2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение26.07.2015, 14:52 


04/06/13
203
Действительно, никак не получается.

Давайте тогда по-другому. $a^2+b^2+1=c^2$, исключим $c^2$ из равенств $a^2+c^2+1=nb^2$, а затем с $b^2+c^2+1=ma^2$.

$a^2+a^2+b^2+1+1=nb^2$, значит $2a^2+2=(n-1)b^2$

$b^2+a^2+b^2+1+1=ma^2$, значит $2b^2+2=(m-1)a^2$

$a^2+1=\dfrac{(n-1)b^2}{2}$, $a^2=\dfrac{(n-1)b^2}{2}-1$

$2b^2+2=(m-1)\cdot \left(\dfrac{(n-1)b^2}{2}-1\right)$

Отсюда можно попробовать выразить $b^2$, но это по-моему тупиковый вариант.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение26.07.2015, 15:01 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
karandash_oleg в сообщении #1040634 писал(а):
значит $2a^2+2=(n-1)b^2$

Вот здесь остановитесь. Попробуйте оценить правую часть (а точнее $b^2$) снизу так, чтобы в полученном неравенстве $a$ ушло и мы могли узнать, чему же может быть равно $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение26.07.2015, 15:05 


04/06/13
203
NSKuber в сообщении #1040633 писал(а):
И я не это советовал. Возьмите равенство $$a^2+b^2+1=c^2\,(1)$$ и сложите его левую и правую части с равенством $$a^2+c^2+1=nb^2$$ Поработайте над получившимся, сделайте какие-то выводы. Потом сложите $(1)$ с $$b^2+c^2+1=ma^2$$ и снова попреобразовывайте. Если не пытаться с наскока угадать решение, а посидеть и подумать, то всё должно получиться.


Первый раз складываем:

$2a^2+b^2+c^2+2=c^2+nb^2$, тогда $2a^2+2=(n-1)b^2$

Второй раз складываем:

$a^2+2b^2+c^2+2=ma^2+c^2$, тогда $2b^2+2=(m-1)a^2$.

Теперь вычтем из первого второе.

$2(a^2-b^2)=(n-1)b^2-(m-1)a^2$

$2a^2+(m-1)a^2=2b^2+(n-1)b^2$

$(m+1)a^2=(n+1)b^2$

Теперь сложим первое и второе

$2(a^2+b^2)+4=(n-1)b^2+(m-1)a^2$

$(n-3)a^2+(m-3)b^2=4$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение26.07.2015, 15:08 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
karandash_oleg в сообщении #1040636 писал(а):
$(n-3)a^2+(m-3)b^2=0$

Значит $m=n=3$.

Вы тут четвёрку потеряли в правой части.
Я уже выше ответил к предыдущему посту, посмотрите.
Но даже если бы там был ноль, это бы не дало $n=m=3$, так как могло быть, например, $m=2,n=7,b=2a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение26.07.2015, 15:09 


04/06/13
203
NSKuber в сообщении #1040637 писал(а):
karandash_oleg в сообщении #1040636 писал(а):
$(n-3)a^2+(m-3)b^2=0$

Значит $m=n=3$.

Вы тут четвёрку потеряли в правой части.
Я уже выше ответил к предыдущему посту, посмотрите.

Ок, да, спасибо, подправил четверку

-- 26.07.2015, 15:12 --

NSKuber в сообщении #1040635 писал(а):
karandash_oleg в сообщении #1040634 писал(а):
значит $2a^2+2=(n-1)b^2$

Вот здесь остановитесь. Попробуйте оценить правую часть (а точнее $b^2$) снизу так, чтобы в полученном неравенстве $a$ ушло и мы могли узнать, чему же может быть равно $n$.


$2a^2+2=(n-1)a^2$, тогда $(n-3)a^2=2$, тогда $a=1$, $n=4$. Оценка снизу будет $3b^2$

Получим оценку сверху.

$2b^2+2=(n-1)b^2$, то $n=4$.

Значит $n=4$ по-любому. Аналогично, получаем, что $m=4$, тогда полученная система не имеет натуральных решений. Правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение26.07.2015, 15:19 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
karandash_oleg в сообщении #1040638 писал(а):
$2a^2+2=(n-1)a^2$

Откуда взялось такое равенство? Было другое, с $b$ в правой части. А если вы заменили его на $a$, надо ставить знак неравенства, и полезного получим мало.
Я другого от вас хотел: в равенстве $2a^2+2=(n-1)b^2$ оцените $b^2$ чем-то снизу так, чтобы $a$ во всех своих проявлениях можно было с чистой совестью сократить и осталось неравенство на $n$. Можете в левой части общий множитель вынести, чтобы стало понятно, чем оценивать :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение26.07.2015, 16:15 


04/06/13
203
NSKuber в сообщении #1040640 писал(а):
karandash_oleg в сообщении #1040638 писал(а):
$2a^2+2=(n-1)a^2$

Откуда взялось такое равенство? Было другое, с $b$ в правой части. А если вы заменили его на $a$, надо ставить знак неравенства, и полезного получим мало.
Я другого от вас хотел: в равенстве $2a^2+2=(n-1)b^2$ оцените $b^2$ чем-то снизу так, чтобы $a$ во всех своих проявлениях можно было с чистой совестью сократить и осталось неравенство на $n$. Можете в левой части общий множитель вынести, чтобы стало понятно, чем оценивать :-)


$(n-1)a^2<2a^2+2=(n-1)b^2$

Значит $(n-3)a^2<2$. Тогда $a=1$, $n-3=1$m значит $n=4$, вот так будет правильно?

