Нерешенные задачи математики

[ex-math]

zcorvid в сообщении #1036893 писал(а):

С удовольствием прочитал бы что-то подобное от других участников форума, кто какие задачи считает начальными в той или иной части математики.

В аналитической теории чисел нужно свободно решать задачи из книги А.А.Карацубы "Основы аналитической теории чисел". Есть еще несколько подбных книг, но эта наиболее каноническая. Если на этом уровне есть сложности, то копать дальше -- просто трата времени.

[maximk]

Munin, ответ "да" на оба вопроса.
amon, не понял, переформулируйте пожалуйста.
Nataly-Mak, не интересует computer science.
zcorvid, книгу читаю не спеша, дошел пока еще только до гомотопий. Позже попробую решить хотя бы некоторые из перечисленных задач. Конечно я не против, чтобы вы выложили список некоторых нерешенных задач, к чему бы эти границы, установленные вами (или кем?)? На счёт подготовки в специальных областях можете не беспокоиться.
kp9r4d, есть, что порешать, жаль, что незивестно, что дает решение подобных задач.
Anton_Peplov, видел эти задачи, интересует список задач пошире, включающий другие области математики.

Не всегда нахожу нужным решать подготовительные задачи, быть может со мной многие не согласятся, но я нахожу более интересным получать (скажем, в аналитической теории чисел) сразу более сильные результаты, ибо можно такое же количество времени потратить на то, что уже кем-то было доказано, а жизнь-то идёт. Есть базовые навыки в специальной области - дерзай, со временем пройдя по уже полученным результатам, сможешь получить новые, не решая специально задачи для практики. Если есть уверенное владение анализом, то можно постепенно уйти очень далеко, со временем нужные мысли приходят сами, остаётся лишь, правильно интерпретировать догадки. Уверен, что при хватке интереса к задаче, смогу добить ее до конца.
Опыт в решении задач имеется, пользоваться определинями умею - есть всё, что нужно для решения задач любой сложности.

[Nataly-Mak]

maximk в сообщении #1037003 писал(а):

Nataly-Mak, не интересует computer science.

Названная мной проблема относится к распределению простых чисел в натуральном ряду.
Да, решается она с помощью программирования, но не только. И проблема эта "вечная", решили очень много, осталось решить ещё больше

Цитата:

Не всегда нахожу нужным решать подготовительные задачи...

С места - в карьер

[g______d]

На первое время:

http://mathoverflow.net/questions/48299 ... n-problems

http://mathoverflow.net/questions/10026 ... understand

http://mathoverflow.net/questions/tagge ... blems-list

[maximk]

ex-math, то есть у некоторых получается сразу с ходу увидеть, из каких теорем или лемм следует утверждение упражнения? А как же равенства-неравенства в доказательствах утверждений в основном тексте, там тоже все переходы очевидны?

[ex-math]

maximk
Надо размышлять, пробовать разные варианты. Когда долго не выходит, обратиться к указанию. Важно решить задачу полностью, до конца, не останавливаясь на "дальше понятно как". Потому что так оттачивается техника, а с пробелами в технике никакие идеи погоды не сделают.

Вот стандартная задача: найти асимптотическую формулу для $\sum_{n\leqslant x}2^{\nu (n )} $, где $\nu (n) $ -- количество различных простых делителей $n $. Справитесь? Если хотите заниматься исследованиями, такие задачи нужно решать с закрытыми глазами, да еще и уметь заранее предсказать ответ.

[maximk]

ex-math, думаю, что справлюсь, но пока нет желания решать ее. Не могу оценить, сколько времени могу потратить на нее, если известна асимптотика для функции числа делителей, то немного. А почему вы считаете, что с проблемами в технике никакие идеи погоды не сделают? И что вы понимаете под техникой, элементарные преобразования?

[sup]

(Оффтоп)

Что-то мне все это напомнило пару известных шуток.

- Вы умеете играть на скрипке?
- Не знаю, не пробовал.

- Не пора ли, друзья мои, нам замахнуться на Вильяма, понимаете ли, м-м, нашего Шекспира?
- А что? И замахнемся!

Так что скрипкой на Шекспира очень даже можно замахнуться. Главное, чтоб воля была к победе (с).

[ex-math]

maximk
Функция числа делителей, будь то $\nu (n) $ или $\tau (n) $ или какая другая, не имеет асимптотики, она "скачет" в определенных границах. Это был пример на метод комплексного интегрирования -- стандартный способ находить асимптотики для сумм мультипликативных функций. Если Вы что-то читали по аналитической теории чисел, то должны это знать. Идейно это не сложно: записать производящую функцию, аналитически продолжить, записать искомую сумму через интеграл от этой функции, перенести контур левее, вычеты дадут главный член, оценка интеграла по контуру -- остаток. Подобные задачи сплошь и рядом возникают в исследовании, это надо уметь делать свободно. Как для тренировки подобных навыков и нужны учебные задачи, которые Вы хотите миновать.

