2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вторая квадратичная форма поверхности
Сообщение30.05.2015, 23:50 


30/05/15
13
Для каких поверхностей вторая квадратичная форма является полным квадратом?

Можно в лоб расписать квадратичную форму, через скалярное вторых производных и нормали, составить уравнение, что произведение диагональных элементов равно угловому. но получится уравнение со скалярным произведение, которое я не умею решать и еще к тому же в частных производных. нужен какой-то другой подход, видимо.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение30.05.2015, 23:54 
Модератор


20/03/14
9467
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение31.05.2015, 00:27 
Модератор


20/03/14
9467
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая квадратичная форма поверхности
Сообщение31.05.2015, 00:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
8969
Hogtown
А что значит, что вторая квадратичная форма—полный квадрат (что можно сказать о главных кривизнах)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая квадратичная форма поверхности
Сообщение31.05.2015, 00:44 


30/05/15
13
если вторую форму записать как матрицу, то произведение диагональных элементов равно угловому.

для поиска главных кривизн нужна еще первая форма, а про нее, вроде, не ясно, что можно хорошего сказать

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая квадратичная форма поверхности
Сообщение31.05.2015, 00:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
8969
Hogtown
Подумайте, что можно сказать про квадратичную форму, которая полный квадрат? Что можно сказать о с.з. матрицы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая квадратичная форма поверхности
Сообщение31.05.2015, 01:29 
Заслуженный участник


23/07/08
7852
Харьков
kond в сообщении #1021725 писал(а):
если вторую форму записать как матрицу, то произведение диагональных элементов равно угловому
Исправьте неточность (или неясность). Произведение элементов на главной диагонали, т.е. $L$ и $N$, равно ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая квадратичная форма поверхности
Сообщение31.05.2015, 13:44 


30/05/15
13
B(x,y) = L*x^2+2*F*x*y+N*y^2

L*N = F

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая квадратичная форма поверхности
Сообщение31.05.2015, 18:58 
Заслуженный участник


23/07/08
7852
Харьков
1. По правилам форума все формулы записываются с помощью $\TeX$, иначе модератор отправит тему в Карантин.
Краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу math» и видеоролик Как записывать формулы.

2. Вторая квадратичная форма поверхности — это такое выражение:
$L\,du^2+2M\,du\,dv+N\,dv^2$
Сравните со своим вариантом. $F$ — это из первой квадратичной формы.

3. Вот это выражение и должно быть полным квадратом, то есть $(a\,du+b\,dv)^2$. Раскройте здесь скобки и приравняйте коэффициенты при дифференциалах. Может быть, это поможет исправить ошибку (даже после исправления $F$ на $M$, вариант $LN=M$ неправильный).

4. Обратите внимание, что при правильной записи формул знак умножения почти никогда не приходится ставить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая квадратичная форма поверхности
Сообщение31.05.2015, 19:54 


30/05/15
13
Согласен.

Извините за нарушение правил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая квадратичная форма поверхности
Сообщение31.05.2015, 20:01 
Заслуженный участник


23/07/08
7852
Харьков
Так вот, раскрывая там скобки, получаем
$a^2\,du^2+2ab\,du\,dv+b^2\,dv^2=L\,du^2+2M\,du\,dv+N\,dv^2$,
то есть
$\begin{bmatrix}a^2&ab\\ab&b^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}$
Теперь, глядя на это, исправьте ошибку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая квадратичная форма поверхности
Сообщение31.05.2015, 20:19 


30/05/15
13
$ M^2 = LN $

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая квадратичная форма поверхности
Сообщение31.05.2015, 20:24 
Заслуженный участник


23/07/08
7852
Харьков
Правильно. А что тогда можно сказать об определителе этой матрицы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая квадратичная форма поверхности
Сообщение31.05.2015, 20:30 


30/05/15
13
Он равен нулю.

Но пока непонятно как это связать с поверхностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вторая квадратичная форма поверхности
Сообщение31.05.2015, 20:35 
Заслуженный участник


23/07/08
7852
Харьков
Знаете ли Вы, как выражаются гауссова и средняя кривизна через коэффициенты квадратичных форм?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group