Площадь цилиндра при помощи поверхностного интегрирования?

[Ploh]

Здраствуйте,

Помогите пожалуйста разобраться в том как вычислять площадь трёхмерных фигур (частный случай - площадь цилиндра).
Данный раздел не изучал, поэтому не судите строго.

Я предположил, что для вычисления площади нужно найти значение поверхностного интеграла.
На сайте math24 я нашёл следующие вычисления:

Цитата:

Применяя теорему Остроградского-Гаусса, вычислить поверхностный интеграл

$$\oint\limits_{}^{} \oint\limits_{S}^{} \vec{F}\cdot d\vec{S} $$

от векторного поля $\vec{F} (x,y,z) = (x,y,z)$, где $S$ − поверхность тела, образованного цилиндром $\ x^2 + y^2 = a^2$ и плоскостями $\ z=-1, z=1$

Рисунок:

(Оффтоп)

Решение.
В соответствии с формулой Остроградского-Гаусса,

$$\oint\limits_{}^{} \oint\limits_{S}^{} \vec{F}\cdot d\vec{S} = \iiint\limits_{G}^{} \nabla \cdot \vec{F} dV = \iiint\limits_{G}^{} \bigg[\frac{\partial}{\partial x} (x) + \frac{\partial}{\partial y} (y) + \frac{\partial}{\partial z} (z) \bigg] dxdydz = \iiint\limits_{G}^{} (1+1+1) dxdydz $$

$$= 3 \iiint\limits_{G}^{} dxdydz $$

Вычисляя в цилиндрических координатах, получаем ответ:

$$ I = 3 \iiint\limits_{G}^{} dxdydz = 3\int\limits_{1}^{-1}dz \int\limits_{2\pi}^{0}d\varphi \int\limits_{a}^{0}rdr = 3\cdot2\cdot2\pi\cdot\bigg(\frac{r^2}{2}\bigg)\bigg|^a_0 = 6\pi a^2$$

Однако площадь цилиндра равна сумме площади двух осований и площади боковой поверхности $S = 2\cdot\pi \cdot r^2 + \pi\cdot2r\cdot h$

При $h = 2, r = a $

$\Rightarrow S = 2\cdot\pi\cdot a^2 + \pi\cdot2a\cdot2 = 2\pi a^2 + 4a\pi \ne 6\pi a^2$

Означает ли это, что вычисление значения поверхностного интерграла не есть вычисление площади трёхмерной фигуры?
Если да, то подскажите пожалуйста как вычислить искомую площадь.

Заранее благодарен.

[Brukvalub]

Сообщите, какой учебник вы читали, чтобы разобраться в своем вопросе?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Ploh
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом, картинки сносите.

Ploh в сообщении #1002177 писал(а):

P.S. Прошу прощения, но не смог найти символ двойного интеграла по замкнутому контуру Изображение в LaTeX-e

Напишите пока $\oint\oint$. Я потом поправлю. Надо как-то скомбинировать $\bigcirc{\iint}$.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Brukvalub]

Ploh в сообщении #1002177 писал(а):

Здраствуйте,
Помогите пожалуйста разобраться в том как вычислять площадь трёхмерных фигур (частный случай - площадь цилиндра).
Данный раздел не изучал, поэтому не судите строго.
....

То есть, вы, не желая почитать учебники, хотите получать уроки по интернету на данном форуме? Вы не путаете данный ресурс с Вузом или ресурсами дистанционного обучения?

[Nemiroff]

Что такое площадь цилиндра? Что вообще такое площадь тела?

[Munin]

(Оффтоп)

Nemiroff в сообщении #1003778 писал(а):

Что вообще такое площадь тела?

Ну, если положить это тело под асфальтовый каток, то оно станет плоской фигурой, и можно будет посчитать его площадь...

[Pphantom]

Ploh в сообщении #1002177 писал(а):

Означает ли это, что вычисление значения поверхностного интерграла не есть вычисление площади трёхмерной фигуры?

А почему Вы считали именно такой интеграл?

Видите ли, пока Ваше рассуждение очень похоже на что-то такое:

Цитата:

Я хочу вычислить сумму $3+2$, которая равна $5$. Для этой цели я взял число $8$ и умножил его на число $7$. Почему я получил неправильный ответ?

Вот как Вам кажется - следует ли отсюда хоть что-нибудь и почему?

[Ploh]

Brukvalub в сообщении #1002202 писал(а):

Сообщите, какой учебник вы читали, чтобы разобраться в своем вопросе?

К своему стыду - ни одного.
В своих измышлениях опираюсь только на примеры с вышеуказанного ресурса.

Brukvalub в сообщении #1003771 писал(а):

То есть, вы, не желая почитать учебники, хотите получать уроки по интернету на данном форуме? Вы не путаете данный ресурс с Вузом или ресурсами дистанционного обучения?

Был бы признателен если бы вы могли порекоммендовать мне литературу по данной теме.

Nemiroff в сообщении #1003778 писал(а):

Что такое площадь цилиндра? Что вообще такое площадь тела?

Извините, я наверное несовсем ясно выразил свою мысль.
Под площадью цилиндра я понимаю полную площать поверхностей цилиндра - боковую и основания.
В целом, я хотел бы понять как находить полную поверхность трёхмерного тела, ограниченного определёнными плоскостями/поверхностиям.

Pphantom в сообщении #1003811 писал(а):

Ploh в сообщении #1002177 писал(а):

Означает ли это, что вычисление значения поверхностного интерграла не есть вычисление площади трёхмерной фигуры?

А почему Вы считали именно такой интеграл?

Видите ли, пока Ваше рассуждение очень похоже на что-то такое:

Цитата:

Я хочу вычислить сумму $3+2$, которая равна $5$. Для этой цели я взял число $8$ и умножил его на число $7$. Почему я получил неправильный ответ?

Вот как Вам кажется - следует ли отсюда хоть что-нибудь и почему?

Я не уверен, что ваш риторический вопрос требует моего ответа, но проигнорировать его означало бы проявить неуважение.
Я ответил на ваш вопрос?

[Brukvalub]

Понятие площади поверхности и способы ее вычисления разбираются в любом учебнике математического анализа, например, в трехтомнике Фихтенгольца "Курс дифференциального и интегрального исчисления".

[Ploh]

Brukvalub в сообщении #1003815 писал(а):

Понятие площади поверхности и способы ее вычисления разбираются в любом учебнике математического анализа, например, в трехтомнике Фихтенгольца "Курс дифференциального и интегрального исчисления".

Благодарю.
К сожалению, я никогда прежде не использовал русскоязычную научную литературу.

[Aritaborian]

Можно подумать, вы использовали англоязычную.

[Ploh]

Aritaborian в сообщении #1003819 писал(а):

Можно подумать, вы использовали англоязычную.

Учебники - нет. Рабочие тетради - да.

[Aritaborian]

Ploh, а что кроме, хм, англоязычных рабочих тетрадей вы вообще в глаза-то видели?

Цитата:

— Меня это настораживает, Вилли.

[Lia]

Aritaborian
Просьба не развивать оффтоп.

Предположите, что человек наконец узнал о существовании учебной литературы. На русском языке.
Ну и прекрасно. Теперь есть где почитать о площади поверхности.