Техника -- это умение и возможность совершать преобразования, обосновывать переходы. Элементарность относительна: вычислить интеграл элементарно для студента, но нетривиально для школьника, решить приведенную мной задачу элементарно для специалиста, но нетривиально для выпускника матфака.

Идея не может воплотиться без техники. Доказательства просто не будет. Пройдет идея или нет, не узнать, пока не воплотишь ее. Так работают ферматики -- являют миру "оригинальную идею" в неряшливой обертке, а остальные пусть разбираются. Нежелание разбирать работы предшественников, переоткрытие известного -- из той же оперы.

Поймите, что без труда не вынешь и рыбки из пруда. Нет легких путей в исследовательской работе, так чтобы только лежать на диване и рождать идеи. То, что вы чураетесь учебных задач -- не очень хороший знак.

[maximk]

ex-math, полезно решать учебные задачи, но в меру. Да вряд ли вы уследите за всеми уже открытыми кем-то теоремами, не говоря уже о том, сможете ли вы все это запомнить. Нет ничего плохого в переоткрытии, если это приводит к новым результатам и большему пониманию сути дела.
С комплексным интегрированием еще не встречался, ибо так и не дочитал ни одной книги по аналитической теории чисел, ибо постоянно метаюсь по разным областям математики, схатывая обо всём понемного, всему своё время. До сих пор работал в рамках элементарных методов аналитической теории чисел. Для себя решил узнать, насколько безнадежны элементарные методы прежде, чем переходить к аналитическим (впрочем, этим можно заниматься всю жизнь).
Да и кто вам внушил, что нет легких путей в исследовательской работе? Ваше мнение основано лишь на том, что вы лично еще не встречали тех, у кого было иначе?)
sup, думаю, одной воли мало будет

[sup]

maximk в сообщении #1037488 писал(а):

думаю, одной воли мало будет

А Вы продолжение знаете?

В.С. Высоцкий писал(а):

Воля волей, коли сил невпроворот, а я увлекся
я на десять тыщ рванул как на пятьсот - и спекся
подвела меня, ведь я-ж предупреждал, дыхалка
пробежал всего два круга и упал, а жалко

А вообще, в Вашем последнем сообщении просто кладезь мудрости

... полезно решать учебные задачи, но в меру ...
Да и кто вам внушил, что нет легких путей в исследовательской работе? Ваше мнение основано лишь на том, что вы лично еще не встречали тех, у кого было иначе?
До сих пор работал (?) в рамках элементарных методов аналитической теории чисел
С комплексным интегрированием еще не встречался, ибо так и не дочитал ни одной книги по аналитической теории чисел, ибо постоянно метаюсь по разным областям математики, схатывая обо всём понемного

Ну, то есть, чукча не читатель, чукча писатель.
Вообще, я, лично, совсем не против здоровой такой амбициозности и самоуверенности (в разумных пределах). Но Ваши утверждения уже просто граничат с апломбом. Я, например, уже в школе начал читать Прахара и в бессильной тоске вынужден был пропускать материал, связанный с комплексным интегрированием. А Вы вот все еще не нашли время для того чтобы с этим познакомиться поплотнее. Впрочем, что это я. Мое мнение основано лишь на том, что я еще не встречал приличных математиков, которые знают секретные легкие пути в исследовательской работе.
Может один из таких мне, наконец-то, повстречался?

[maximk]

(Оффтоп)

sup, если хотите это обсудить, пишите в лс, будет интересно просто эта тема посвящена другому вопросу, от которого постепенно начинаем уходить, а зря)

[Nataly-Mak]

maximk в сообщении #1037488 писал(а):

Да и кто вам внушил, что нет легких путей в исследовательской работе? Ваше мнение основано лишь на том, что вы лично еще не встречали тех, у кого было иначе?)

Мнение совершенно справедливое. Все, кто занимался исследовательской работой, наверняка могут это подтвердить.
С кондачка разве только Ньютон открыл закон всемирного тяготения, когда ему на голову яблоко упало

[Munin]

maximk в сообщении #1037292 писал(а):

А почему вы считаете, что с проблемами в технике никакие идеи погоды не сделают?

По практике, вестимо...

[DLL]

Дам один личный совет. Найдите себе наставника.
Без него вы рано или поздно деградируете