Вопрос по принципу Гюйгенса-Френеля

[Munin]

Удовлетворяют.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1028208 писал(а):

Удовлетворяют.

Пожалуйста напишите хотя бы одно, нетривиальное (т.е. не равное тождественно 0 решение ур-ний Максвелла, которое Вы называете "сферической волной")

[chislo_avogadro]

Munin в сообщении #1028197 писал(а):

И что вы для сферических волн подразумеваете под $\mathbf{k}$?

Градиент фазы волны.

[amon]

Red_Herring в сообщении #1028204 писал(а):

Т.е. они не удовлетворяют уравнениям Максвелла? Ну тогда все тривиально, но кажется не вполне естественным.

Для уравнений Максвелла в однородной среде или вакууме можно ввести скалярные функции $u$ и $v$, каждая из которых удовлетворяет волновому уравнению, а поля выражаются через них как

$$ \begin{align} U&=ru,\;V=rv\\ E_r&=\frac{\partial^2U}{\partial r^2}+k^2U,\;E_\theta=\frac{1}{r}\frac{\partial^2U}{\partial r \partial\theta},\;E_\varphi = \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial^2U}{\partial r \partial\varphi}\\ H_r&=0,\;H_\theta=-\frac{ik}{r\sin\theta}\frac{\partial U}{\partial\varphi},\;H_\varphi=\frac{ik}{r}\frac{\partial U}{\partial\theta} \end{align} $$

Для $V$ будет тоже самое с заменой $E$ на $H$ и иногда другими знаками. Эти решения будут полной системой (т.наз. $TE$ и $TM$ моды).

[tech]

Я перестал что-либо понимать.

А какие сферические волны имеются в виду в формулировке принципа Гюйгенса-Френеля?

[iifat]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1028197 писал(а):

Вот почему "Д'Аламбер", но "Д'Аламбертиан"? *) Неужели нельзя быть систематичнее?

Это разве не из серии ведём — вели?

[Red_Herring]

Кажется мы говорим о разных вещах: amon и Munin имеют в виду общие решения ур-ний Максвелла. Разумеется, с ними все просто: зная $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$ при $t=0$, такие что $\nabla\cdot \mathbf{E}=\nabla\cdot \mathbf{H}=0$ при $t=0$, мы находим $\mathbf{E}_t$ и $\mathbf{H}_t$ при $t=0$, решаем волновое уравнение (покомпонентно) и убеждаемся что решение также удовлетворяет Максвеллу. Я же по невнимательности решил, что речь идет о сферических волнах и заинтересовался, могут ли они быть для Максвелла вообще.

[amon]

Red_Herring в сообщении #1028264 писал(а):

могут ли они быть для Максвелла вообще.

Как я понимаю, (может, неправильно), сферическая волна для Максвелла это то, что получается из сферической волны для функции Герца $u$ или $v$.

tech в сообщении #1028225 писал(а):

А какие сферические волны имеются в виду в формулировке принципа Гюйгенса-Френеля?

Принцип Гюйгенса-Френеля говорит, если перевести его на современный язык, что если в какой-то момент времени мы знаем конфигурацию поля (все равно какого, скалярного, векторного, тензорного, лишь бы уравнение было линейно), то мы можем восстановить поле во все последующие моменты времени. Для этого используется формула

$$F_\alpha(t,x)=\int G_{\alpha\beta}(x,x',t)F_\beta(0,x')dx'.$$

Это можно интерпретировать как "каждая точка волны $F$ испускает волну $G$, и все волны $G$ складываются". $G$ это решение уравнения для волны $F$ с $\delta(x-x')$ в качестве начального условия.

[Red_Herring]

amon в сообщении #1028275 писал(а):

Как я понимаю, (может, неправильно), сферическая волна для Максвелла это то, что получается из сферической волны для функции Герца $u$ или $v$.

Ну так получается что все компоненты кроме $E_r$ равны $0$ ну и она также.

[amon]

Red_Herring в сообщении #1028279 писал(а):

Ну так получается что все компоненты кроме $E_r$ равны $0$ ну и она также.

