Топология: локально не конечный клеточный комплекс

[elshin]

У меня при изучении понятия клеточного комплекса https://en.wikipedia.org/wiki/CW_complex возникло непонимание, как могут согласовываться между собой аксиома (w) и существование локально не конечного комплекса. Допустим он существует, тогда я беру точку $x$ в которой он локально неконечен, и составляю множество $A = \{x_i | x_i \text{лежит в некоторой клетке из окрестности } U_i(x), \text{ в которой не лежат } \{x_1, \dots x_{i-1}\}\}$ (пускай даже счётно множество клеток в некоторой окрестности, хотя это не принципиально). По свойству (w) клеточного комплекса такое множество замкнуто, т.к. пересечение его с каждой клеткой есть точка, замкнутая в хаусдорфовом пространстве, а $x$ - его предельная точка, которую оно не содержит. Например, вот в этой конструкции (ссылка [1] отсюда http://www.ngpedia.ru/id98460p1.html ) взять $x=1.5$, а в качестве $A$ - множество точек конусов, приближающихся к $x$.

С другой стороны, я пытаюсь понять, что такое открытое множество в клеточном комплексе. Если замкнутое задаётся аксиомой (w), то открытое - это такое множество, пересечение которого с замыканием любой клетки открыто в прообразе характеристического отображения, не так ли? Но тогда в приведённом по ссылке примере я не понимаю, почему, например, для точки $(0, 0, 1.5)$ интервал $((0, 0, 1.25), (0, 0, 1.75))$ не является открытым множеством, ведь он, казалось бы, удовлетворяет такому определению открытого. А если это так, то это локально конечный клеточный комплекс, ведь в таком интервале лежит конечное число клеток.

[Someone]

А нельзя ли эту "аксиому (w)" сформулировать? И вообще подробно описать, о чём идёт речь?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

elshin
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом. Текст заданий набирайте буковками с клавиатуры, картинки сносите.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

[Hasek]

Someone в сообщении #1032564 писал(а):

А нельзя ли эту "аксиому (w)" сформулировать? И вообще подробно описать, о чём идёт речь?

Подмножество $Y \subset X$ замкнуто тогда и только тогда, когда для любой клетки $e^q_i$ замкнуто пересечение $Y \cap \bar e^q_i$.
Это стандартное понятие в теории гомотопий. Называется "Аксиомой W", потому что можно показать, что задаваемая таким образом топология является самой слабой топологией (weak topology), при которой все характеристические отображения непрерывны.

[elshin]

Локально конечный клеточный комплекс - комплекс, для любой точки которого существует окрестность, целиком содержащаяся в конечном числе клеток.

[GDTD]

elshin, в книге, на которую Вы ссылаетесь, приведен пример клеточного комплекса, не являющимся CW-комплексом (стр. 64-65). Поэтому аксиома (W) в нем не выполнена.

Цитата:

Если замкнутое задаётся аксиомой (w), то открытое - это такое множество, пересечение которого с замыканием любой клетки открыто в прообразе характеристического отображения, не так ли?

Это надо бы доказать. Если хочется определить открытое множество, аксиому (W) можно переформулировать так: множество $F$ является открытым тогда и только тогда, когда для любой клетки $e_i^q$ пересечение $F\cap\bar e_i^q$ открыто в $\bar e_i^q$. А с вашей формулировкой надо повозиться, чтобы ее доказать или опровергнуть.

[Someone]

elshin в сообщении #1032535 писал(а):

У меня при изучении понятия клеточного комплекса https://en.wikipedia.org/wiki/CW_complex возникло непонимание, как могут согласовываться между собой аксиома (w) и существование локально не конечного комплекса.

Вопрос ещё актуален?
Простейшим примером такого комплекса является ёж с бесконечным множеством иголок в слабой топологии (которая как раз аксиомой (w) и определяется).