Доказать, что выражение есть целое, корень.

[Xom]

Здравствуйте!
Помогите разобраться с задачкой
Доказать, что
$ (\sqrt[4]{17 - 12 \sqrt[]{2} } ) - \sqrt[]{2}$ целым числом.
Если предполагать что целое это сумма целого и целого (в нашем случае не так, корень из 2 - не целое) или нецелого и нецелого, то не дает результата.
Попытка вность и выносить из под знака корня тоже, скрее всеео что то делаю не так.
И ещё - помогите разобраться почему $ \sqrt[4]{5x^4} = - x\sqrt[4]{5} при $x<0$
ведь если х отрицательный то его 4 степень всегда положительна
Спасибо.

[ИСН]

Первое надо перестать делать, и разломать то, что уже сделано. Это не то, что Вы думаете. Чтобы найти то, надо делать совсем, совсем другие действия, на первый взгляд не имеющие никакого отношения к задаче. В качестве первого шага упростите выражение $(\sqrt2-1)^2$.
Второе верно; а в чём вопрос?

[INGELRII]

Дык просто приравняйте эту штуку, скажем, $n$. Перенесите корень из двух вправо и возведите в четвертую степень. Дальше объяснять или может сами угадаете? Задачка простенькая.

Второй вопрос еще круче. Минус там взят именно потому что $x<0, -x>0$.

[Evgenjy]

$\sqrt[4]{17-12\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$

[ewert]

Xom в сообщении #1027218 писал(а):

Доказать, что
$ (\sqrt[4]{17 - 12 \sqrt[]{2} } ) - \sqrt[]{2}$ целым числом.

Первое, что должно приходить в голову: а не извлекается ли корень?... Для начала попытайтесь подобрать целые $m,\;n$ так, чтобы получилось $(m+n\sqrt2)^2=17-12\sqrt2$.

[TOTAL]

Xom в сообщении #1027218 писал(а):

Доказать, что
$ (\sqrt[4]{17 - 12 \sqrt[]{2} } ) - \sqrt[]{2}$ целым числом.

$ \dfrac{1}{\sqrt[4]{17 + 12 \sqrt[]{2} } } - \sqrt[]{2}$

Прикиньте, каким это может быть целым числом. Затем проверьте гипотезу.

[Xom]

Видимо придется объяснять,
Если я сделаю равенство этого выражения к х, затем возведу в 4 степень все, то слева я буду иметь выражения, которое равняется выражению в 4 степени, это говорит только о том, что подкоренное выражение в исходном выражении положительно, т.е $-12 \sqrt[][2]<ravno 17$
Есть вариант наверно через делимость в левой части, но условия не могу додумать пока.

Цитата:

Второй вопрос еще круче. Минус там взят именно потому что $x<0, -x>0$.

Не могу понять почему, как свойство могу понять, почему - нет.
$\sqrt [4]{5x^4} = \sqrt[4]{5} \sqrt[4]{x^4} $ в нашем случае $\sqrt[4]{(-a)^4}$ и $ (-a)^4 >ravno 0 $
запутался именно в объяснении для себя.

ewert в сообщении #1027228 писал(а):

Xom в сообщении #1027218 писал(а):

Доказать, что
$ (\sqrt[4]{17 - 12 \sqrt[]{2} } ) - \sqrt[]{2}$ целым числом.

Первое, что должно приходить в голову: а не извлекается ли корень?... Для начала попытайтесь подобрать целые $m,\;n$ так, чтобы получилось $(m+n\sqrt2)^2=17-12\sqrt2$.

выглядит довольно сложно, позже попробую.

[ИСН]

Математика вообще довольно сложна. В принципе, довольно естественный вариант - всю её отложить на потом.

[Sender]

О, я понял, что такое $ravno$. Xom, можете использовать

\leqslant

для $\leqslant$ и

\geqslant

для $\geqslant$, ну или

\le

для $\le$ и

\ge

для $\ge$.

[provincialka]

Xom в сообщении #1027218 писал(а):

помогите разобраться почему $ \sqrt[4]{5x^4} = - x\sqrt[4]{5}$ при $x<0$

Хм... самое трудное -- объяснить очевидное... Ну, попробуйте, что ли, подставить в равенство $x=-2$. Или даже $x=-1$.

[INGELRII]

Ишо раз. Слева стоит $\sqrt[4]{17 - 12 \sqrt{2}}$. Что будет, когда мы возведем эту штуку в четвертую степень? Подсказка: что вообще бывает, когда в четвертую степень возводят что то типа $\sqrt[4]{X}$?

Справа стоит $n + \sqrt{2}$. Что получится, когда мы это возведем в четвертую степень? Подсказка: бином Ньютона.

Сделайте это. Возведите обе эти штуки в четвертую степень. Напишите немедленно здесь, что получилось. Потом будем думать дальше, что да как. Сначала сделайте, что я прошу. Наберитесь смелости! Действуйте! Не спрашивайте, делайте! Будьте подобны разящей молнии! И так далее, и тому подобное...

[ewert]

INGELRII в сообщении #1027289 писал(а):

Подсказка: бином Ньютона.

Это достаточно вредная подсказка. Правильной была подсказка TOTAL, только немного занудной. Делить не нужно; достаточно заметить, что корень четвёртой степени уж точно положителен и не превышает двух с небольшим (а если ещё немного подумать, то даже и заведомо одного с небольшим). Получается, что для целочисленного решения возможнны не более двух-трёх вариантов, да к тому же все они, кроме одного, явно неправдоподобны. Вот только оставшийся и нужно проверять, и не Ньютоном, конечно, а тупо возводя два раза в квадрат.

[INGELRII]

ewert
По-моему, очевидно, что ТС мнэээ весьма сильно плавает даже в простейших вещах (смотрите его второй вопрос), и объяснять ему потому гораздо лучше самым примитивным способом. Как говорят, взять и поделить. Чем проще, тем лучше.

-- 15.06.2015, 16:03 --

Хотя, может, мой способ и не самый простой, как я сейчас подумал. Хм, прямо засомневался.

[PeanoJr]

Меня в школе, помню, учили такие задания решать так:
$\sqrt{17-12\sqrt{2}}=a^2-2ab+b^2$ Отсюда: $a^2+b^2=17, ab=6\sqrt{2}$
А потом то же самое сделать с $\sqrt{3-2\sqrt{2}}$

-- 15.06.2015, 19:15 --

ewert в сообщении #1027228 писал(а):

Xom в сообщении #1027218 писал(а):

Доказать, что
$ (\sqrt[4]{17 - 12 \sqrt[]{2} } ) - \sqrt[]{2}$ целым числом.

Первое, что должно приходить в голову: а не извлекается ли корень?... Для начала попытайтесь подобрать целые $m,\;n$ так, чтобы получилось $(m+n\sqrt2)^2=17-12\sqrt2$.

В скобке скорее всего подразумевается минус?

[Shadow]

PeanoJr в сообщении #1027378 писал(а):

ewert в сообщении #1027228 писал(а):

Xom в сообщении #1027218 писал(а):

Доказать, что
$ (\sqrt[4]{17 - 12 \sqrt[]{2} } ) - \sqrt[]{2}$ целым числом.

Первое, что должно приходить в голову: а не извлекается ли корень?... Для начала попытайтесь подобрать целые $m,\;n$ так, чтобы получилось $(m+n\sqrt2)^2=17-12\sqrt2$.

В скобке скорее всего подразумевается минус?

И наверное подразумевалось натуральные $m,n$, но, скорре всего, подразумевалось то, что написано.