Задачи Теорвер

[Mitrofan]

Я представил себе этот интеграл как сумму всех векторов $e^{itx}p(x)$, где $e^{itx}$ - вращающийся вектор, а $p(x)$ его длина. И х.ф. будет равна нулю если эта сумма векторов будет равна нулю. Мы ищем в этом всем доказательство того, что Если p(x) будет монотонно убывать, то х.ф. не будет равна нулю любом $t$.
Кажется дошло.
Если это будет бесконечной суммой векторов с убывающей длиной, то мы можем представить эту сумму как спираль на рисунке. И действительно они не сойдутся в начало координат.

(Оффтоп)

Причем, вектор при изменении $x$ на одинаковые значения поворачиваются на одинаковый угол. А Кси - коэффициент скорости поворота.
Теперь нужно придумать как грамотно записать доказательство.
Посоветуйте как быть с первой задачей?

[Mitrofan]

Mitrofan в сообщении #1075043 писал(а):

Здравствуйте, помогите решить:

1. Пусть $\xi$_1$, $\xi$_2$, ... последовательность независимых одинаково распределенных ограниченных случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями.
Доказать, что ряд $\sum {C_n\xi$_n}$, где $C_1$,$C_2$,... последовательность вещественных чисел почти наверное сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum {C_n^2}$.



Мои наработки:
1.
$\Rightarrow$
$\sum {C_n^2}$ сходится $\Rightarrow$ $ \lim\limits_{n \to \infty } C_n^2=0$;
Следовательно, $\lim\limits_{n \to \infty } |C_n|=0$;
$\sum {C_n\xi$_n}$ - знакопеременный и сходится если $\sum {|C_n\xi$_n|}=\sum {|C_n||\xi$_n|}$ - сходится. Что дальше делать не ясно, поскольку мы не можем утверждать, что $\sum {|C_n|}$ сходится.
$\Leftarrow$
-



Прошу совета.

Все еще не понял что делать дальше.

[Otta]

Мил человек, Вы и со второй задачей ничего не поняли, даже рядом. На каком же языке с Вами говорить, когда задачи предполагают изрядную базу, а у Вас нет никакой? Задачи для продвинутого третьего, а у Вас первый рыдает? Все с начала рассказывать, от Рождества Христова?

Дорешайте вторую сперва, нормально и как следует.

[Mitrofan]

Otta в сообщении #1076159 писал(а):

Мил человек, Вы и со второй задачей ничего не поняли, даже рядом. На каком же языке с Вами говорить, когда задачи предполагают изрядную базу, а у Вас нет никакой? Задачи для продвинутого третьего, а у Вас первый рыдает? Все с начала рассказывать, от Рождества Христова?

Дорешайте вторую сперва, нормально и как следует.

А вот это обидно:(

[Otta]

Это и правда обидно. :( Вы даже не представляете как. ((

[Mitrofan]

$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{itx}p(x) dx=\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(tx)p(x)dx +i\int_{-\infty}^{+\infty}\sin(tx)p(x)dx$

[Otta]

Ну вот, совсем другое дело.
Так когда это прекрасное сооружение равно нулю?

[Mitrofan]

Когда составляющие интеграла с синусом при $tx \in [(2n-1)\pi; 2n\pi]$ будут равны составляющим при $tx \in [2n\pi; (2n-1)\pi]$;$n$ - целые. (и аналогично для косинуса со смещением интервалов на $\frac{\pi}{4}$, но достаточно подтвердить неравенство нулю одного из интегралов, чтобы х.ф. была ненулевой)
Интеграл каждого последующего полупериода меньше предыдущего. Очевидно, что в сумме они не дадут ноль, но как это доказать пока не дошло.

[Otta]

Давайте по порядку. Про который интеграл Вы говорите. Что с ним должно быть - со всем интегралом. При каком условии (аккуратно выписанном) это происходит.

[Mitrofan]

Otta в сообщении #1076174 писал(а):

Давайте по порядку. Про который интеграл Вы говорите. Что с ним должно быть - со всем интегралом. При каком условии (аккуратно выписанном) это происходит.

