Вопрос по принципу Гюйгенса-Френеля

[tech]

Здравствуйте.

В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля каждый элемент волнового фронта рассматривается как центр вторичных возмущений, которые распространяются в виде элементарных сферических волн.

Воспользуемся принципом Гюйгенса-Френеля для того, чтобы найти возмущение в некоторой точке $P$. Формула выглядит следующим образом:

$$U(P)= \iint\limits_{S} u(x,y,z) \frac{e^{ikR}}{R} K(\alpha) dS$$

Интегрирование ведётся по волновому фронту, $u(x,y,z)$ – возмущение в данной точке волнового фронта, $R$ - расстояние от данной точки волнового фронта до точки наблюдения $P$, $K(\alpha)$ – некоторый коэффициент наклона.

Вот что я не могу понять: почему в этой формуле только скалярные величины и ни одного вектора?

Ведь если мы действительно рассматриваем интерференцию двух сферических волн, исходящих, допустим, из разных точек, то зная лишь амплитуды каждой из волн в отдельности в данной точке $P$, мы не сможем найти амплитуду суммарного вектора $\textbf{E}$ в данной точке. Нам нужно знать направления векторов $\textbf{E}_1$ и $\textbf{E}_2$, и только тогда мы будем знать $\textbf{E}$ в этой точке.

Почему принцип никак не учитывает "векторность" электрического поля?

[Munin]

Как я понимаю, тут штука вот в чём. Мы можем взять векторные уравнения Максвелла, и вывести из них волновые уравнения - для потенциалов или для напряжённостей полей. Интересный бонус, который мы получаем, - это что в результате уравнения "расцепляются". Одно уравнение касается скалярного потенциала, другое - векторного. И векторный не входит в уравнение для скалярного, а скалярный - в уравнение для векторного. То есть, их можно решать независимо, не обращая внимания на то, что происходит с другим.

Разумеется, физически они не независимы. Если мы решили уравнение для скалярного потенциала, то дальше к нему уже подойдёт не любой векторный. Но это нас, допустим, не волнует, а интересует только скалярный - вот тут это "расцепление" и сыграет свою роль.

Дальше - больше. Расцепляются не только скалярный и векторный потенциалы, не только электрическое и магнитное поля. Расцепляются даже компоненты векторных полей! (в декартовых координатах, разумеется) Можно независимо решать волновые уравнения для $E_x,$ для $E_y,$ для $E_z,$ и точно так же не интересоваться, а что там с другими компонентами. И вот тут на сцену выходит математика, и говорит: а уравнения-то между собой одинаковые! Если мы научимся решать одно из них, то научимся решать все. И давайте не говорить, о чём конкретно говорит это уравнение, а обозначим эту штуку абстрактно за $u.$ Здесь будет подразумеваться, что $u$ - это $\varphi,A_x,A_y,A_z,E_x,E_y,E_z,B_x,B_y,B_z$ - но конкретно не важно, что. И понятное дело, что в этом случае $u$ - величина скалярная.

Ну а дальше решается уравнение Д'Аламбера, и в качестве решения получается та формула, которую вы пишете.

[amon]

tech в сообщении #1027982 писал(а):

Почему принцип никак не учитывает "векторность" электрического поля?

Тут либо для простоты формула написана для скалярного поля, либо считается, что Вы знаете как переписать решение уравнений Максвелла в случае плоской и сферической волны через некую скалярную функцию, удовлетворяющую волновому уравнению. Поля $\textbf{E}$ и $\textbf{H}$ выражаются через производные этой функции (она, точнее они - их две, электрическая и магнитная, называются функции Герца)

[iifat]

tech в сообщении #1027982 писал(а):

почему в этой формуле только скалярные величины и ни одного вектора?

Таки подозреваю, если присутствует $e^{ikR}$ — уже странно говорить о скалярных величинах.

[Munin]

Нет, это как раз скалярное выражение. Волна от вторичного источника расходится сферическая, так что $k$ и $R$ здесь скаляры.

[chislo_avogadro]

Всё же вероятнее, что это скалярное произведение.

