Задача на делимость

[karandash_oleg]

Добрый вечер! Подскажите, плиз, идею.

Существуют ли три различных натуральных числа, сумма квадратов любых двух из которых, увеличенная на 1, делится на
квадрат третьего?

Пусть эти числа -- это $a,b,c$

Нам известно, что $a^2+b^2+1=mc^2$, $a^2+c^2+1=nb^2$, $c^2+b^2+1=ka^2$.

Если все три равенства, получим $2(a^2+b^2+c^2)+3=ka^2+nb^2+mc^2$

Пока что это мало что дает. Слева стоит нечетное число, только это известно. Пробовал смотреть по малым модулям, что-то пока не вижу ничего полезного

-- 25.07.2015, 17:22 --

еще левая часть последнего равенства заканчивается на $1,2,5,6,7,8$

[nnosipov]

Предположите, что $a \leqslant b \leqslant c$ (почему так можно считать?). Подумайте, каким может быть частное от деления $a^2+b^2+1$ на $c^2$.

[karandash_oleg]

nnosipov в сообщении #1040504 писал(а):

Предположите, что $a \leqslant b \leqslant c$ (почему так можно считать?). Подумайте, каким может быть частное от деления $a^2+b^2+1$ на $c^2$.

Спасибо! Так считать можно, потому что самое меньшее число назовем $a$, самое большее $c$, оставшееся $b$.
Только у нас различные числа, потому $a<b<c$.
Ну давайте возьмем числа $1,2,3$, тогда $6:9=0(ost\;\;6)$

Возьмем числа $2,3,4$, тогда $14:16=0(ost\;\;14)$

возьмем числа $4,5,6$, тогда $32:36=0(ost\;\;32)$

возьмем числа $5,6,7$, тогда $62:49=1(ost\;\;13)$

возьмем числа $6,7,8$, тогда $86:64=1(ost\;\;22)$

Пока что нацело не делится. Может вовсе такого быть не может. Но как прийти к противоречию?

[nnosipov]

Постепенно. Может ли то самое частное быть равно 10? Почему?

[karandash_oleg]

nnosipov в сообщении #1040517 писал(а):

Постепенно. Может ли то самое частное быть равно 10? Почему?

Нет, потому как левая часть не может оканчиваться на $1,2,5,6,7,8$.

[ewert]

karandash_oleg в сообщении #1040522 писал(а):

Нет, потому как левая часть не может оканчиваться на $1,2,5,6,7,8$.

Нет, не поэтому. А потому, что $a^2+b^2$ меньше -- чего?...

[karandash_oleg]

ewert в сообщении #1040528 писал(а):

karandash_oleg в сообщении #1040522 писал(а):

Нет, потому как левая часть не может оканчиваться на $1,2,5,6,7,8$.

Нет, не поэтому. А потому, что $a^2+b^2$ меньше -- чего?...

$a^2+b^2<2b^2$, например

[ewert]

karandash_oleg в сообщении #1040531 писал(а):

$a^2+b^2<2b^2$, например

Да. И даже чуть хуже того. И что отсюда следует?...

[karandash_oleg]

ewert в сообщении #1040550 писал(а):

karandash_oleg в сообщении #1040531 писал(а):

$a^2+b^2<2b^2$, например

Да. И даже чуть хуже того. И что отсюда следует?...

А что значит хуже?

$a^2+b^2<2b^2<b^2+c^2<2c^2$

Получается $a^2+b^2, 2b^2, b^2+c^2, 2c^2$ -- четыре различных натуральных числа, расположенные в порядке возрастания, значит меньшее из них отличается от большего из них не менее чем на три, а значит $a^2+b^2+1<2c^2$

А, значит $a^2+b^2+1=c^2$. Значит, если и делится, то получаем в частном $1$.

Ну а теперь уже можно думать -- на что оканчивается левая часть, а на что -- правая.

Левая на может оканчиваться на $1,2,5,6,7,8$, а правая на $1,4,5,6,9,0$. Пересечение данных множеств будет $1,5,6$.

Верно?

[NSKuber]

karandash_oleg в сообщении #1040566 писал(а):

Левая на может оканчиваться на $1,2,5,6,7,8$

А ещё на $0, 3, 4, 9$.
Не туда идёте. Попробуйте сложить полученное с вами уже выписанным $a^2+c^2+1=nb^2$, а затем с $b^2+c^2+1=ma^2$ и сравните результаты.

[karandash_oleg]

Спасибо, вроде как понял. Написав аналогичные неравенства, получаем, что

$a^2+b^2+1=c^2$, $a^2+c^2+1=b^2$, $c^2+b^2+1=a^2$

Система не имеет решения, значит такие натуральные числа не существуют. Правильно?

[nnosipov]

karandash_oleg в сообщении #1040595 писал(а):

Написав аналогичные неравенства

Какие именно? Здесь подробности нужны.

[karandash_oleg]

1) $a^2+c^2<2c^2$

2) $a^2+b^2<2b^2<b^2+c^2<2c^2$

3) $с^2+b^2<2c^2$

[nnosipov]

karandash_oleg в сообщении #1040595 писал(а):

$a^2+b^2+1=c^2$, $a^2+c^2+1=b^2$, $c^2+b^2+1=a^2$

Как эта система получается из Ваших неравенств?

[NSKuber]

karandash_oleg в сообщении #1040595 писал(а):

Правильно?

Нет. Ощущение, что вы гадаете. Вы попробуйте написать эти

karandash_oleg в сообщении #1040595 писал(а):

аналогичные неравенства

и увидеть, что ничего там не проходит, как в первом случае.
И я не это советовал. Возьмите равенство

$$a^2+b^2+1=c^2\,(1)$$

и сложите его левую и правую части с равенством

$$a^2+c^2+1=nb^2$$

Поработайте над получившимся, сделайте какие-то выводы. Потом сложите $(1)$ с

$$b^2+c^2+1=ma^2$$

и снова попреобразовывайте. Если не пытаться с наскока угадать решение, а посидеть и подумать, то всё должно получиться.