Поправил и ушел.

[Otta]

Запишите сперва сам интеграл. Можно у себя. Нарисуйте график подынтегральной функции - и там, и там. Обратите внимание на промежуток интегрирования - будет ли это вся прямая. Разбейте на суммы по нужным участкам. Получится что-то типа ряда из пар слагаемых-интегралов от положительной функции одно слагаемое и отрицательной другое. Вся пара интегралов - по полному периоду. Сделайте подходящую замену-сдвиг в одном из них (в каждом слагаемом), так, чтобы интегрирование было по одному промежутку - ряд из пар слагаемых-интегралов должен при этом превратиться в ряд из просто интегралов. Но при этом будет понятно, какого знака подынтегральная функция.

Эта процедура хорошо проходит для только одного интеграла (то ли вещественной части, то ли мнимой части х.ф.). Я нарочно не говорю какой, порисуйте график, увидите.

[Mitrofan]

Готово, проверьте пожалуйста. Ниже - суммы положительных(первый интеграл) и отрицательных(второй интеграл) составляющих интеграла мнимой части х.ф. При одинаковых n - принадлежат n-ому периоду.
$i\int_{0}^{+\infty}\sin(tx)p(x)dx=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\int_{\frac{(2n-2)\pi}{t}}^{\frac{(2n-1)\pi}{t}}\sin(tx)p(x)dx+\int_{\frac{(2n-1)\pi}{t}}^{\frac{(2n)\pi}{t}}\sin(tx)p(x)dx)$

Рассмотрим периодами.

(Оффтоп)

Интеграл полупериода на котором подынтегральная функция положительна(нечетного) больше интеграла на котором она отрицательна для любого n, т.к. амплитуда убывает.
$\int_{\frac{(2n-2)\pi}{t}}^{\frac{(2n-1)\pi}{t}}\sin(tx)p(x)dx > \int_{\frac{(2n-1)\pi}{t}}^{\frac{(2n)\pi}{t}}\sin(tx)p(x)dx$
Выходит, что: $i\int_{0}^{+\infty}\sin(tx)p(x)dx > 0 \Rightarrow$ характеристическая функция не равна нулю при любом t

[Otta]

Mitrofan в сообщении #1076412 писал(а):

$i\int_{0}^{+\infty}\sin(tx)p(x)dx > 0 \Rightarrow$

Мнимое число. Больше нуля. Ага.

Mitrofan в сообщении #1076412 писал(а):

$\int_{\frac{(2n-2)\pi}{t}}^{\frac{(2n-1)\pi}{t}}\sin(tx)p(x)dx > \int_{\frac{(2n-1)\pi}{t}}^{\frac{(2n)\pi}{t}}\sin(tx)p(x)dx$

Это очевидно, потому что слева нечто положительное, а справа отрицательное. Вы не то сравниваете. А когда будете сравнивать то, не забудьте обосновать неравенство, а не просто "на глаз". "На глаз" - это идея, доказательство должно быть точным.

[Mitrofan]

Назовем промежутки $[\frac{(2n-2)\pi}{t};\frac{(2n-1)\pi}{t}] - P_n$, а $[\frac{(2n-1)\pi}{t};\frac{(2n)\pi}{t}] - N_n$. Пусть $\varphi \in P_n, \psi \in N_n$.

$F(x)=\sin(tx)p(x)$

Для любых $\varphi=\psi-\frac{\pi}{2t}$
$|F(\varphi)|>|F(\psi)|$

$|\int_{\frac{(2n-2)\pi}{t}}^{\frac{(2n-1)\pi}{t}}\sin(tx)p(x)dx| > |\int_{\frac{(2n-1)\pi}{t}}^{\frac{(2n)\pi}{t}}\sin(tx)p(x)dx|$

$i\int_{0}^{+\infty}\sin(tx)p(x)dx \ne 0$

[Otta]

Mitrofan в сообщении #1076453 писал(а):

$\varphi=\psi-\frac{\pi}{2t}$

А оно тут причем?

В общем, если дошлифуете, будет нормально.