Как Вы читаете линейную алгебру?

[nenefertiti]

Munin в сообщении #1035113 писал(а):

nenefertiti в сообщении #1034932 писал(а):

Разве я сказал, что трудоемко именно для меня ? Я ж про общую картину.

На общей картине оно как раз не трудоёмко ни для кого, кроме самых-самых новичков.

И таких новичков - половина! Профит!

(Оффтоп)

Как всегда, г-н Мунин проигнорировал одну неудобную для себя часть фразы, уцепился за другую и вышел сухим из воды.

[Toucan]

nenefertiti в сообщении #1034954 писал(а):

Извини, земляк )

nenefertiti, замечание за фамильярность.

Forum Administration в Правилах форума #27356 писал(а):

1) Нарушением считается:
…
е) ..., фамильярность (у нас принято обращаться друг к другу на "Вы")...

[Ruslan_Sharipov]

Anton_Peplov в сообщении #1027006 писал(а):

Стартовый вопрос был, в общем, не в этом, а в попытке собрать отзывы действующих преподавателей о том, в каком порядке они читают линал.

Я действующий преподаватель. Веду аналитическую геометрию и линейную алгебру у физиков в ФТИ БашГУ. Ангем начинаю с элементов линейной алгебры - системы линейных уравнений, метод Гаусса, метод Крамера, ранги матриц, определители и их свойства, алгебраические операции с матрицами, вычисление обратной матрицы. Это в качестве ликбеза, чтобы потом не тормозить и не отвлекаться на это, когда возникает необходимость. Затем векторы в трёхмерном (евклидовом) пространстве, линейная зависимость и независимость, базисы, замена базисов, матрицы перехода, преобразование координат векторов при замене базиса. После этого идут скалярное, векторное и смешанное произведения, всевозможные формулы для их вычисления в прямоугольных и косоугольных координатах, матрицы Грама, структурные константы, символы Кронекера и Леви-Чивита и формулы их связывающие. В конце семестра совсем классика - уравнения прямых, плоскостей, затем кривые и поверхности второго порядка. Все приходится давать без доказательств ввиду жёсткой нехватки времени. Лекции одна пара в неделю, семинары одна пара в две недели. На инженерном потоке всё в два раза жёстче - ангем и линейная алгебра проходятся в один семестр при том же количестве лекций и семинаров. Поэтому у них расклад несколько иной. Согласно требованиям учебной части каждый предмет надо разделить на два модуля и по итогам каждого модуля выставить баллы за успеваемость. Спасает система WebWork.

[Munin]

Вот эти вот понятия:

Ruslan_Sharipov в сообщении #1067005 писал(а):

линейная зависимость и независимость, базисы, замена базисов, матрицы перехода, преобразование координат векторов при замене базиса

- формулируются только для 3-мерного, или для $n$-мерного случая? (Для физиков, хорошо бы и комплексный случай упомянуть, имхо...)

[ewert]

У нас читается так же (вообще это стандартная программа), за исключением вот этого:

Ruslan_Sharipov в сообщении #1067005 писал(а):

всевозможные формулы для их вычисления в прямоугольных и косоугольных координатах, матрицы Грама, структурные константы, символы Кронекера и Леви-Чивита и формулы их связывающие.

Всё это (вообще произвольные конечномерные пространства, в т.ч. комплексные, операторы и т.д.) -- это уже второй семестр. На тех факультетах, кому повезло, конечно; на некоторых первым семестром всё и обрывается.

[Anton_Peplov]

Вот еще вопрос созрел. Есть два способа определить линейно зависимую систему векторов. [Я умышленно говорю "линейно зависимая система" вместо "линейно зависимые векторы", т.к. второй термин мне всегда казался сбивающим с толку: линейная (не)зависимость - это ведь не характеристика вектора (предикат) и не отношение его к другому вектору (двуместный предикат, бинарное отношение), а характеристика всей системы в целом. Легко предъявить систему, где каждая пара векторов линейно независима, а вся система линейно зависима].

