(x_0,x)\left(f(x)-P_n(x_0;x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\right)\right)$

(О) $\forall f\forall x_0\in\mathbb{R}\forall n\in\mathbb{N}\exists\mathcal{B}\left(A_2(f;n;x_0;U)\wedge A'\to (f(x)-P_n(x_0;x))\underset{\mathcal{B}}{=}O\left(\left(x-x_0\right)^{n+1}\right)\right)$

$A_1(f;n;x_0;x) : =\ $ на отрезке с концами $x_0, x$ функция $f$ непрерывна вместе с первыми $n$ своими производными, а во внутренних точках этого отрезка она имеет производную порядка $n+1$.
$A_2(f;n;x_0;U) : =\ $ в обычной окрестности $U$ точки $x_0$ функция $f$ непрерывна вместе с первыми $n$ своими производными, где она также имеет производную порядка $n+1$.
$A':=$ функция $f^{(n+1)}(x)$ ограничена в некоторой окрестности точки $x_0.$


Докажем (О)
Пусть $f$ - функция, $x_0\in\mathbb{R}$, $n\in\mathbb{N}$. Пусть $\mathcal{B}$ это $x\to x_0$. Пусть $A_2(f;n;x_0;U)$. И пусть $A'$, т.е. функция $f^{(n+1)}(x)$ ограничена в некоторой окрестности $B$ точки $x_0$ числом $c_1$. Докажем заключение выражения (О). Для этого запишу определение О большого в удобном виде.

$\exists B_1\in\mathcal{B}\exists B_2\in\mathcal{B}\exists\beta\left(\exists C\forall x\in B_1|\beta(x)|<C\wedge\forall x\in B_2(f(x)-P_n(x_0;x)=\beta(x)(x-x_0)^{n+1})\right)$

Пусть $B_1=B_2=(B\cap U)\setminus\{x_0\}.$ Пусть $\beta(x)=\frac{f(x)-P_n(x_0;x)}{(x-x_0)^{n+1}}$, определенная на $(B\cap U)\setminus\{x_0\}.$

1. Пусть $C=\frac{c_1}{(n+1)!}.$ Пусть $x\in B_1.$ Тогда из (Л) имеем $f(x)-P_n(x_0;x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$, где $\xi$ лежит между $x_0$ и $x\ne x_0.$ Тогда $|\beta(x)|=\left|\frac{f(x)-P_n(x_0;x)}{(x-x_0)^{n+1}}\right|=\left|\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\right|<\frac{c_1}{(n+1)!}=C$.

2. Пусть $x\in B_2.$ Тогда $x\ne x_0.$ Поэтому $f(x)-P_n(x_0;x)=\frac{f(x)-P_n(x_0;x)}{(x-x_0)^{n+1}} (x-x_0)^{n+1}=\beta(x) (x-x_0)^{n+1}$.

[gefest_md]

ewert в сообщении #1077987 писал(а):

gefest_md в сообщении #1077807 писал(а):

Сразу после этого Зорич пишет: "Так что ... формула (35) [Лагранж] содержит в себе локальную формулу (36) ["о"-малое]". Это я надеюсь понять, если отвечу на первый вопрос.

если Вы его точно процитировали

Действительно, я что-то важное пропустил

Цитата:

Так что для бесконечно дифференцируемых функций, ..., формула (35) [Лагранж] содержит в себе локальную формулу (36) ["о"-малое]"

Теперь понятно, если функция дифференцируема в точке, то она ограничена в некоторой её окрестности.