Пока что не очень понял про сокращение $a$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение26.07.2015, 16:20 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
karandash_oleg в сообщении #1040649 писал(а):
Значит $(n-3)a^2<2$. Тогда $a=1$, $n-3=1$m значит $n=4$, вот так будет правильно?

Нет. $n$ может быть и меньше четвёрки (в таком случае неравенство будет выполняться для любого $a$).
Ну хорошо, я уж вам напишу, что имел в виду: $b^2>a^2+1$. Надеюсь, это неравенство очевидно? Используя его, получаем:
$2a^2+2=2(a^2+1)=(n-1)b^2>(n-1)(a^2+1)$. Тут-то и можно обе части сократить и выяснить точно, чему же равно $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение02.08.2015, 00:31 


04/06/13
203
Спасибо! Извиняюсь, что так долго не отвечал (лето-таки)

$2(a^2+1)>(n-1)(a^2+1)$, $n-1<2$, значит $n<3$. Тогда $n=1$ или $n=2$.

Рассмотрим оба варианта.

1) $n=1$

$a^2+b^2+1=c^2$, исключим $c^2$ из равенств $a^2+c^2+1=b^2$, а затем с $b^2+c^2+1=ma^2$ получаем:

$2a^2+b^2+2=b^2$, что не может выполняться, так как $2a^2+2>0$.

2) $n=2$

$a^2+b^2+1=c^2$, исключим $c^2$ из равенств $a^2+c^2+1=2b^2$, а затем с $b^2+c^2+1=ma^2$ получаем:

$2a^2+b^2+2=2b^2$, тогда $b^2=2(a^2+1)$, тогда $2(a^2+1)+a^2+2(a^2+1)+1+1=ma^2$, то есть $5a^4+6=ma^2$, значит $(m-5)a^2=6$

Ну а раз так, то $a=1$, а значит $m=6$. Тогда $b=2$, $\sqrt{6}$, так как $c$ нецелое, то получаем противоречие, значит таких чисел нет. Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение02.08.2015, 14:13 
Заслуженный участник


12/09/10
1527
karandash_oleg в сообщении #1042117 писал(а):
то есть $5a^4+6=ma^2$, значит $(m-5)a^2=6$

проясните
upd. Привычка читать с конца, тут просто опечатка. Тогда вроде все ок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение02.08.2015, 17:15 


26/08/11
1794
Задача легко решается и без искусственного условия "все три числа - квадраты".

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение02.08.2015, 22:43 


04/06/13
203
Cash в сообщении #1042178 писал(а):
karandash_oleg в сообщении #1042117 писал(а):
то есть $5a^4+6=ma^2$, значит $(m-5)a^2=6$

проясните
upd. Привычка читать с конца, тут просто опечатка. Тогда вроде все ок.


Да, имелось ввиду $5a^2+6=ma^2$

Спасибо большое!

-- 02.08.2015, 22:43 --

Shadow в сообщении #1042212 писал(а):
Задача легко решается и без искусственного условия "все три числа - квадраты".

А это как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение03.08.2015, 10:47 


26/08/11
1794
karandash_oleg в сообщении #1042266 писал(а):
А это как?
А также. Пусть $a<b<c$

$\\c\mid (a+b+1)\\
b\mid (a+c+1)\\
a\mid (b+c+1)$

Из первого условия $c=a+b+1$ - без вариантов т.к $a+1<c,b<c\Rightarrow a+b+1<2c$

Из второго $b\mid [a+(a+b+1)+1]\Rightarrow b\mid (2a+2)$

Тут два варианта: $2a+2=b,\;2a+2=2b$

Получаются такие возможные тройки: $(a,2a+2,3a+3),\;(a,a+1,2a+2)$

Из третьего условия $a\mid (b+c+1)$ получаем в первом случае $a\mid 6$, во втором $a\mid 4$
Всего семь решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение09.08.2015, 01:33 


04/06/13
203
Shadow в сообщении #1042340 писал(а):

Из третьего условия $a\mid (b+c+1)$ получаем в первом случае $a\mid 6$, во втором $a\mid 4$
Всего семь решений.

А я думал, что тут ноль решений должно быть, что-то не очень понимаю.

А что значит значок $|$? (делится?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на делимость
Сообщение09.08.2015, 01:40 
Модератор


20/03/14
9461
Делит.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group