1. Один из векторов системы является линейной комбинацией остальных. Плюсы: очень хорошо виден смысл термина "линейная зависимость" - раз один выражается через другие, то зависимость. Минусы: непонятно, считать ли линейно зависимой систему из одного вектора. Вроде как нет, потому что нет там никаких остальных, но черт разберет эти логические выкрутасы с пустым множеством. Однако же при обоих ответах ломается чеканная формулировка "базис - линейно независимая система": если система из одного произвольного вектора линейно зависима - то на одномерных пространствах, а если линейно независима - то на нульмерных.

2. Есть нетривиальная линейная комбинация векторов системы, равная $\mathbf 0$. Плюсы: исчезает баг с одномерными пространствами, система из одного вектора $\mathbf x$ линейно зависима лишь в том случае, когда $\mathbf x = \mathbf 0$. Минусы: ускользает интуитивный смысл термина - первокуру неясно, с чего вдруг существование какой-то хитрой линейной комбинации (он и слова такие в первый раз услышал), равной нулю (почему нулю?), должно означать "зависимость". Конечно, в математике непрозрачность происхождения термина - это правило, но тем ценнее исключения, а тут мы это исключение своими ногами в землю затаптываем. Впрочем, если тут же после определения привести предыдущую формулировку как теорему для $n>1$, можно относительно спасти положение.

Вот и вопрос: как Вы даете определение линейной независимости? Есть ли у студентов трудности с усвоением этого понятия?

[Pphantom]

По идее, 1-я формулировка является тривиальным следствием 2-й. Во всяком случае, я ни разу не видел студента, который не посчитал бы это само собой разумеющимся.

[kp9r4d]

Anton_Peplov
Замечу, что второе работает для любого $R$-модуля, а первое не всегда.

[ewert]

Anton_Peplov в сообщении #1215914 писал(а):

как Вы даете определение линейной независимости?

Как исходное определение -- второе. Да, оно более абстрактно; но имеет то огромное преимущество, что векторы в нём равноправны. И ещё одно странное достоинство: опыт показывает, что многие студенты именно здесь впервые сталкиваются с понятием "тривиальный" в математическом смысле. И именно здесь смысл этого термина довольно прозрачен.

Первая же формулировка тоже обязательна как некая теорема (или предложение, или утверждение -- это уже дело вкуса). Иначе действительно не очень понятно, при чём тут зависимость. После этого надо сделать замечание насчёт системы из двух векторов.

Насчёт одного вектора тоже должно присутствовать замечание -- этот случай изначально действительно выглядит несколько сомнительным.

Pphantom в сообщении #1215939 писал(а):

По идее, 1-я формулировка является тривиальным следствием 2-й.

Ну, не таким уж и тривиальным. Ведь доказывать нужно в обе стороны. И это доказательство следует зафиксировать.

[Pphantom]

ewert в сообщении #1215950 писал(а):

Ну, не таким уж и тривиальным. Ведь доказывать нужно в обе стороны. И это доказательство следует зафиксировать.

Для вящей полноты изложения - да. Но с практической точки зрения обычно достаточно именно следствия, а не эквивалентности, и оно действительно оказывается для всех очевидным.

[arseniiv]

ewert в сообщении #1215950 писал(а):

Насчёт одного вектора тоже должно присутствовать замечание -- этот случай изначально действительно выглядит несколько сомнительным.

Тогда ещё надо упомянуть линейно независимую пустую систему, которая будет базисом нульмерного пространства. Когда пойдут суммы-операторы, такое пространство ведь всё равно всплывёт. (Впрочем, тогда можно будет это и задать в виде вопроса: а вы помните определение?.. а какой там будет базис, а?)

[ewert]

arseniiv в сообщении #1215998 писал(а):

Тогда ещё надо упомянуть линейно независимую пустую систему, которая будет базисом нульмерного пространства.

Это уже хоть сколько-то естественным образом в понятие линейной независимости не укладывается. Понятие нульмерного пространства придётся добавить, и добавить позже -- когда дело вообще дойдёт до размерностей.

Такое, кстати, довольно часто случается. В случае производных нулевого порядка, например. Или корней нулевой кратности. Всё это вещи нужные, однако в формальные определения слабо укладываются. Если, конечно, нет склонности к вывихам мозга.

Линейная независимость для одного вектора -- случай промежуточный. Он формально легко укладывается в общее определение, только терминологически выглядит странно. Ну вот ровно поэтому и следует акцентировать на нём внимание.

