2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача на делимость
Сообщение25.07.2015, 17:18 


04/06/13
203
Добрый вечер! Подскажите, плиз, идею.

Существуют ли три различных натуральных числа, сумма квадратов любых двух из которых, увеличенная на 1, делится на
квадрат третьего?

Пусть эти числа -- это $a,b,c$

Нам известно, что $a^2+b^2+1=mc^2$, $a^2+c^2+1=nb^2$, $c^2+b^2+1=ka^2$.

Если все три равенства, получим $2(a^2+b^2+c^2)+3=ka^2+nb^2+mc^2$

Пока что это мало что дает. Слева стоит нечетное число, только это известно. Пробовал смотреть по малым модулям, что-то пока не вижу ничего полезного

-- 25.07.2015, 17:22 --

еще левая часть последнего равенства заканчивается на $1,2,5,6,7,8$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение25.07.2015, 17:42 
Заслуженный участник


20/12/10
5747
Предположите, что $a \leqslant b \leqslant c$ (почему так можно считать?). Подумайте, каким может быть частное от деления $a^2+b^2+1$ на $c^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение25.07.2015, 18:02 


04/06/13
203
nnosipov в сообщении #1040504 писал(а):
Предположите, что $a \leqslant b \leqslant c$ (почему так можно считать?). Подумайте, каким может быть частное от деления $a^2+b^2+1$ на $c^2$.

Спасибо! Так считать можно, потому что самое меньшее число назовем $a$, самое большее $c$, оставшееся $b$.
Только у нас различные числа, потому $a<b<c$.
Ну давайте возьмем числа $1,2,3$, тогда $6:9=0(ost\;\;6)$

Возьмем числа $2,3,4$, тогда $14:16=0(ost\;\;14)$

возьмем числа $4,5,6$, тогда $32:36=0(ost\;\;32)$

возьмем числа $5,6,7$, тогда $62:49=1(ost\;\;13)$

возьмем числа $6,7,8$, тогда $86:64=1(ost\;\;22)$

Пока что нацело не делится. Может вовсе такого быть не может. Но как прийти к противоречию?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение25.07.2015, 18:28 
Заслуженный участник


20/12/10
5747
Постепенно. Может ли то самое частное быть равно 10? Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение25.07.2015, 19:23 


04/06/13
203
nnosipov в сообщении #1040517 писал(а):
Постепенно. Может ли то самое частное быть равно 10? Почему?

Нет, потому как левая часть не может оканчиваться на $1,2,5,6,7,8$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение25.07.2015, 20:17 
Заслуженный участник


11/05/08
31624
karandash_oleg в сообщении #1040522 писал(а):
Нет, потому как левая часть не может оканчиваться на $1,2,5,6,7,8$.

Нет, не поэтому. А потому, что $a^2+b^2$ меньше -- чего?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение25.07.2015, 20:21 


04/06/13
203
ewert в сообщении #1040528 писал(а):
karandash_oleg в сообщении #1040522 писал(а):
Нет, потому как левая часть не может оканчиваться на $1,2,5,6,7,8$.

Нет, не поэтому. А потому, что $a^2+b^2$ меньше -- чего?...


$a^2+b^2<2b^2$, например

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение25.07.2015, 22:36 
Заслуженный участник


11/05/08
31624
karandash_oleg в сообщении #1040531 писал(а):
$a^2+b^2<2b^2$, например

Да. И даже чуть хуже того. И что отсюда следует?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение26.07.2015, 01:28 


04/06/13
203
ewert в сообщении #1040550 писал(а):
karandash_oleg в сообщении #1040531 писал(а):
$a^2+b^2<2b^2$, например

Да. И даже чуть хуже того. И что отсюда следует?...


А что значит хуже?

$a^2+b^2<2b^2<b^2+c^2<2c^2$

Получается $a^2+b^2, 2b^2, b^2+c^2, 2c^2$ -- четыре различных натуральных числа, расположенные в порядке возрастания, значит меньшее из них отличается от большего из них не менее чем на три, а значит $a^2+b^2+1<2c^2$

А, значит $a^2+b^2+1=c^2$. Значит, если и делится, то получаем в частном $1$.

Ну а теперь уже можно думать -- на что оканчивается левая часть, а на что -- правая.

Левая на может оканчиваться на $1,2,5,6,7,8$, а правая на $1,4,5,6,9,0$. Пересечение данных множеств будет $1,5,6$.

Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение26.07.2015, 05:17 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
karandash_oleg в сообщении #1040566 писал(а):
Левая на может оканчиваться на $1,2,5,6,7,8$

А ещё на $0, 3, 4, 9$.
Не туда идёте. Попробуйте сложить полученное с вами уже выписанным $a^2+c^2+1=nb^2$, а затем с $b^2+c^2+1=ma^2$ и сравните результаты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение26.07.2015, 11:47 


04/06/13
203
Спасибо, вроде как понял. Написав аналогичные неравенства, получаем, что

$a^2+b^2+1=c^2$, $a^2+c^2+1=b^2$, $c^2+b^2+1=a^2$

Система не имеет решения, значит такие натуральные числа не существуют. Правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение26.07.2015, 11:50 
Заслуженный участник


20/12/10
5747
karandash_oleg в сообщении #1040595 писал(а):
Написав аналогичные неравенства
Какие именно? Здесь подробности нужны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение26.07.2015, 12:11 


04/06/13
203
1) $a^2+c^2<2c^2$

2) $a^2+b^2<2b^2<b^2+c^2<2c^2$

3) $с^2+b^2<2c^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение26.07.2015, 12:16 
Заслуженный участник


20/12/10
5747
karandash_oleg в сообщении #1040595 писал(а):
$a^2+b^2+1=c^2$, $a^2+c^2+1=b^2$, $c^2+b^2+1=a^2$
Как эта система получается из Ваших неравенств?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение26.07.2015, 14:47 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
karandash_oleg в сообщении #1040595 писал(а):
Правильно?

Нет. Ощущение, что вы гадаете. Вы попробуйте написать эти
karandash_oleg в сообщении #1040595 писал(а):
аналогичные неравенства

и увидеть, что ничего там не проходит, как в первом случае.
И я не это советовал. Возьмите равенство $$a^2+b^2+1=c^2\,(1)$$ и сложите его левую и правую части с равенством $$a^2+c^2+1=nb^2$$ Поработайте над получившимся, сделайте какие-то выводы. Потом сложите $(1)$ с $$b^2+c^2+1=ma^2$$ и снова попреобразовывайте. Если не пытаться с наскока угадать решение, а посидеть и подумать, то всё должно получиться.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group