[Munin]

Нет. Если там написать скалярное произведение - то такие формулы тоже бывают, но не в принципе Гюйгенса-Френеля. Смотрите на заголовок темы иногда :-)

[chislo_avogadro]

Можно считать, что это скаляры, при этом приговаривать, что-де речь о принципе Гюйгенса-Френеля, сферические волны, а можно наверное написать скалярное произведение и сэкономить.

[Munin]

Ну-у-у... Вы вообще в курсе, что $kR\ne(\mathbf{kR})$?

[Red_Herring]

А что такое, собственно говоря, сферическая волна в применении к уравнению Максвелла? Со скалярным волновым уравнением все ясно: $u=u(R,t)$. А вот что будет с векторным полем? $\mathbf{E}=\mathbf{E}(R,t)$? Не канает ($\nabla\cdot \mathbf{E}\ne 0$ кроме тривиального...) То же самое с $\mathbf{H}$, $\mathbf{A}$.

Естественным кажется $|\mathbf{E}|,|\mathbf{H}|$ зависят только от $(R,t)$ и $\mathbf{E}\times\mathbf{H}=p(R,t)\mathbf{R}$. Но и это не канает: тогда $\mathbf{E}$ касательно сферам и имеет постоянную длину (причесанный еж). М.б. эта книга даст ответ:
http://www.eit.lth.se/fileadmin/eit/courses/eit080f/Literature/book.pdf
По крайней мере там есть красивая 3D-модель вложенная в pdf (и м.б. не одна)

[Munin]

Red_Herring

$$\square(\varphi,\mathbf{A},\mathbf{E},\mathbf{H})=\textit{источники}$$

даёт ответ.

[chislo_avogadro]

Munin
В курсе, что не "вообще". В частности, для сферических волн - равенство. Правда, тогда получаем некую тавтологию.

[Red_Herring]

Munin
Неясно что

$$\square(\varphi,\mathbf{A},\mathbf{E},\mathbf{H})$$

это означает: применяется ли скалярный Д'Аламбертиан к $\varphi,\mathbf{A},\mathbf{E},\mathbf{H}$ отдельно? У нас есть Максвелл. У него есть куча решений. Некоторые из решений вида (такие что $\mathbf{E}=\mathbf{E}(\mathbf{k}\cdot\mathbf{R})$ и $\mathbf{Ч}=\mathbf{H}(\mathbf{k}\cdot\mathbf{R})$ называются плоскими волнами.

Какие решения у-я Максвелла Вы называете сферическими волнами?

[Munin]

chislo_avogadro в сообщении #1028186 писал(а):

В частности, для сферических волн - равенство.

И что вы для сферических волн подразумеваете под $\mathbf{k}$?

-- 17.06.2015 17:19:05 --

Red_Herring в сообщении #1028194 писал(а):

Неясно что

$$\square(\varphi,\mathbf{A},\mathbf{E},\mathbf{H})$$

это означает: применяется ли скалярный Д'Аламбертиан к $\varphi,\mathbf{A},\mathbf{E},\mathbf{H}$ отдельно?

Да.

Red_Herring в сообщении #1028194 писал(а):

У нас есть Максвелл. У него есть куча решений.

Да. Все они описываются этими Д'Аламберами.

Red_Herring в сообщении #1028194 писал(а):

Некоторые из решений вида (такие что $\mathbf{E}=\mathbf{E}(\mathbf{k}\cdot\mathbf{R})$ и $\mathbf{Ч}=\mathbf{H}(\mathbf{k}\cdot\mathbf{R})$ называются плоскими волнами.

Ну да.

Red_Herring в сообщении #1028194 писал(а):

Какие решения у-я Максвелла Вы называете сферическими волнами?

Максвелла? Нет! Я называю сферическими волнами решения Д'Аламбера.

-- 17.06.2015 17:21:05 --

(Оффтоп)

Вот почему "Д'Аламбер", но "Д'Аламбертиан"? *) Неужели нельзя быть систематичнее?

*) spelled "даламбертиан" in Russian.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1028197 писал(а):

Максвелла? Нет! Я называю сферическими волнами решения Д'Аламбера.

Т.е. они не удовлетворяют уравнениям Максвелла? Ну тогда все тривиально, но кажется не вполне естественным.