$u=j_m(kr)Y_{m,n}(\theta,\varphi).$

[Red_Herring]

ну так это выражение некой волны в сферических координатах. В скалярном случае под сферической волной понимают $r^{-1}\bigl(f(r-ct)+g(r+ct)\bigr)$. см. напр

http://scienceworld.wolfram.com/physics/SphericalWave.html

[amon]

Red_Herring в сообщении #1028284 писал(а):

В скалярном случае под сферической волной понимают $r^{-1}\bigl(f(r-ct)+g(r+ct)\bigr)$. см. напр

Дойду до дома - залезу в учебник, но, по-моему, в электродинамике под сферической волной понимают решение уравнений Максвелла, которое получается из решения методом разделения переменных уравнения Гельмгольца в сферических координатах, которое получается после преобразования Фурье уравнения для функции Герца, решение которого написано выше - уф-ф! Т.е. в так понимаемой сферической волне зависимость от углов есть, но она ограничена сферическими функциями.

-- 17.06.2015, 23:01 --

amon в сообщении #1028289 писал(а):

Дойду до дома - залезу в учебник

Вроде если и соврал, то не сильно. Л.А.Вайнштейн. Электромагнитные волны. стр.81, параграф 23 Сферические волны.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1028212 писал(а):

Пожалуйста напишите хотя бы одно, нетривиальное (т.е. не равное тождественно 0 решение ур-ний Максвелла, которое Вы называете "сферической волной")

Ещё раз: я не говорил, что таковые у уравнений Максвелла есть!!!

Таковые есть у уравнений Д'Аламбера.

А при переходе к уравнениям Максвелла, они всего лишь играют роль фундаментальных решений, интегрируемых с сохраняющимся током в правой части, то есть получается в итоге уже волна не сферическая. Но принцип Гюйгенса-Френеля-то об этом не знает!

chislo_avogadro в сообщении #1028213 писал(а):

Градиент фазы волны.

А тогда почему он стоит под экспонентой? Вы как Мюнгхаузен, пытаетесь сами себя за волосы из болота вытянуть?

(Оффтоп)

iifat в сообщении #1028234 писал(а):

Это разве не из серии ведём — вели?

Нет, это от D'Alembert - D'Alembertian - другое чередование, в другом языке.

Red_Herring в сообщении #1028264 писал(а):

Я же по невнимательности решил, что речь идет о сферических волнах и заинтересовался, могут ли они быть для Максвелла вообще.

Нет, не могут, именно из-за причёсывания ежа. Я почему-то подумал, что вы в курсе об этом факте, и не для себя интересуетесь, а язвительно меня пытаетесь наставить на путь истинный.

amon в сообщении #1028275 писал(а):

Это можно интерпретировать как "каждая точка волны $F$ испускает волну $G$, и все волны $G$ складываются". $G$ это решение уравнения для волны $F$ с $\delta(x-x')$ в качестве начального условия.

И ещё, $G$ в современной терминологии называется функцией Грина. Или фундаментальным решением. Я не знаю в точности, как именно, у меня эти вещи немного путаются (хотя они часто одно и то же, или почти одно и то же, и могут быть получены одно из другого).

Red_Herring в сообщении #1028284 писал(а):

ну так это выражение некой волны в сферических координатах.

Ну, для поперечного векторного поля (а э.-м. таково) ничего лучше нельзя добиться. Из-за того же ежа.

[Red_Herring]

amon в сообщении #1028289 писал(а):

Вроде если и соврал, то не сильно. Л.А.Вайнштейн. Электромагнитные волны. стр.81, параграф 23 Сферические волны.

Автор придерживается нестандартной терминологии. То, что он называет сферической волной это произвольная волна, но в сферических координатах. При этом определение плоской волны у него стандартное (зависит от $t,x$), а цилиндрической полустандартное (зависит от $t,\rho,\phi$ а д.б. $t,\rho$).

См также
https://ru.wikipedia.org/wiki/Сферическая_волна

-- 17.06.2015, 17:28 --

Munin в сообщении #1028335 писал(а):

Я почему-то подумал, что вы в курсе об этом факте, и не для себя интересуетесь, а язвительно меня пытаетесь наставить на путь истинный.

Нет, я об этом никогда не думал.

Кстати, chislo_avogadro не то, чтобы неправ: у него $\mathbf{k}=\mathbf{k}(\mathbf{R})=k\mathbf{R}/R$ (переменный) и тогда $\mathbf{k}\cdot \mathbf{R}}=kR$

[tech]

Кажется, я понял, что сферических векторных волн быть не может, потому что ёж не причесывается.

Выходит, что решения уравнения (именно для компонент вектора $\textbf{E}$, ну или $\textbf{H}$)

$$\Delta E_x-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}=0$$

в виде скалярных сферических волн тоже не имеют физического смысла?