Pphantom в сообщении #1215962 писал(а):

Для вящей полноты изложения - да. Но с практической точки зрения

-- вот с практической точки зрения нужна именно полнота. Если, конечно, она не требует жертв (тут ни разу не требует). Просто для того, чтоб свободно выбирать нужный ракурс, не задумываясь об его обоснованности.

[Ruslan_Sharipov]

Anton_Peplov в сообщении #1215914 писал(а):

Есть два способа определить линейно зависимую систему векторов. 1) и 2).

У меня они встречают линейную зависимость дважды. Один раз в первом семестре в курсе аналитической геометрии, второй раз во втором семестре в курсе линейной алгебры. Это физики, основной поток. Есть ещё инженерные потоки, где оба предмета ужаты вдвое и втиснуты в один семестр. Там вообще невозможно говорить, что им можно что-то по-нормальному дать. Поэтому буду говорить про поток физиков.

И в курсе ангема (сокр. от аналитическая геометрия) и в курсе линейной алгебры определение линейной зависимости даю в варианте 2), то есть $\exists$ НЛК $=0$. В ангеме сразу после определения разбираю три случая: система из одного вектора, система из двух векторов, система из трёх векторов. В первом случае ЛЗ равнозначна занулению вектора, во втором - параллельности двух векторов (слово коллинеарность тоже произношу и разъясняю смысл приставки ко), в третьем ЛЗ равнозначна параллельности трёх векторов одной плоскости (компланарность, и та же приставка ко).

Дальше перехожу к случаю четырех и более векторов и говорю, что в нашем обычном повседневном пространстве такие системы векторов всегда ЛЗ и подчеркиваю, что это указывает на его трёхмерность. Хотя понятия размерности формально ещё нет, воспринимается нормально, поскольку слова 2D, 3D сейчас всем знакомы с младенчества. Для четырех векторов доказываю при помощи рисунка. Случай пяти и более векторов свожу к случаю четырёх векторов при помощи леммы о том, что система, имеющая ЛЗ подсистему, сама ЛЗ.

В курсе линейной алгебры повторяю определение в варианте 2), то есть $\exists$ НЛК $=0$. Потом говорю, что у понятия ЛЗ (и ЛНЗ) есть пять свойств простых и шестое сложное. Пять свойств перечисляю и каждое тут же по ходу перечисления доказываю. Шестое - это теорема Штейница. Её привожу без доказательства. Хотя в былые дореформенные времена (и в 90-ые тоже), когда часов на предмет было по лекциям в полтора раза больше, теорему Штейница доказывал.

Anton_Peplov в сообщении #1215914 писал(а):

Как Вы даете определение линейной независимости? Есть ли у студентов трудности с усвоением этого понятия?

С понятием линейной независимости всегда бывают сложности. Сразу после формулировки свойства ЛЗ прошу попробовать самим сформулировать прямо противоположное свойство. В лучшем случае слышу $\nexists$ НЛК $=0$. Дальше говорю, что это правильная, но по опыту неудобная для применения формулировка. Излагаю свою версию.

Главная трудность в усвоении всего - отсутствие мотивации. Ну вот буду я это учить, а что мне за это будет? Этот вопрос висит в аудиториях. Ответа на него нет. Уфа - миллионный город. Но рабочих мест, где востребована математика или физика, он массово не порождает. Такова структура экономики. Лучшие школьники уезжают в столичные регионы. Перед глазами нет примеров молодых успешных и независимых людей. В академических институтах и ВУЗах - засилие стариков и традиция решать все вопросы по знакомству, через родственные связи, влиятельные рекомендации. Ну вот буду я это учить, а что мне за это будет? Ничего не будет. Всё останется как есть. Поставят тебе пятёрку. Радуйся хоть этому.

[Anton_Peplov]

Ruslan_Sharipov
За содержательную часть ответа спасибо. Насчет "что мне за это будет" - вопрос отдельный, к данному топику слабо относящийся. Его можно обсудить в отдельной теме, а здесь давайте не разводить оффтоп.

[arseniiv]

ewert в сообщении #1216010 писал(а):

Это уже хоть сколько-то естественным образом в понятие линейной независимости не укладывается.

Почему не укладывается? (Надеюсь, это ещё достаточно близко к вопросу темы, так что оставлю тут и даже не уберу в спойлер.)